第13节 对数函数及对数型函数 教学案- 高三数学一轮复习

对数函数及对数型函数(讲案)

【教学目标】

本节内容目标层级是否掌握

★☆☆☆☆☆

对数函数的定义

★★☆☆☆☆

对数函数的定点

对数函数的图像

★★★★☆☆

对数函数的单调性

对数大小比较

★★★★☆☆

对数函数的奇偶性

一、对数函数的定义

【知识点】

1.定义：一般地，我们把形如y=log”x(q>0,且aH1)这种形式的函数叫做对数函数，其中X是自变

量，函数的定义域是(0,+8).注意：(1)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，

如：y=2叫2x不是对数函数，而只能称其为对数型函数.(2)对数函数对底数的限制：S>°,且

定义域：（。,+8）

值域:R

过定点（1,0）,即x=l时，y=0

在（0,+8）上增函数在（0,+8）上是减函数

当0<x<l时,y<0,当0<x<l时,y>0,

当X21时，y“当X21时，y«0

【例题讲解】

★☆☆例题1.下列函数表达式中，是对数函数有—O

①y=log,2;@y=log„x（aeR）;③y=log8X（x>0）；④y=lnx（x>0）;⑤y=log,（x+2）;

⑥y=21og4X;⑦y=log2（x+l）

答案：③④

解析：由对数定义即可

★☆☆练习1.判断。

⑴函数y=log.,；是对数函数.（）

⑵函数y=21og3x是对数函数.（）

（3）函数y=log3（x+l）的定义域是（0,+8）.（）

答案：（l）x（2）x（3）x

解析：由对数定义即可

二、对数函数的定点

【例题讲解】

★☆☆例题2.已知a>0,且aA1,函数y=log“(2x-3)+正的图像恒过点Po若点P也在黑函数f(x)的

图像上，则/(幻=.

1_

答案：y=N

解析：由对数定义可得函数过定点(2,、伤)

★☆☆练习1.函数y=log“(x-1)+1恒过定点,

答案：(2,1)

解析：当x=2时可消掉a可得过定点(2,1)

三、对数(型)函数的图像

【例题讲解】

★★☆例题3.函数/(%)=2log4(l-x)的大致图像是()

答案：C

解析：/(尤)=2log4(1-x)是一个复合函数，可以看成“=1-x,y=2log4u两个函数的复合。先求定义域

M>0,EP1-X>0,%<1;再看单调性，复合函数单调性满足"同增异减"，所以单调递减。

★★☆练习L函数y=1g|x-11的图像是()

答案：A

解析：图像关于x=1对称，在区间(1,3)上单调递增。

★★☆练习2.若函数〃x)"T(a>0且a是定义域为R的增函数，则函数"x)=log.(x+l)的图像是()

答案：D

解析：函数〃x)=10g,,(x+l)的图像由函数/(X)=log“X的图像左移一个单位得到；由函数

/(x)=「(“>0且”1)单调递增得0<a<l,〃x)=log.(x+l)单调递减，选D。

四、对数函数的单调性

【例题讲解】

例题4.已知/(幻是定义在R上的偶函数,且/(%)在(0,+8)上单调递增，则()

A./(0)>/(log,2)>/(-log23)

B./(log32)>/(0)>/(-log23)

C./(-log23)>/(log32)>/(0)

D./(-log23)>/(0)>/(log32)

答案：C

解析：log23>log,2=1,log32<log33=1,f(x)是定义在R上的偶函数，且/(x)在(0,+8)上单调递

增，所以/(-log?3)>/(log32)>/(0)

★★☆练习1.设/(x)是定义域为A的偶函数，且在(0,一)单调递减，则()

1_3_2

2

A./dog3-)>/(2)>/(2

1.2_3

B./(lo-)>/(23)>/(22)

g'l4

_3_21

23

c./(2)>/(2)>/(log3-)

-3N|

D./(25)>/(22)>/(log,-)

【答案】C

【解答】解："'(x)是定义域为R的偶函数，.•./(log，)=/(log,4),

32

5

vlog,4>log33=l,0<22<2<2°=1,

32

/.0<2<2^<log34

/(x)在(o,g)上单调递减，

_3_2.

