高中数学选择性必修第一册课后练习6空间向量与平行关系

空间向量与平行关系

［A组基础巩固练］

一、选择题

1.若直线/的方向向量为a,平面a的法向量为〃，则能使/〃a的是()

A.。=(1,0,0),〃=(—2,0,0)

B.a=(l,3,5),〃=(1,0,1)

C.a=(0,2,l)»〃=(—1,0,—1)

D.a=(l,—1,3),(0,3,1)

D［若/〃a,则Q・〃=0.而A中=—2,

B中。〃=1+5=6,C中-I,只有D选项中。〃=-3+3=0.故选D.］

2.已知平面a和平面£的法向量分别为,"=(3,1,-5),〃=(一6,-2,10),则()

A.aA-pB.a〃§

C.。与夕相交但不垂直D.以上都不对

B［因为机=(31，—5),〃=(—6,-2,10),所以有〃=—2加，即帆与鹿共线(平行)，

可知平面a和平面P相互平行.答案选B.］

3.平面a的法向量“=(x,l,-2),平面夕的法向量。=(一1，＞'，已知a〃夕，则x

+)'=()

卜=T,

［由题意知，-：a//p,：.u=\v,即＜1=如'解得入=—4,y=~\,x=4,：.x

、-2=%

,,115,

+产4一十彳.]

4.已知平面a内有一个点42,-1,2),a的一个法向量为w=(3,l,2),则下列点P中,

在平面a内的是()

A.(1,-1,1)B.(1,3,

C.(1,-3,D.(-1,3,一弓)

B［对于B,6=(—1,4,一,，

则〃.力=(3』,2)(—1,4,一£)=0,

：.nlAP,则点中，3,，在平面a内.］

5.如图，在正方体ABCQ-A/iGA中，以。为原点建立空间直角坐标系，E为的

中点，尸为AQ的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()

B

A.(1,-2,4)

B.(-4,1,-2)

C.(2,一2,1)

D.(1,2,-2)

B［设正方体棱长为2,则A(2Q,0),E(2,2,l),F(l,0,2),

•,二=(0,2,1),AF=(-1,0,2)

设向量〃=(x,y,z)是平面的一个法向量

—►

n-AE=2y+z=0

则＜,

―►

“•AF=—x+2z=0

取产1,

得x=-4,z=-2

・・・〃=(一4,1,一2)是平面AEF的一个法向量

因此，只有B选项的向量是平面AE尸的法向量，故选B.］

二、填空题

6.若直线/的方向向量为a=(l,-2,3).平面a的法向量为"=(2,x,0),若/〃a,则

x的值等于.

1［由/〃a可知a〃=0,即2-2x=0,所以x=L］

7.已知薪=(2,2,1),n=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是.

S—3,D或(T3,—t)［设平面ABC的单位法向量是"=(x,y,z),

2克+2y+z=0

则<4x+5y+3z=0

^+>,24-22=1

r1C1

x3x3

22

解得0y=_§，或0y=y

22

<~3lz~-3

所以平面ABC的单位法向量是(；，—1,飙(Ti-I)

8.若A(0,2,罕)，B(l,-1,D，《一-2,1,3是平面a内的三点，设平面a的法

向量a=(x,y,z),贝ljx：y：z=________.

2：3：(-4)[因为6=(1,-3,一3,

AC=(-2,—1,—J,又因为04B=0,=

U,AC01

p-3y-^z=0,

所以j7

[-2x—),一左=。，

解得J4

2(一勃=2:3:(-4).

所以x：y：z=^y:y:]

三、解答题

9.如图，已知在正方体中，M,N,P分别是4人，BD,81c的中点,

利用向量法证明：

(1)MN〃平面CCIDIZ)；

(2)平面MNP〃平面CC\D\D.

［证明］(1)以。为坐标原点，DA,DC,的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立

空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2,则42Q0),C(0,2,0),

£>(0,0,0),M(l,0,D,ML1,0),尸(1,2,1).

由正方体的性质，知AO_L平面CG。。,

所以D4=(2Q0)为平面CGDQ的一个法向量.

由于加=(0,1,-1),则加•法=0X2+lX0+(—1)X0=。，所以加JL法.

