高中数学- 椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《3.1.2椭圆的简单几何性质》第一课时

1厢国雨国而回而同雨国雨团而团3团b团闺而而

2.瓯通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题

教学

目标的，培养学生逻辑推理的数学核心素养。

3初.步利用椭圆的几何性质解决问题，提高学生数学运算的核心素养。

重难教学重点:椭圆的几何性质.通过几何性质求椭圆方程并画图

点教学难点:椭圆离心率的概念的理解.

教学

讲授法、探究法

方法

教学

多媒体教学

手段

教学

教师活动学生活动设计意图

步骤

一、复习回顾

1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于

两定点间的距离）的动点的轨迹.

（一通过复习，一

2222方面检验学

）复2.标准方程：——+=1,"yd——\（6!>Z>>0）

a2b2a2b2学生回答生的掌握程

习导度，另一方面

为学习新课

入3.椭圆中a,b,c的大小关系

做好铺垫。

二、探究新知

22

(-观察椭圆^状，你能从图形上看出，通过提出问研究椭圆

a"b题、分析问在直角坐标

)探题、解决问系中的范围，

它的范围吗？它具有怎样的对称他U?椭圆一上哪些点比较

究新题激发学生就是研究椭

特殊？的学习兴趣，圆在哪个区

知

1.范围在掌握新知域里，只要讨

由椭圆的标准方程可知，椭识的同时培论方程中x,y

圆上点的坐标(x,y)都适合不等式7养能力.的范围就知

B2

v2道了.

尸。Ai

一JAa

晨X

2

bB1

即X2,2,

y2^b2

所以|x|Wa,|y|Wb复习关于X

即一aWxWa,一bw“Wb轴，y轴，原

这说明椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成trJ矩形里。点，对称的点归纳提问：从

2.对称性的坐标之间上面三种情

的关系况看出，椭圆

点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为x,-y)；

具有怎样的

点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为-x,M；

点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)；对称性.

(1)在曲线的方程里，如果以一y代、

iXt

方程不变，那么当点P(x,y)在曲线

P(x.y

上时，它关于X的轴对称点P，(x发现在椭归纳出：从上

圆的标准方面三种情况

-y)也在曲线上，所以曲线关于，j。一

/X

轴对称。程中①以一y看出，椭圆具

P，G,-y)

(2)如果以一X代x方程方程不变，代y②以-x有怎样的对

代X③同时称性.

那么说明曲线的对称性怎样呢？［曲线关于y轴对称,]

(3)如果同时以一x代X、以一y代y,方程不变，这时lit1线又以一X代X、

关于什么对称呢？［曲线关于原4?对称。］以一y代y.

椭圆关于x轴，y轴和原点都是对不米的。

这时，椭圆的对称轴是什么？［坐标轴］求曲线与X

椭圆的对称中心是什么？［原点］轴、y轴的交研究曲线的

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。点.上的某些特

3.顶点殊点的位置，

观察可以确定曲

在椭圆,的标准方程里，图形，由椭线的位置。要

令x=0,得y=±b。这说明了Bi。-圆的对称性确定曲线在

hlFUfTh)呈椭圆±5v珅的两个点占.、\加一可知，椭圆坐标系中的

*，一,\F,QIF?/［

令y=0,得x=±a»这说明了Ai(——,1---，短轴的端点位置，常常需

a,O)A(a,O)是椭圆与x轴的两个交点。到两个焦点要求出曲线

因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有的距离相与x轴，y轴

四个交点，这四个交点叫做椭圆的.顶点。等，且等于的交点坐标.

线段A1A2,B】B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。长半,轴长.