/(22)>/(23)>/(/叼)，

故选：C.

★★☆例题5.函数/(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是().

A.(-co,-2)B.(-co,-l)C.(l,+oo)D.(4,-KO)

答案：D

解析：由f-2x-8>0得：xe(-oo,-2)U(4,+(»)

令1=,则y=hv,当xe(-oo,-2)时，/=£-2x-8为减函数；

当xe(4,用)时，/=x?-2x-8为增函数；y=hv为增函数，

故函数/(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,田),故选：D.

★★☆练习1.函数/(元)=log„(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是______.

答案：(5,+8)

解析：利用复合函数单调性"同增异减"；注意定义域

★★☆例题6.已知函数f(x)"3。-l)x+4。，x<1是R上的减函数，则实数a的取值范围是

Jog/,X>1

答案:总

解析：分段函数单调性要求每段区间上单调，分段处单调性不变。

★★☆练习1.已知函数/■(x)=["n(l+x)+x-，jNO，若f(_a\+f(a\<2f(\)则实数a的取值

-xln(l-x)+x,x<0

范围是()

A.(-x>,-+

B.[-1,0]

C.[0,1]

D-[-M]

答案D

解析：函数/(x)为偶函数，在[0,+8)上单调递增，/(—a)+/(a)W2〃l)可以转化为2/3)42/⑴,

即/⑷4/(1).

五、对数大小比较

【例题讲解】

☆例题7.若。=log34,b=log76,c=log20.8，贝I」().

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

答案：A

解析：a=log4>1b=log6<1c=log0.8<0

3f7i2

☆练习1.若〃=0.3?,Z?=log20.3,c=log34，贝U().

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

答案：C

2

解析：a=0.3<1b=logo0.3<0c=log34>1

☆练习2.^a=log38,b=log050.2,c=log424,则().

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

答案：B

解析：log.,8<log,9=2,log050.2>log050.25=2,log424>log416=2,所以a最小；

log050.2=黑|=黑==黑=log?5=log,25>log,24,所以人最大。

lg0.5lg5-llg2

★★☆例题8.若a>b>l,Ovcvl,则()

A.ac<bcB.abc<ba1

C.alog〃c<blog.cD.log„c<log,,c

【答案】C

【解答】解：，0<c<1>

函数/(x)=x'在(0,+oo)上为增函数，故函>加,故A错误；

函数f(x)=x'T在(0,+oo)上为减函数，故故ba,<a，,B|Jabc>bae；故8错误;

lognc<0,且log〃c<0,k>g“6<l,即log2=bg“c.<],即iog“c>log〃c.故£>错误；

log。alog„c

0<-logac<-log6c,tifl-b\oguc<-alog/(c,BPZ>logac>aloghc,BPa\og,hc<b\ogac,故C正确;

故选：C.

★★☆练习1.已知。力>0且,若log,/>l,贝！1()

A.(a—1)(。一1)<0B.(a—l)(a—。)<0C.仅一l)g—a)<0D.(Z?-l)(^-«)>0

答案D

解析：由log“b>1可得〃>a>1或者()<A<a<1

六、对数函数的奇偶性

【知识点】

1.定义：函数图像关于原点对称，函数为奇函数，满足/(-x)=-/(x);函数图像关于y轴对称，函数

为偶函数，满足/(—%)=/(九)。

2.函数满足奇偶性的前提是定义域关于原点对称。

【例题讲解】

V-4-1

★★☆例题10.已知函数/(x)=ln——，判断函数奇偶性。

x-i

答案：奇函数

解析：先求定义域，关于原点对称；/(-x)=-/(x)。

2

★★☆练习1.函数/(X)=log(,(x+l)-log„|x|,判断函数/(X)的奇偶性并证明。

答案：偶函数

解析：由偶函数定义可得

★★☆例题11.若函数/(x)=xln(x+而7)为偶函数，则。=

答案：1

解析：由偶函数定义可得

★★☆练习1.若函数/(力=噢“1+&+2片)为奇函数，则a=

2V2

答案：:一

2

解析：略；注意a在底数位置,需要大于0

★★☆例题12.已知函数/(x)=ln(，l+-3%)+1，贝！l/(lg2)+/(lg；)=

A.-1B.0C.1D.2

答案：D

解析：ln(Jl+9%2-3x)是奇函数,lg2+lg1=0,利用奇函数性质即可。

★★☆练习1.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,长。)上是减函数，则不等式

flog,>0的解集为_________.

