高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 六 2 第2讲 统计与统计案例学案-人教版高三全册数学学案

第2讲统计与统计案例

居搞图册

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

扇形统计图的应1.统计与统计案例在

卷I

用•K选择或填空题中的命

2018回归分析及其应题热点主要集中在随

卷II

用•彳8机抽样、用样本估计

卷III统计案例•小总体以及变量间的相

频率分布直方图、独关性判断等，难度较

卷II

立性检验•加低，常出现在3〜4题

2017

折线图的识别及应的位置.

卷III

用•q2.统计解答题多在第

统计图表的应用•〃18题的位置，且多以

频率分布直方图或茎

折线图、相关性检验、叶图与线性回归分析

2016卷III

线性回归方程及其应或独立性检验相交汇

用•加的形式考查，难度中

等.

n系统抽样

N

总体容量为“样本容量为刀，则要将总体均分成〃组，每组］个（有零头时要先去掉）.

N

若第一组抽到编号为的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为，，

AA+n-…k+5

N

n

a分层抽样

按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比=总体中各层的数量之比.

［考法全练］

1.福利彩票“双色球”中红色球的号码可以从01,02,03,32,33这33个两位

号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第

9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为（）

81472368639317901269868162935060913375856139

85

06323592462254100278498218867048054688151920

49

A.12B.33

C.06D.16

解析：选C.被选中的红色球号码依次为17,12,33,06,32,22.所以第四个被选中的

红色球号码为06,故选C.

2.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,…，80的80件不同产品中抽出一个容量为

16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为（）

A.73B.78

C.77D.76

解析：选B.样本的分段间隔为黑=5,所以13号在第三组，则最大的编号为13+（16

1b

-3）X5=78.故选B.

3.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有

20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

最喜爱喜爱一般不喜欢

4800720064001600

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查,

为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

解析：选D.法一：因为抽样比为忐帚=焉，

乙UUUU乙UU

所以每类人中应抽选出的人数分别为

1111

4800X—=24,7200X—=36,6400X—=32,1600X诉=8.故选D.

乙UU乙UU乙UU乙uu

法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800：7200：6400：1600=6：9：8：2,

6Q

所以每类人中应抽选出的人数分别为100=24,.,,,-X100^36,

6十9十8十26十9Q十8Q十2

6+9；8+2义1°°=32,6+9：8+2乂1°0=8,故选上

考点㈡

“双图”“五数”估计总体(基础型)

fil统计中的5个数据特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为

偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.

—1

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即丫=-(玉+刘+…+e).

n

(4)方差与标准差：

,1___

S?=-[(X1—x)2+(X2-x)2-|-----1-(为一;

n

(XLX)2+(*—x)ZH-----1-(x„—x)2].

0从频率分布直方图中得出有关数据的技巧

(1)频率：频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示频儡率，频率=组距x维频率.

(2)频率比：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因为在频率分布直方图中

组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比，从而根据已知的几组数据个数比

求有关值.

(3)众数：最高小长方形底边中点的横坐标.

(4)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.

(5)平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

(6)性质应用：若纵轴上存在参数值，则根据所有小长方形的高之和X组距=1,列方程

即可求得参数值.

[考法全练]

1.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量,如下表所示：

用电量/度120140160180200

户数23582

则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）

A.180,170B.160,180

C.160,170D.180,160

解析：选A.用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是

180,排除B,C；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180,

故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.

2.（2018•贵阳模拟）在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进

行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第

三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40,则成绩在80〜100分的学生人数是（）

A.15B.18

C.20D.25

解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04X10=0.4,因为频数是

40

40,所以样本容量是万1=100,又成绩在80〜100分的频率是（0.01+0.005）X10=0.15,

所以成绩在80-100分的学生人数是100X0.15=15.故选A.

3.（2018•武汉调研）某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个

得分的平均数为91,如图，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图

中用x表示，则剩余5个得分的方差为（）

877

9309x1

11636

A-B-T

C.6D.30

解析：选c.由茎叶图知，最低分为87分，最高分为99分.依题意得，(87+93+

5

90+9X10+^+91)=91,解得x=4.则剩余5个得分的方差s=1x[(87-91)2+(93-91)2

5

+(90-91)?+(94-91)2+(91-91)2]=|x(16+4+1+9)=6.故选C.

5

4.“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日

本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体

反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,

准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的

书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进

行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；

⑵求这40名读书者的年龄的平均数和中位数.

解:⑴由频率分布直方图知年龄在[40,70)的频率为(0.020+0.030+0.025)X10=

0.75,

故这40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为40X0.75=30.

（2）这40名读书者年龄的平均数为

25X0.05+35X0.10+45X0.20+55X0.30+65X0.25+75X0.10=54.

设中位数为x,则0.005X10+0.010X10+0.020X10+0.030X（才一50）=0.5,

解得x=55,故这40名读书者年龄的中位数为55.