又MVC平面CCiDiD,

所以MN〃平面CC\D\D.

―►—♦-►

(2)由于MP=(0,2,0),所以MP〃OC,

所以MP//DC.

由于平面CCiDiD,

所以MP〃平面CCiDiD.

又由(1)知，MN〃平面CC。。，

MNDMP=M,

所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP〃平面CGAD

10.如图，在正方体ABCQ-AIBCQI中，。为底面A8C。的中心，P是。9的中点.设

。是CG上的点，当点。在什么位置时，平面。出0〃平面小。？

|解|建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设正方体的棱长为2,

则0(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,l),仇2,2,0),£),(0,0,2).

设Q(0,2,c),：,OA=[1,-1,0),。2=(一1,-1,1),BQ=(-2,0,c),BDi=(-2,-

2,2).

设平面RAO的法向量为〃i=(x,y,z),

ni-OA=0,fx—y=0,

则.

[—x—>'+z=0,

niOP=0,

令x=1,0'Jy=1,z=2,

平面PAO6勺一个法向量为"i=（l,1,2）.

若平面OiBQ〃平面PAO,则m也是平面DiBQ的一个法向量.

：.nrBQ=0,即-2+2c=0,；.c=l,

这时〃「防1=-2—2+4=0,符合题意.

,故当。为CG的中点时，平面。山。〃平面以O.

［6组素养提升练］

11.（多选题）如图，在平行六面体ABCC-AWGA中，点M,P,Q分别为棱AB,CD,

BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是（）

A.AiM〃D\P

B.A\M//ByQ

C.AM〃平面DCC\D\

D.AM〃平面OiPQBi

ACD［连接PM（图略），因为M、P分别为A8、CO的中点，故PM平行且等于AD由

题意知AD平行且等于.故PM平行且等于.所以PMA\D\为平行四边形，故A正

确.显然4M与5Q为异面直线.故B错误.

由A知由于DP既在平面DCC\D\内，又在平面DiPQBi内.

且4M既不在平面。CCi£>i内，又不在平面。iPQBi内.故CD正确.］

12.如图所示，在正方体ABCC-AiBiCi。中，棱长为mM,N分别为AB和AC上的

点，AiA/=4V=与，则MN与平面B8iGC的位置关系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

B［分别以CIBI,CD,GC所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

A]M=AN=-^'a,CN=,

又Ci(O,O,O),Di(O,a,0),：.CID!=(O,a,O),

：.MNQDi=O,：.MNLQDi.

是平面BBiGC的法向量，

且MMl平面881GC,；.MV〃平面BBCiCJ

13.(一题两空)如图，在长方体ABCD-AiBiGA中，分别以长方体的两个顶点为始点和

终点的向量中:

(1)直线A8的方向向量有个；

(2)平面AA\B\B的法向量有个.

(1)8(2)8[⑴直线A8的方向向量有：嬴，2)，元，8高，A山，331,63,

共8个.

(2)平面A4山1B的法向量有：DA,AD,CB,BC,ZMi,A3i,QB\,B^C\,共8个.]

14.如图，在长方体ABCDAjBiGA中，AAi=AD=l,E为C。的中点，点P在棱44|

上，且。尸〃平面BNE,则AP的长为.

5[建立以A8,AD,AAi所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),

设|AB|=a,点尸坐标为(0,0,b)

则Bi(a,0,l),0(0,1,0),£(f,1,0)

ABi=(a,0,l),AE=g,1,0)

DP=(0,-1,b),•。尸〃平面

.•.存在实数A.,〃，设法=M而i+〃/，

即(0,-1,初=如,0,1)+戏，1,0

=,+%〃，A

［〃+%=0,

：・b=X=3,即A尸=g.］

〃=-1,

4=b,

［C组思维提升练］

15.如图，四棱锥P-ABCO中，以_1_平面ABC。，PB与底面所成的角为45。，底面ABCD

为直角梯形，ZABC^ZBAD=90°,勿=BC=；A£>=1.问：在棱尸。上是否存在一点E,使

得CE〃平面以B?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.