它们的长|AiA2|=2a,|BiBz|=2b(a和b分别叫做椭圆的长半

轴长和短半轴长)

在R.tZ\OB2F2中，由勾股定理有

222

|OF2|=|B2F2|-|OB2|,即c2=a2-b2

这就是在前面一节里，我们令a2-c2=b2的几何意义。

思考2:画出椭圆G:差+g=1与椭圆。2：系+£=1的草

图

4.离心率

定义：椭圆的焦距与长轴长的比e=£,叫做椭圆的离心率。

a

因为a>c>0,所以0<e<l.

调用几何画

观察图形，说

板，演示离心

得出结论：(l)e越接近1时，则c越接近a,从而b越小，因此椭明当离心率

率变化(分越

圆越扁；e变化时，椭

接近1和越

(2)e越接近0时，则c越接近0,从而b越接近于a,圆形状是怎

接近0两种

这时椭圆就越接近于圆。样随之变化

情况讨论)对

当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合于椭圆的的.

椭圆形状的

中心，图形变成圆。

影响］

当e=l时，图形变成了一条线段。为什么？留

给学生课后

思考.

三、例题

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶

点的坐标,并用描点法画出它的图形.

［根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a,短轴长

2b,该方程中的a=?b=?c-?因为题目给出的椭圆方程不是标

准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质］

解：把已知方程化为标准方程0+1=1,这里a=5,b=4,

5242

所以c=j25-16=3

因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a=10,2b=8

c3

离心率e=—=—

a5

两个焦点分别.是Fi(—3,0)后(3,0),

四个顶点分别是Ai(-5,0)Ai(5,0)Ai(0,-.4)Fi(0,4).

根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭

圆基本形状和大小的草图：

(1)以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

(2)由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；画图时

(3)用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。学生演板，要注意

例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程：教师点评.它们的

⑴经过点卜3,0)、(0,-2);对称性

⑵长轴的长等于离心率等于0.6

20,及顶点

附近的

例3：椭圆的一个顶点为A(2.0),其长轴长是短轴长的2倍，求

椭圆的标准方程.平滑性.

焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.

四、小结

⑴理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶

点和离心率；

(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响；

(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的

基本方法.

培养学生思

考问题、并能

…-一一2

探究发现一

困

A1JBZ学生思考并些问题的能

形Rd

尸总结.力，探究解决

问题的一般

标准+^2—1力+磊=1(o>〃>0)的思想、方法

方程

和途径.

焦点(-C,0),(c,0)(0,-C),(0,c)

范围|xWa,|y|Wb1X1Wb,yWa

对称性关于X轴，y轴，原点对称

顶点(土a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)