I8)

加

答案：C)

解析：flog〕x〉0n/log〕,所以Ilog〕x|<g,解得;<x<2。

【课后练习】

【巩固练习】

1.已知。=2。2,fr=log20.2,c=log020.3,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】解：•.•2°2>2°=1,「.a>l,

,/log20.2<log21=0,,\b<0,

•/log021<log020.3<log020.2=1,0vlog。20.3<1,即0vcv1,

:.b<c<a,

故选：c.

2.已知x=204,y=lg^,z=(|)0-4,则下列结论正确的是()

A.x<y<zB.y<z<xC.z<y<xD.z<x<y

【答案】B

【解析】解：•.•2°4>2°=1,/g|</gl=0,0<(|)°-4<(|)°=1,

：.y<z<x・

故选：B.

3.已知a=log23,b=(logo40.2严，，贝!，人，(•的大小关系正确的是()

加3

A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】解：logo.40.2>log。*0.4=1,

(/脸/0.2严<(/%4().2)°=1,

X1=log,2<log,3<log,4=2,工=log、10>log，=2,

这3

：.b<a<c.

故选：C.

4.函数y=|/g(x+1)I的图象是()

【答案】A

【解析】解：由于函数丫=々5+1)的图象可由函数尸3的图象左移一个单位而得到，函数尸侬的图象

与X轴的交点是(1,0),

故函数y=/g(x+1)的图象与X轴的交点是(0,0),即函数y=|/g(x+1)|的图象与X轴的公共点是(0,0),

考察四个选项中的图象只有A选项符合题意

故选：A.

5.若函数/(幻=108“工(4>0且4/1)的定义域与值域都是［〃7,"］(〃?<〃)，贝！］”的取值范围是()

A.(l,4-oo)B.(e,+oo)C.(l,e)D.(l,e‘)

【答案】D

【解析】解：•・•/(x)=log“x的定义域与值域相同，

等价于方程/(x)=10gtiX=K有两个不同的实数解.

因为/(x)=log“x=x,

bvc

—=xI

Ina

.•・/〃”=妈有2个不同解，

X

问题等价于直线y=Ina与函数y=—的图象有两个交点.

作函数丫=丝的图象，如图所示.

X

根据图象可知，当0<勿。<L时，即1<4<e：时，直线y=/〃〃与函数V=—的图象有两个交点.

ex

1

贴一）

e

故选：D.

6.函数y=log.(x+l)(a>0且awl)过定点()

A.(1,0)B.(0,2)C.(0,0)D.(0,1)

【答案】

【解析】解：因为又微函数经过(1,0),而函数丫=1。8.(*+1)(4>0且。*0)是由对数函数向左平移1个单位

得至!1,所以图象经过(0,0)；

故选：C.

7.若函数f(x)=log„x(a>0,a")在区间［2,4］上的最小值为2,则实数a的值为()

历

A.—B.V2C.2D.夜或2

2

【答案】B

【解析】解:,函数/(乃=108“工3>0,”1)在区间［2,4］上的最小值为2,

若a>l,则/（x）在区间［2,4］上为增函数，故有log“2=2，求得。=夜；

若0<”1,则/（X）在区间［2,4］上为减函数，故有log“4=2,求得a=2（舍去）,

综上可得，实数,

故选：B.

8.若。<x<y<1,则下列不等式成立的是（）

A.（；），<§）''B./<。

C.log'x<logiyD.logv3<log,?