［解］分别以AB,4£>,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则尸(0,0,1),C(1,1,0),

0(0,2,0),设顼0,y,z),则

PE=(0,y,z-1),PO=(0,2,-1),

VPE//PD,.■•y(~l)-2(z-l)=0,①

,.•薪)=(0,2,0)是平面PAB的法向量，

CE=(­l,y—l,z),

由CE〃平面PAB,可得

.,.(一1,y—1,z)-(0,2,0)=2(j>—1)=0,

，y=l,代入①式得是P。的中点，

即存在点E为PD中点时，CE〃平面PAB.

课1检测二固双基

1.若41,0,—1)、仇2,1,2)在直线/上，则直线/的一个方向向量是(A)

A.(2,2,6)B.(-1,1,3)

C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

［解析］前=(2,1,2)—(1,0,-1)=(1,1,3).二选A.

2.直线八、，2的方向向量分别为4=(1,2,-2)、6=(—2,3,2),则(C)

A.lx//hB./|与/2相交，但不垂直

C./!±/2D.不能确定

［解析］'：ah=0,：.a±b,."山2.

3.若平面a、夕的法向量分别为a=R，-1，3)、6=(—1,2,—6),则(D)

A.a/邛B.a与夕相交但不垂直

C.a_L£D.a〃夕或a与/?重合

［解析］"b=-2a,：.b//a,；.a〃夕或a与夕重合.

4.已知/〃a,且/的方向向量为(2,m,1),平面a的法向量为(1,2),则加=_二

8.

I解析］设。=(2,m,1),b=(l,2).因为/〃a,所以a_Lb.于是2+W"?+2=0,则

机=-8.

5.在长方体ABC。一A］5cl£>i中，\DA\=2t\DC\=3f|。。4=4,M、N、E、尸分别为

棱4。1、A15、D\C\,81G的中点.

求证：平面AMN〃平面EF8D

I证明I证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,3,0),M(l,0,4),

33

加(2,y4),E(0,y4),尸(1,3,4).

3

-—*3-*,—>

牙EF=(1,会0),AM=(—l,0,4),8/=(一1,0,4).

:・MN=EF,AM=BF.：.MN//EF,AM//BF.

：・MN〃平面EFBD,AM〃平面EFBD.又AM,MNU平面AMN,AMCMN=N,

・•・平面AMN〃平面EFBD.

33

证法二：由证法一可知，4(20,0),M(l,0,4),NQ,.4),0(0,0,0),E(0,.4),/(1,3,4),

则俞=(—1,0,4),俞=(0,|,4),DE=(0,1,4),DF=(1,3,4).

设平面AMN,平面EFB。的法向量分别为〃]=。1,yi,Z1)、〃2=。2,丁2,Z2),则

"1•病=0,—xi+4z)=0,

V即《3

y+4zi=0,

n\-AN=0,

人।/312

令沏=1,付Z1=],y\=­y

mDE=0,以2+4z2=0,

又J一即产

、/12,。/=0,1^2+3^2+4Z2=0,

33

令”=—1,得Z2=g、X2=2-

2133

二小=(1,­Q,R、"2=(1,—1.g).

2

二"1=弓"2,即"i〃”2,二平面AMN〃平面EFBZ).

第一章1.41.4.1第1课时

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.若直线/的方向向量为。=(1,0,2),平面a的法向量为“=(—2,0,-4),则(B)

A.l//aB./±a

C.lUaD./与a斜交

I解析］u=-2a,.,.u//a,/±ct.

2.下列命题中，正确的个数有(C)

(1)直线/的方向向量是唯一的；

(2)若点4、8是平面a上的任意两点，”是平面a的法向量，则西•"=()；

(3)若向量〃八〃2为平面a的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一

定平行；

(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［解析］只有①错误，其余都正确.

3.(多选题)若M(l,0,-1),N(2,1,2)在直线/上，则直线/的一个方向向量是(AB)

A.(2,2,6)B.(1,1,3)

C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

［解析］"：M,N在直线/上，二疝=(1,1,3),

故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直线/的一个方向向量.

4.已知向量。=(2,4,5)、5=(5,x,y)分别是直线小b的方向向量，若/“小则(D)

15

A.x=6,y=15B.x=3,y=~

C.x=10,y=15D.x=10,y=^

［解析］：.a//b,

5.设平面a的法向量为(1,2,—2),平面4的法向量为(一2,—4,k)9若a〃夕，则％=

(C)

A.2B.-4

C.4D.-2

12—2

［解析］*•u.//p,•二_2=_4=k，・,左=4,故选C.

