高中数学复习课（二）统计教学案苏教版必修3

高中数学复习课（二）统计教学案苏教版必修3

复习课（二）统计

常考点一

高考对抽样方法的考查主要是基础题，难度不大.系统抽样和分层抽样是考查的热点，

考查形式以填空题为主.

［考点精要］

1.简单随机抽样

⑴特征：

①一个一个不放回的抽取.

②每个个体被抽到可能性相等.

⑵常用方法：

①抽签法.

②随机数表法.

2.系统抽样

⑴适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样.

⑵操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作

为样本.

3.分层抽样

⑴适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样.

⑵操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分

在总体中所占的比实施抽样.

［典例］⑴（山东高考改编）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将

他们随机编号为1,2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,

抽到的32人中，编号落入区间［1,450］的人做问卷4,编号落入区间［451,750］的人做问卷B,

其余的人做问卷G则抽到的人中，做问卷B的人数为.

（2）（江苏高考）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4,现用分层抽样

的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取

名学生.

（3）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生

的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生

近视人数分别为

960

［解析］⑴抽取号码的间隔为五=30,抽取的号码依次为9,39,69,…，939,落入区间

［451,750］的有459,489,…,729共10人，即做8卷的有10人.

x3

⑵设应从高二年级抽取*名学生，则全=«，

.\x=15.

(3)该地区中小学生人数为3500+2000+4500=10000,

则样本容量为10000X2%=200,其中抽取高中生近视眼人数为2000X2%X50%=20.

［答案］(1)10⑵15(3)2002)

［类题通法］

N

⑴系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当一不是整数时，注意剔除.

n

⑵分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的.

［题组训练］

1.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为40的样本，

则分段的间隔为.

1000

解析：根据系统抽样的特点可知，分段间隔为--=25.

答案：25

2.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业

倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的

学生人数为.

404

解析：抽样比为

150+150+400+300100,

4

因此丙专业应抽取式X400=16（人）.

lUv

答案：16

3.（北京高考）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教

师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为

类别人数

老年教师900

中年教师1800

青年教师1600

合计4300

X320

解析：设该样本中老年教师人数为x,则有丽=百而，故x=180.

答案：180

常考点二”统计图表的识读

高考对各种统计图表的考查主要是基础题，频率分布条形图和直方图是考查的热点，但

也要注意关注茎叶图。江苏考卷在这一部分的考查形式主要是填空题，解决这部分考题，关

键要掌握各类图表构成的要件及意义.

［考点精要］

1.频率分布表的特点

⑴表中所有频数之和等于样本容量.

⑵表中所有频率之和为1.

〃一各小组的频数

（3）各小组的频率=样本容量.

2.频率分布直方图特点

⑴纵轴上的点表示频率除以组距.

⑵每一个小矩形面积等于这一小组的频率.

⑶所有小矩形面积之和为1.

3.茎叶图

⑴所有信息都可以从图中得到.

⑵同一组数据中的相同数据要一一列出.

［典例］（1）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检

测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间［20,25)上为一等品，在

区间口520)和［25,30)上为二等品，在区间［10,15)和［30,35］上为三等品.用频率估计概率，现

从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是____________.

⑵如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区

间［22,30)内的频率为.

189

212279

3003

(3)(全国卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形

图.

2700

2600

2500

2400

2300

2200

2100

2000

1900

给出下列结论

①逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著；

②2007年我国治理二氧化硫排放显现成效；

③2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.

其中正确结论的序号为.

［解析］⑴由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间［25,30)上的频率为1一

5X(0.02+0.04+0.06+0.03)=0.25,则二等品的频率为0.25+0.04X5=0.45,故任取1件为二

等品的概率为0.45.

⑵这10个数据落在区间［22,30)内的有22弘2729共4个,

4

，其频率为而=04

(3)由图知2007年到2008年二氧化碳排放量下降最多，故①对.

由图知2006年到2007年矩形高度明显下降，故②对.

由图知2006年以后除2011年稍有上升外其余年份都是逐年下降的，故③对.