22

【答案】

【解析】解：若0<x<y<l,

由于函数y=g）,是减函数，故有（；）*>（：）',故排除4；

由于函数丫=£；为减函数，,故排除8；

由于函数y=log,x为（0,+oo）上的减函数,故有log,x>log,y,故C错误；

222

由于log,3<0,logxy>0,故有log,3<0logty,故于正确,

故选：D.

9.函数y=log“，-or+2）在区间（-8,1］上是减函数，贝11。的取值范围是（）

A.（0,1）B.［2,+00）C.［2,3）D.（1,3）

【答案】c

【解析】解：若Ovavl,则函数.V=log“，-奴+2）在区间（-<»,1］上不是单调函数，不符合题意；

若a>1,则f=丁-or+2在区间（HO,1］上为减函数，且，>0

£1

"2,2,,a<3

1一〃+2>0

即。的取值范围是［2,3）

故选：C.

10.函数/(x)=|log3x|在区间［a,b］上的值域为［0,1］,则〃-。的最小值为()

1?

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【解析】解:函数/(X)=|log3X|在区间，切上的值域为［0,1］,

9：X=\时，/(%)=0,・.・x=3或g时，/(x)=l,

1_.19

故lw［a,b］,3和-至少有一个在区间［a,句上，.•./?-a的最小值为1--=-,

333

故选：B.

11.已知函数/(X)=log?X,若|/(x)|..l,则实数X的取值范围是()

(0,ju12，+8)D.(-00,1](J[2,+00)

A.(-00,gjB.[2,+oo)C.

【答案】C

【解析】解：,.■函数/(x)=log2X,

.J/(x)|..l,即：llog^xl.」，

.♦.1082乂4或1里2%，-1

0<X，或x..2

2

故选：C.

【拔高练习】

12里

14

1.已知。=log]213/?=(—)；c=log1314，贝!J。，,。的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【答案】D

【解析】解：/%14-/%13=/明14-厂二=丝畔俱

题12*12

・・♦<(/附3】4；/哂121=(我竺y<1,

12-1?

14(,

logL,14<logl213，且log”14>l,(―)<(—)=1,

：.a>c>b.

故选：D.

2.设“46=陪0,实数c满足，(其中e为自然常数)，则()

22

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】解:・・・el>0,s.lnc>0,

c>1fe'v—/

e

1I1

lnc<—=lnee<Ine2<ln2,

e

/.l<c<2,

33

XIn-<\,log？e>logj(-)2=2,

2252

：.b>c>a.

故选：B.

3.已知函数/(x)=ln(]x[+1)+-Jx2+],则使得.f(x)>/(2x-l)的.V的取值范围是()

A.(q,l)B.(—oo,—)|^J(l,+℃)

c.(l,+oo)D.(-00,1)

【答案】A

【解析】解:•函数/。)="(口|+1)+4177为定义域/?上的偶函数，

且在X..0时，函数单调递增，

.­•/«>/(2x-1)等价为/(|x|)>/(|2x-l|),

两边平方得f>(2x-l)2,

即3/一4%+1<0,

解得:<X<1；

3

，使得/(x)>f(2x-l)的x的取值范围是(；,1).

故选：A.

4.已知函数/。)=陛“，-2办)在［4,5］上为增函数，贝!I”的取值范围是()

A.(1,4)B.(1,4］C.(1,2)D.(1,2］

【答案】C

【解析】解：由题意可得g(x)=x2-2or的对称轴为x=a

①当时，由复合函数的单调性可知，g(x)在［4,5］单调递增，且g(x)>0在［4,5］恒成立

a>\

贝(］卜(4)=16-8〃>0

4,4

:.\<a<2

②0<a<l时,由复合函数的单调性可知,g(x)在［4,5］单调递增,且g(x)>0在［4,5］恒成立

0<a<l

则45此时。不存在

g⑸=25-10“>0

综上可得，1<a<2

故选：C.

log；">,x<0

5.设函数/(x)=2，若/(a)>/(-a),贝［|a的范围为()

logj,x>0

A.(-1,0)5。,1)B.(-1,0)51,+8)

C.(—30,—1)(1,+oo)D.(―co,—1)(0,1)

【答案】B

【解析】解:①当a>0