六年级奥数相遇和追及

相遇和追及问题

知假眼我

一、相遇

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段

路程，如果两人同时出发，那么

??甲.乙.

A“B人B

。时刻准备出发时间t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间

=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=速度和X相遇时间.

一般地，相遇问题的关系式为：速度和X相遇时间=路程和，即5和=%,

二、追及

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.

这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计

算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及时间-乙的速度X追及时间

=（甲的速度-乙的速度）X追及时间

=速度差X追及时间.

一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差X追及时间，即S差=%t

三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：

（1）在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同

（2）在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

F路程=速度和x相遇

相遇度和二路程+相遇

［相遇=路程+速度和

［追及=追及路程+速度差

追及速度差X追及

［速度差=追及路程+追及

IS咫盛

能够解决行程中复杂的相遇与追及问题

能够画出多人相遇和追及的示意图并将问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题

能够利用柳卡图、比例解决多次相遇和追及问题

一\相遇和追及

【例1】在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/

小时的速度行驶.后面的汽车刹车突然失控，向前冲去（车速不变）.在它鸣笛示警后5秒钟撞上

了前面的汽车.在这辆车鸣笛时两车相距多少米？

【巩固】乙二人同时从A地去5地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与

甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达3地，A、3两地相距多少米？

【例2】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山

的速度都是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480

米处再次相遇。山道长米。

【巩固】小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时6。千米.小王步行，速

度为每小时4千米.如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙

地的小王.那么甲、乙两地之间的距离是千米.

【例3】如图，A、3是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在3点，两人同时出发，相向而行.他

们在离A点:100米的C点第一次相遇.亮亮到达3点后返回A点，明明到达A点后返回8点，

两人在离6点80米的。点第二次相遇.整个过程中，两人各自的速度都保持不变.求A、3间

的距离.要求写出关键的推理过程.

【巩固】甲、乙二人同时分别从A、3两地出发，相向匀速而行.甲到达3地后立即往回走，乙到达A地

后也立即往回走.已知他们第一次相遇在离A,3中点2千米处靠3一侧，第二次相遇在离A地4千

米处.A、3两地相距多少千米？

【例4】（这道题就是之前介绍过的苏步青教授利用巧妙方法解决过的一个问题，当时苏步青教授在德国

访问，一位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题）甲和乙分别从东西两地同时出发，相对

而行，两地相距100里，甲每小时走6里，乙每小时走4里.如果甲带一只狗，和甲同时出发，

狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到

甲乙两人相遇时狗才停住.这只狗共跑了多少里路？

【巩固】在一次宴会上，一位客人给著名的数学大师、“计算机之父”冯•诺伊曼先生出了一个蜜蜂问题:

两列火车相距10°英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时5。英里.火车A的前端有一只蜜蜂

以每小时100英里的速度飞向火车3,遇到火车3以后.立即回头以同样的速度飞向火车A,遇到火

车A后，又回头飞向火车3,速度始终保持不变，如此下去，直到两列火车相遇时才停止.假设蜜蜂

回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂一共飞了多少英里的路？

【例5】甲、乙两地之间有一条公路.李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地,

80分钟后两人在途中相遇.张平到达甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在

途中追上李明.张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去.问：当李明到达乙地时，张

平共追上李明多少次？

【巩固】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米.汽车每小时行48千

米.两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回.汽车到甲地立即返回.两车在距

离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？

二、多人相遇和追及

【例6】甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，

甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3

分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？

【巩固】甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方

向行走。已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙

与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？

【例7】甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、8地同时出发相向而

行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙

相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？

【巩固】甲、乙两人从相距490米的A、3两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、

乙二人之间来回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）.已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40

米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走米；甲下

一次遇到丙时，甲、乙相距米.

【例8】张、李、赵3人都从甲地到乙地.上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，

李每小时走4千米.赵上午8时从甲地出发.傍晚6时，赵、张同时达到乙地.那么赵追上李的

时间是几时？

【巩固】甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙

车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分

钟走多少米？

【例9】甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三

辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。己知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟

行800米，求乙速车的速度是多少？

【巩固】快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这3辆车分别用6

分钟、10分钟、12分钟追上骑车人.现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，

慢车每小时走多少千米？

【例10】快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、

12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为60千米/时和40千米/时，求中速车的速度。

【巩固】A,B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A,B两地同时相向出发，甲速度为每小时40

千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑.在他们相遇3分钟后，甲

与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙.若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度

快2千米的车速，两人同时分别从A,B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多

少？

三、多次相遇和追及

【例11】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米,

乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

【巩固】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟

甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？

【例12】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A,B两地之间。已知甲车的速度比乙车快,

并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？

【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在

D点第二次相遇.已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？

【例13】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进

到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米？

【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4

千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相

遇地点之间的距离.

【例14】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途

中均要航行七天七夜.试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开

来的轮船？

【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,

全程要走15分钟.有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站.他出发的时候，恰好有一辆电车到

达乙站.在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车.到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出.问他

从乙站到甲站用了多少分钟？

【例15］如图，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重.甲以每秒

6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑

道的交点A处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？

甲―

【巩固】下图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点

出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首

次相距最远？

【随练1】自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队,

然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自

行车队和摩托车的速度.

【随练2】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千

米/时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？

【随练3】甲、乙两车同时从A、2两地相对亦开出，两车第一次距A地32千米处相遇，相遇后两车继

续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米处相遇，则A、B

两地间的距离是千米。

【随练4】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小

红的速度为4米/秒.他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟.在这段时间内，他们迎面相

遇了多少次？

【作业1】池塘周围有一条道路.A、B、C三人从同一地点同时出发.A和3往逆时针方向走，C往

顺时针方向走.A以每分钟80米、B以每分钟65米的速度行走.c在出发后的20分钟遇到A,

再过2分钟，遇到B.请问，池塘的周长是几米？

【作业2】一条路上有东、西两镇.一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西

镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米.当甲到

达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米.

【作业3】A、8两地间有条公路，甲从A地出发，步行到3地，乙骑摩托车从3地出发，不停地往返

于A、3两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，

问：当甲到达3地时，乙追上甲几次？

【作业4】甲、乙两人分别从A、3两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的士，二人相遇后继续行进,

3

甲到3地、乙到A地后立即返回.已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米,

那么，A、3两地相距千米.

【作业5】小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第

一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇（追上也算作相遇），则甲、乙两地的

距离为千米.

【作业6】A,B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A,