［答案］(1)0.45(2)0.4(3)(D(D(D

［类题通法］

⑴解决该类问题时，应正确理解图表中各个量的意义，通过图表掌握信息是解决该类

问题的关键.

⑵各种统计图表的构成要熟悉；条形图和直方图不要混淆.

［题组训练］

1.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间,

频率分布直方图如图所示.

⑴直方图中x的值为;

⑵在这些用户中，用电量落在区间［100250）内的户数为.

解析：⑴由。0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）X50=l,得x=0.0044.

⑵数据落在口00,250）内的频率可求得为0.7,.,.月用电量在口001250）内的户数为100X0.7

=70.

答案：（1）0.0044⑵70

2.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm）,

所得数据均在区间［80,130］上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有

株树木的底部周长小于100cm.

解析：周长在［80,90）的频率为0.015X10=0.15,

周长在［90,100）的频率为0.025X10=0.25,

故符合要求的树木有（0.15+0.25）X60=24.

答案：24

3.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网

上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示.以

组距为5将数据分组成［0,5）,15,10）,…，［30,35）,［35,40］0

时，则购物的人数在［30,35）上的班数有个.

解析：在［30,35）中有30,33,34共3个.

答案：3

常考点三样本的数字特征

样本的数字特征也是各类考试的重点内容之一：其中方差及平均数是考查的热点，但也

要适当关注众数、中位数等.江苏考卷这一部分内容都考基础题，难度不大，考查形式以填

空题为主，处理时首先要熟记相关公式及相关特征数的作用，其次要注意运算的准确性.

［考点精要］

给定一组数据与，x2,•••,xn

众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最

中位数中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数）

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等

平均数样本数据的平均数，即3=!（X1+X2+…+*“）

S2=~[(X1-22<*2s

方差x)+(X2—x)+>+(XM—X)],其中为样本标准差

［典例］⑴（重庆高考）重庆市2013年各月的平均气温。C）数据的茎叶图如下：则这组数

据的中位数是________.

089

1258

200338

12

⑵某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次,

投中的次数如下表:

学生1号2号3号4号5号

甲班67787

乙班67679

则以上两组数据的方差中较小的一个为』=

(3)(安徽高考)若样本数据与，物…，蜘的标准差为8,则数据2百一1,2兹一1,•••,2xio

-1的标准差为

［解析］⑴由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,2023,2328,31,32,所以

20+20

中位数为丁~=20.

_1

⑵由题意知：x甲=g(6+7+7+8+7)=7,

_1

X乙=g(6+7+6+7+9)=7,

1216

,甲=事(6—7)2+(8—7)4=子，乙=耶6—丁+(6-T+(9—M=g，

262

-<-

555'

⑶由样本数据知电…，与0的标准差s=8,得/=64,故数据2周一1r2^—1,…，2x10

—1的方差为2V=22X64,所以其标准差为丹2?*64=2X8=16.

2

［答案］(1)20(2)-⑶16

［题组训练］

1.(广东高考)已知样本数据Xi,X］,…，当的均值X=5,则样本数据2与+120+1,…,

24+1的均值为

.一用+电+•••+居

解析：由条件知X=^^-----------=5

n

2与+1+2通+1H-----\-2xn+l2xx+x2-\----(-招+A—

则所求均值*0=----------------------------------------=-----------------------------------=2x+1=

nn

2X5+1=11.

答案：11

2.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该数据的方差¥=

11

解析：x=-(104-6+8+5+6)=7,.\s2=7[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]

5D

16

=~5,

3.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用

茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为二甲，；乙，中位数分别为口甲，m

乙，贝！Ix单--------x仆mv---------疝乙（填）"

甲乙

8650

884001()28

752202337

800312448

314238

—345—457——

解析：可求x尸石X乙=彳/，••X甲Vx乙,

又可求zn甲=20,m乙=29,「.m甲Vm乙

答案：vv

［回扣验收特训］

1.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,…，600.采用系统抽样方法抽取一个

容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300

在第I营区，从301到495在第D营区，从496到600在第0营区，则三个营区被抽中的人

数依次为.