考点㈢

回归分析(综合型)

[典型例题]

13命题角度一线性回归分析

昕1(2018•广州模拟)某地1~10岁男童年龄x,(单位：岁)与身高的中位数R(单位:

cni)(7=1,2,…，10)如下表:

x/岁12345678910

y/cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2

对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

10

Z<Xi-X)(%—

10_10_2=1

£(x-xY&(y/-y)2

Xyi=17—1

y)

5.5112.4582.503947.71566.85

(1)求y关于x的线性回归方程(线性回归方程系数精确到0.01)；

(2)某同学认为尸〃+gx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方

程是尸一0.30/+10.17^+68.07.经调查，该地H岁男童身高的中位数为145.3c0.与⑴

中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？

附：回归方程/=@+6入中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=

,2(Xi-x)(yt—y)-_-_

---------------------------------，a—y—bx.

E(Xi-x)2

2=1

f/£5—x)(y/-y)566.85

【解】(1)6=-----io-------z-------=r-n^6.871^6.87,

£(^-7)2Q8Q2.50

1=1

a=y-bx=U2.45—6.871X5.5^74.66,

所以y关于x的线性回归方程为p=6.87x+74.66.

(2)若回归方程为y=6.87x+74.66,当x=H时，y=150.23.

若回归方程为y=—O301+10.17x+68.07,当x=H时，尸143.64.

143.64-145.3|=1.66<1150.23-145.3|=4.93,

所以回归方程y=-0.30/+10.17^+68.07对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更

好.

网驾法商

求回归直线方程的关键及实际应用

（1）关键：正确理解计算6,a的公式和准确地计算.

（2）实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确

定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预

测变量的值.

13命题角度二非线性回归分析

圆口（2018•潍坊模拟）某机构为研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量

x（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统

计量的值.

烬

心0

勤

g15

i

f10

尊

5,.

05101520253035404550

印刷数量〃千册

88

£（右一x）•X（山一〃）•

8_i=l8_7=1

£（x—xYX（〃Lu）2

XyU2=12=1

（八一y）（%-y）

15.253.630.2692085.5-230.30.7877.049

表中Ui=­,uUi.

Xi8，=i

（1）根据散点图判断：y=a+H与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费

X

y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到

0.01）；

⑶若该图书每册的定价为10元,则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840

元？(假设能够全部售出.结果精确到1)

附：对于一组数据(仍，V1),(仍，诊)，…，(%,%)，其回归直线P=4+£歹的斜率和

n_

Z(W—FT)(V—V)

截距的最小二乘估计分别为£=------------——----，&=v-8w.

Z(w—沙)2

【解】(1)由散点图判断，尸c+?更适合作为该图书每册的成本费以单位：元)与印

刷数量x(单位：千册)的回归方程.

(2)令先建立y关于u的线性回归方程，

X

8__

.E(%—u)"y)7.049

由于d=8-=八公尸8.957心8.96,

「z-、2\J.(0(

3(ULU)

所以c=7一小三=3.63-8.957X0.269-1.22,

所以y关于u的线性回归方程为y=l.22+8.96u,

所以y关于x的回归方程为y=l.22+?.

(896、

⑶假设印刷x千册，依题意得10x—11.22+下卜》78.840,

所以x》10,

所以至少印刷10000册才能使销售利润不低于78840元.

网陶筋商

求非线性回归方程的步骤

(1)确定变量，作出散点图.

(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数.

(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归

方程.

(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果.

(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程.

口命题角度三回归分析与正态分布的综合问题

雨(2018•兰州模拟)某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y(单位:

"g)与该地当日最高气温x(单位：。C)的相关数据，如下表:

X119852

y7881012

(1)试求y与x的回归方程y=6x+a；

(2)判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6°C,试用

所求回归方程预测这天该商品的销售量；

(3)假定该地12月份的日最高气温AM〃，/),其中〃近似取样本平均数第，/

近似取样本方差试求?(3.8CK13.4).

附：参考公式和有关数据

,n____n一一

-Hxiy-nxyZQXLx)(y—y)

i-/=i__________/=[..

U-〃_一n_

〈Hx-nx2£(xj-x)2,

y-bx

枷七3.2,7^-1.8,若X〜N"a2),则一(〃一。)=0.6827,且尸(4

-2。〈/〃+2。)=0.9545.

n

【解】(1)由题意，x=7,y=9,2H—x1iyi—nxy=287—5X7X9=-28,

n_-28-_-_

£Xi-nx2=295—5X72=50,b=———0.56,y—bx=9—(~0.56)X7=

f=i50

12.92.

所以所求回归直线方程为尸一0.56x+12.92.

(2)由6=—0.56<0知，y与x负相关.将x=6代入回归方程可得，

尸一0.56X6+12.92=9.56,

即可预测当日该商品的销售量为9.56kg.