离心率e=-^-,0<e<l

五、布置作业

课本习题2.1(A)组第4、5题

学情分析

我所任教的班级学生是高二纯文的一些学生，他们经过一年多的高中数学学习，已经有

一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力。但是作为纯文的学生，大部分学生的数学基

础较为薄弱,独立分析问题、解决问题的能力不是很强。但是他们能意识到自己学习的不足，

对数学的学习兴趣高。因此依据以上特点，在教学设计方面，我借助多媒体手段，创设问题

情境，结合图形启发引导，通过提问、小组合作、学生板书等形式，为学生创设一节生动的

数学课。

效果分析

本节课是《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章第一节2课时的内容，

它是在学完椭圆的标准方程的基础上,通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单儿何性质。

通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来

研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做了铺垫。

通过本节课的学习，绝大多数的同学都能掌握椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶

点、离心率，特别是对于本节的重难点离心率的讲解，我在设计时先通过直观的儿何画板制

作出椭圆的扁平程度和离心率的大小关系，然后又定量分析了这一结论，加深了学生对椭圆

离心率的理解。另外，通过提问、小组合作、学生板书等形式，让学生参与课堂，提高了学

生的学习积极性，收到了不错的效果。

教材分析

1.教材的地位和作用

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章第一节2课时：椭圆

的简单几何性质。学生在初中曾学习过圆，也用代数方法研究过圆的一些性质，但真正系统

地用代数方法研究曲线性质这还是第一次。本节课先用几何眼光观察图形，再利用椭圆的方

程探讨几何性质，实现了数与形的完美结合。

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题

之一。通过本节课的学习，一方面要让学生掌握椭圆的几个几何性质，另一方面要通过对椭

圆的标准方程的讨论来研究它的几何性质是，体会用坐标法研究曲线几何性质的基本思路和

方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点，为后面学习双曲线、

抛物线奠定了基础。

2.重难点

重点：掌握椭圆的简单几何性质，体会数形结合思想在数学中的作用。

难点：根据方程研究椭圆形性质，离心率对椭圆形状的影响。

3.教材的处理安排

本课为"椭圆的简单几何性质"这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及

其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因

此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预

习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循

序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生

进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲

身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固

数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。

《3.1.2椭圆的简单几何性质》

学习目标

1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义

2、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何

问题的。

3、初步利用椭圆的几何性质解决问题。

学习重点与难点

学习重点：椭圆的几何性质

学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系

复习旧知

（1）椭圆的定义J.

（2）椭圆的标准方程：

焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：.

（3）椭圆中a,b,c的关系是:.

学习过程

一、课内探究

2j2

探究一：观察椭圆A+=1（。>〃>0）的形状，你能从图形上看出它的范围吗？

a

它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊?

1、范围：

由椭圆的标准方程=l(a>b>0)知:

V2

①I1,即<%<1,即<y<

a

22

因此j3=1（">"0）位于直线_________和__________围成的矩形里。

ab~

2、对称性：

（1）从图形上看，椭圆关于,,对称

（2）从方程上看，在椭圆的标准方程］+工=1（。>6>0）中

ab

①把X换成-X方程不变，说明图像关于轴对称。

②把y换成-y方程不变，说明图像关于轴对称。

③把x换成-x,同时把y换成-y方程不变，说明图形关于对称，

因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，

椭圆的对称中心叫做

O

3、顶点：

（1）椭圆的顶点：椭圆与对称轴有个交点，

分别为：4（)M）与（）当（)

(2)线段A叫做椭圆的，其长度为

线段B|B2叫做椭圆的,其长度为

。和人分别叫做椭圆的和

探究二：同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？是什么因素影响

了椭圆的扁平程度？

4、椭圆的离心率：

(1)定义:叫做椭圆的离心率，

用表示，即=

(2)由于a>c>0,所以离心率e的取值范围是

(3)若e越接近1,则c越接近a,从而人=后=7越____，因而椭圆越_________;

若e越接近0,则c越接近0,从而力=八2一。2越____,因而椭圆越接近于_

练习：比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？

22

(l)9x2+/=36-^—+—=1；

1612

22

(2)x2+9y2=36与二+乙=1。

610

要点总结:

标准方程2222

—+3=1(H>8>0)二+J=l(a>b>0)

ab

图形

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

轴长短轴长_________________，长轴长___________________.

焦距

a,b,c关系

离心率

二、典例剖析

例1：求椭圆16—+25^=40°的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的

坐标。

跟踪训练1：已知椭圆方程为6/+；/=6,

它的长轴长是：o短轴长是：o焦距是：—.离心率是:

焦点坐标是：o

顶点坐标是：o

例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程

3

(1)经过点产(一3，0),；(2)长轴长等于20,离心率等于二

跟踪训练2椭圆的中心在原点，一个顶点是(0,2),离心率'求椭

圆的标准方程。

三、当堂检测:

1、对于椭圆9一+25/=225,下列说法正确的是（）.

4

A.焦点坐标是（°，±4）B.长轴长是5C.焦距是4D.离心率是5

皂

2、离心率为-T、且经过点（2,0）的椭圆的标准方程为（）.

x,

—+v2=1

A.4

C.x2+41/=l口./+4J=4或4,+/=16

x22J

3、若焦点在x轴上的椭圆一+v二=1的离心率为士，则m=()

2m2

A.V3B.-C.-