二、填空题

6.已知A、B、C三点的坐标分别为41,2,3)、8(2,—1,1)、C(3,九A),若/,

则A等于一号―.

［解析］48=(1,—3,—2)、AC—(2,2—2,2—3),

VA^±AC,：.ABAC=09

14

・・・2—3(2—2)—2(2—3)=0,解得4=亍.

7.已知直线/的方向向量为〃=(2,0,-1),平面a的一个法向量为容=(一2,1,-4),

则/与a的位置关系为/〃a或/U,.

［解析］w-o=2X(-2)+0Xl+(-l)X(—4)=0,

•A//a或/UQ.

8.在如图所示的坐标系中，ABCD-ABiGOi为正方体，棱长为1,则直线的一个

方向向量为(不唯一)(001)，直线8G的一个方向向量为(0,1,1).

［解析］,：DDi//AAi,筋产(0,0,1),直线的一个方向向量为(0,0,1);BC\//AD\,

ADi=(0,1,1),故直线BC\的一个方向向量为(0,1,1).

三、解答题

9.设0、b分别是不重合的直线人/2的方向向量，根据下列条件判断/”/2的位置关

系：

(1)°=(4,6,一2)、b=(—2,—3,1)；

(2)0=(502)、)=(0,1,0)；

(3)。=(—2,—1,—1)、)=(4,—2,—8).

［解析］(1)*/a=(4,6,—2)、b=(—2,—3,1),

：.a=-2bt：.a//b,:

⑵・.・。=(5,0,2)、力=(0,1,0),

・二〃•力=0,al.b,/./i±/2.

(3)Va=(—2,—1,—1),6=(4,—2,-8),

-9•a与b不共线也不垂直.与b相交或异面.

10.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是边长为1的菱形，ZABC=^,PA1.

底面ABC。，B4=2,点M为雨的中点，点N为BC的中点.AFLCD于F,如图建立空间

直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN〃平面PCD.

I解析】由题设知：在Rt^AFQ中，

AF=FD=^,

A(0,0,0),B(1,0,0),电，半，0),。(一乎，乎，0),

P(0,0,2),M(0,0,D.《1-当,乎,()).

疝=(1一坐坐,-1),即=(0,乎,一2),

访=(一坐,察一2)

设平面PCO的一个法向量为〃=(x,y,z),

nPF=0,±y-2z=0，

则j~W厂厂

ji-PD=01—半在当厂2z=0,

令2=也，得“=(0,4,柩.

因为—乎，乎，一1)(0,4,也)=0,

又MW平面PCD,所以MN//平面PCD.

B组•素养提升

一、选择题

1.从点A(2,—1,7)沿向量。=(8,9,—12)的方向取线段长|筋|=34,则B点的坐标为

(A)

A.(18,17,-17)B.(-14,-1917)

C.(6,1)D.f—2,—y,13)

［解析］设8点坐标为(x,y,z),则矗=%(%>0),

即(x—2,y+1,z—7)="8,9,一12),因为|AB|=34,

即［64#+8"2+144产=34,得4=2,

所以x=18,y=17,z=-17.

2.已知点A(4,l,3)、8(2,-5,1),C为线段AB上一点且但则点C的坐标为(C)

丽|,

A.&TDB.-3,2

_7$

C.律fID.I~TI

>

y,z),则由"尹=：得，(x—4,>>—

［解析I：C在线段AB上，...启〃油,二设C(x,

|A8|'

1,z-3)=|(2-4,-5-1,

1-3),

，.210

工-4=一1x~~

即，,解得，尸一1

7

z=3

故选C.

3.(多选题)下面各组向量为直线/i与/2方向向量，则八与七平行的是(ABC)

A.a=(l,2,—2)、b=(—2,—4,4)

B.。=(1,0,0)、8=(-3,0,0)

C.a=(2,3,0)>>=(4,6,0)

D.〃=(-2,3,5)、b=(-4,6,8)

［解析］/］与/2不平行则其方向向量一定不共线.