⑶由⑴知4p2=7,。心,心3.2,所以2(3.8CK13.4)=?(〃一。</4+2。)

=1p(n-。</〃+<?)+*(〃-2。〈/〃+2。)=0.8186.

题陶园回

解决与正态分布有关的问题，在理解，力的意义情况下，记清正态分布的密度曲线

是一条关于4对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的.

［对点训练］

（2018•高考全国卷II）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位:

亿元）的折线图.

2投资额

240

20

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回

归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…，17）建立模型①:

y=—30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量力的值依次为1,2,…，7）

建立模型②：y=99+17.51.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=—30.4+

13.5X19=226.1（亿元）.

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y=99+17.5X9=256.5（亿元）.

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：（以下2种理由，任选其一）

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=一

30.4+13.上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述

环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，

2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设

施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99

+17.5%可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②

得到的预测值更可靠.

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的

预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用

模型②得到的预测值更可靠.

统计案例（综合型）

［典型例题］

圆H（2018•福州模拟）某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取

50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平

的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表:

等级水平一水平二水平三水平四

男生/名48126

女生/名6842

（1）根据表中统计的数据填写下面2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践

操作能力强弱与性别有关？

实践操作能力较弱实践操作能力较强总计

男生/名

女生/名

总计

（2）现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男

生的人数为乳求f的分布列和数学期望.

下面的临界值表供参考：

尸（一2）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Ao2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n（ad—hd2

参考公式：段=«+6）（c+4（a+c）（Zd）'其中〃=a+6+c+d

【解】⑴2X2列联表如下:

实践操作能力较弱实践操作能力较强总计

男生/名121830

女生/名14620

总计262450

「一,幺50(6X12-14X18)2225

所以'=-30X20X26X24—=~52^4'327>3,841,

所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关.

(2)W的取值为0,1,2,3,4.

/(口)告EM=D=*畀,"=2)

04-7，厂1G―。/—p4—Qj-f

Cio(LioOu

,、以1

"（'=4）=百=市・

所以f的分布列为

01234

18341

P

1421735210

[834]8

所以£(f)=ox—+1X—+2X-+3X—+4X—=-=1.6.

"Ld乙1।Ou/J.UO

网陶法回

独立性检验的关键

（1）根据2X2列联表准确计算好，若2X2列联表没有列出来，要先列出此表.

（2）片的观测值#越大，对应假设事件笈成立的概率越小，4不成立的概率越大.

［对点训I练］

（2018•高考全国卷III）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生

产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分

成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据

工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图:

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由;

⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m

和不超过m的工人数填入下面的列联表:

超过m不超过m

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

2_____________n〈ad-be)’___________

附：(a+力)(c+d)(a+c)(力+d)'

尸(一》A)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下：(以下4种理由，任选其一)

(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间

至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分

钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5

分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种

生产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；

用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的

效率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最

多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7

上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布

的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完

成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.

(2)由茎叶图知/=胆警=80.

列联表如下：

超过m不超过m

第一种生产方式155

第二种生产方式515

40X（15X15一5X5）2

（3）由于片=一wwn—=1。＞6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式

的效率有差异.

■■专题强化训练■■

、选择题

1.某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将60个同学按01,

02,03,--60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6

个个体是（）

（注：下表为随机数表的第8行和第9行）

63016378591695556719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

A.07B.25

C.42D.52

解析：选D.依题意得,依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52,…因此选出

的第6个个体是52.

2.（2018•高考全国卷I）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍,

实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农

村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图:

三产业收入

第三产业收入

6%

种植收入I60%4%1其他收入玷话®】5%1其他收入

种植收入

30%

养殖收入

养殖收入

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后,种植收入减少

B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析：选A.法一:设建设前经济收入为小则建设后经济收入为2&则由饼图可得建

设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a,其

他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以新农村

建设后，种植收入减少是错误的.故选A.

法二：因为0.6V0.37X2,所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是

错误的.故选A.

3.（2018,昆明模拟）AQI（AirQualityIndex,空气质量指数）是报告每日空气质量的

参数，描述了空气清洁或污染的程度.AQI共分六级，从一级优（0〜50）；二级良（51〜100）；

三级轻度污染（101〜150）；四级中度污染（151〜200）；直至五级重度污染（201〜300）；六级

严重污染（大于300）.如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样

本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数为（）

C.12D.21

4

解析：选C.从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为正=

29

’所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30%鼻=12,故选C.

4.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,如图为检测结果

的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间［25,30）的为一等品，在区间［20,

25）和［30,35）的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为（）

C.10D.50

解析：选D.根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1—（0.0500+0.0625

+0.0375）X5=0.25,因此该样本中三等品的件数为200X0.25=50.

5.（2018•桂林、白色、梧州、崇左、北海五市联考）如图是2017年第一季度五省GDP

情况图，则下列陈述正确的是（）

卓

8000

拗、

7000卑

12

6000

10裂

收8

汨

运5000

、6无

照4000