600

解析：由系统抽样的特点知，从号码003开始每间隔弁=12人抽出1个，

5U

设抽出的第n个号码为a,则a=3+12缶-1）,n€N*,

由an<300知/2<25；

由an<495知z?<42,

所以第一营区被抽取的人数为25,第二营区被抽取的人数为42-25=17,第三营区被

抽取的人数为50-42=8.

答案：25,17,8

2.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城

市数分别为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为

611

解析：抽样比为;7=不，丙组中应抽取城市数为8X2=2.

答案：2

3.从总体中抽取的样本数据共有m个a,n个①p个c,则总体的平均数x的估计值

为________

—tna+nb+pc

解析：因为总体平均数x的估计值就是样本平均数，故xm+n+p'

ma+nb+pc

答案:

m+n+p

4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如

图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为%乙运动员的众数为b,贝.

甲乙

7980785

5791113

346220

2310解析：由茎叶图可知，a=19,6=11,

140a—b=8.

答案：8

5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则

该样本的中位数、众数、极差分别是_____________.

889

79

6178

解析：由茎叶图知中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12

答案：46,45,56

6.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是________

解析：低于60分的频率是(0.005+0.01)X20=0.3,所以该班学生人数是雨=50.

答案：50

7.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到一1,0,4,%7,14,中位数为5,则这组数

据的平均数和方差分别为,.

4+x

解析：•二中位数为5,・・.5=-y-,.•.x=6.

—-1+0+4+6+7+14

1上一12

(玛—X)*2=-[(5+1)2+(5-0)2+(5-4)2+(5-6)2+(5-7)2+(5-14)2]=24-

/=1

2

答案：524-

8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行频率

临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组0.361

0.24—,_

区间为口2,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按暧----------TL_

U.Uo

__________I_________

从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第121314151617舒张压/kPa

五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三

组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为.

20

解析：志愿者的总人数为乂1，所以第三组人数为有

1=5050X0.36=18,

U.JLUI人JL

疗效的人数为18-6=12.

答案：12

9.在某次测量中得到的/样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若8样本数据恰

好是A样本数据每个都加2后所得数据.则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是

________（填序号）.

①众数②平均数③中位数④标准差

解析：对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中

位数、平均数都发生改变.

答案：④

10.由正整数组成的一组数据不，勒，毛，X、,其平均数和中位数都是2,且标准差等于

1,则这组数据为.（从小到大排列）

解析：设为《兹《玛〈羽，根据已知条件得到与+兹+&+&=8,且兹+与=4,所以蜀

22

+招=4,又因为.一21X2-2+X3—2+x「2=1,所以（为一2产+

2产=2,又因为X”x2,玛，玛是正整数，所以（均一2）2=（电-2）2=1,所以曷=1,题=1,

玛=3,玛=3.

答案：1,1,3,3

11.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学0,036

0032

生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频0；028

0.024

率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2：0.020

0.016

4：17：15：9：3,第二小组频数为12.0.012

0.008

⑴第二小组的频率是多少？样本容量是多少？0.004

⑵若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学

校全体高一学生的达标率是多少？

（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.

解：⑴由已知可设每组的频率为为4玛17与15马9玛3x.

则2x+4x+17x+15x+9x+3x=1,解得x=0.02.

则第二小组的频率为0.02X4=0.08,样本容量为12+0.08=150.

⑵次数在110次以上（含110次）的频率和为17X0.02+15X0.02+9X0.02+3X0.02=0.88.

则高一学生的达标率约为0.88X100%=88%.

（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第四组.因为中位数为平分频率分布直

方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.

得分

12.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试16匚一

15一—甲：一

14——

13——

12——乙：—

11一一

10一一

第

第

第

第

第

一

二

三

四

五

次

次

次

次

次

成绩得分情况如图.

⑴分别求出两人得分的平均数与方差；

⑵根据图和⑴算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.

解：⑴由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

—10+13+12+14+16

x甲=二［3,

—13+14+12+12+14

X乙=r=13,

1

4=7[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,

1

4=5[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.

⑵由嫌＞爰可知乙的成绩较稳定.

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提

高，而乙的成绩则无明显提高.

13.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩（均为整

数）分成六段［40,50）,［50,60）,・・・，［90,100］后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信

息,