A中：b=-2a,B中：。=一3"，C中：b=2a.故选ABC.

4.(多选题)对于任意空间向量a=(m，Z，G)、b=(bi，b,,h3),则下列说法正确的是

(CD)

.〃*“1。2一43

A.a//b^-r-r-

B.若。1=政=。3=1,则a为单位向量

C.a_L6㈡+〃2左+。3历=0

D.若a为平面a的法向量，则向量(上履2,如3)/为非零实数)，也为平面a的法向

旦

里

［解析］由胃=£=膏=〃〃从反之不一定成立，故A不正确；B显然错误；CD是正确

的，故选CD.

二、填空题

5.平面a经过三点4(—1,0,1),3(1,1,2),C(2,一1,0),则平面a的法向量u可以是

(0,1,­~1).

|解析IAfi=(2,l,l),AC=(3,-1,-1),设平面a的法向量“=(x,y,z),则

uAB=2x+y+z=0f

令Z=-1,y=l,x=0,—1).

u-AC=3x—y—z=09

6.已知平面a经过点O(OQO),且e=(l,2,-3)是1的一个法向量，M(x,y,z)是平面

a内任意一点，则x,y,z满足的关系式是x+2y—3z=0.

［解析］由题意得e,痂，则而十=。，y,z)-(l,2,-3)=0,

故x~\~2y—3z=0.

7.在空间直角坐标系O—xyz中，已知A(l,—2,3)、5(2/，一1),向量赢的坐标为

-4),若直线AB交平面xOz于点C,则点C的坐标为(！，。，9,

［解析］设点C的坐标为(x,0,z),则启=(x—1,2,z-3),赢=(1,3,-4),因为病与

施共线，所以彳=|=言，解得,所以点C的坐标为g,0,£).

三、解答题

8.如图，已知P是正方形A8CZ)所在平面外一点，M、N分别是B4、8。上的点，且

PM:MA=BN：ND=5：8.

求证：直线MN〃平面P8C.

［证明］加=而+而+丽=一丽+筋+丽

=一7诙+PB+^jBD

5—►—►—►5——>■——*-

=一行(BA-BP)+PB+-^(BA+BC)

=^BP-BP+-^BC=^BC-^BP,

；.疝与的、丽共面，:.疝〃平面BCP,

'：MNQ平面BCP,：.MN//平面BCP.

9.如图，在正方体ABCD-4'B'CD'中，求证：平面AB'D'〃平面8OC'.

I分析I证明面面平行常用的方法有两种，一是证明它们的法向量共线；二是转化为线

面平行、线线平行即可.

［证明］方法I:设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，则41,0,0),

B'(1,1,1),D'(0,0,1)，3(1,1,0),£>(0,0,0),C(0,1,1),

于是Am=(0,1,1),D'~B'=(1,1,0),法=(1,1,0),DC'=(0,1,1).

设平面AB'D'的法向量为yi,zi),则“」A#,,

n\AB'=yi+zi=0,

即J

,n\D'B'=xi+yi=0.

令yi=l,则X1=-1,Z|=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为=-1).

设平面BOC'的法向量为"2=(尤2,刃，Z2).

―—n2DB—X2+y2—O,

则nLDB,mlDC,即'

2-►

nrDC=”+z2=0.

令丁2=1，则％2=—1,Z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为〃2=(—1,1,-1).

所以〃]=〃2,所以〃1〃物，

故平面A"D'〃平面跳)C'.

方法方由方法1知A万=(-1,0,1).BC'=(-1,0,1).AB'=(0,1,1),DC'=(0,1,1),

所以4少=BC',AB'=DC',

即AO'//BC,AB'//DC',

所以AD'〃平面B£>C',AB'〃平面BQC'.

又A。'QAB'=A,所以平面D'〃平面BOC'.

方法3：同方法1得平面AB'D'的一个法向量为"i=(一1,1,一1).易知法=(1,1,0),

DC'=(0,1,1).

因为为•5h=(-i,i,-1,o)=o,

nvDC'=(-1,1,-1)-(0,1,1)=0,

所以“I也是平面BOC'的一个法向量，

所以平面AB'D'〃平面BOC'.

第一章1.41.4.1第2课时