人教版数学第28章锐角三角函数学案

人教版教学九年级第二十八章锐角三角函教

28.1锐角三角函数

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观察下列图形都是什么图形？哪些图形比较特殊?

漫漫学小

28.1.1锐角三角的数的定义

■锐角三角函数的定义

A4BC中，NC为直角：

锐角NA的对边与斜边的比叫做乙4的，记作：si^A=

锐角乙4的邻边与斜边的比叫做ZA的,记作；cosA=

锐角乙4的对边与邻边的比叫做乙4的—____,记作______・tanA=______

1

【例1】在HzAABC中，ZC=90°.

⑴，标=（斜边——‘,()_

S，nRB=斜边.

Q)C°SA=斜边——'c°s8=斜边——

tanB一的包=_______

⑶3A1的邻边’

()

想一想:正弦的定义是什么?，余转的定义是什么二正切的定义天什幺?

【练习1.1］如图，在AABC中，NABC=90。，8OLAC于。，NCBD=cc,

AB-3,BC-4,求si〃a,cosa,tana的值.

【即时检测】

1.正方形网格中，乙405如图放置，则cosNAOB的值为（）＜3分钟〉

A.—B.—C.-D.2

552

【例2】在RrAABC中，ZC=90°,sM4=|,则的值为()

A.-B.-C.—D.1

3544

2

海一态.•正弦的定义是什么？正切的定义是什么?

【练习2.1】在MAA8C中，ZC=90°,AB=5,AC=2,则cosA的值是（）

A.叵B.2C.叵D-

5522

【例3】已知：如图，RfAABC中，ZC=90°.。是AC边上一点，£>E_LAB于

E点、.DE:AE=1:2.求：sinB、cosB、tanB.

点一点；正弦、余弦、正切的定义是什祢是否记熟？同角的三角西教值是否

相等？

【练习3.1］在区公43。中，ZC=90°,现把这个三角形的三边都扩大为原来的

3倍，则NA的正弦值（）

A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的3倍C.不变D.不能确定

28.1.2锐角三角的数常用公式

3

■常用公式

已知4+々=90。

(1)sinA=coscosA=sin

⑵sinA=cos&0。-)cosA=sin(90°—)

(3)sin2A+cos2A=

⑷包1A=

cosA

4

【例4】MBC中，ZC=90°,sinA=-,求co&4,tan/l的值.

态一态；正弦与余弦之间的公式有哪些？正切与正弦、余弦之间的关东？你是否

记熟？

2万

【练习4.1】/?公45。中，ZC=90°,cosA==-,求sinA,tanA的值.

【例5】如图，R/AABC中，NC=90。,

4

cm>4

求证：(1)sin2A+cos2A=l；(2)tanA--------

cosA

鹿一理:正弦余弦正切的定义是什&?同角的正弦余弦之间有什么关东？同角的

正切与正弦余弦之间的关条式是什么？

【即时检测】

2.已知sina+costz=〃z,sma»cosa=n>则帆，〃的关系是

<3分钟〉

【例6】44是锐角，已知cos4=—，求sin（90。-A）的值.

想一想二互余角的三角国教三间的关系你还记得吗？

【练习6.1］若a是锐角，tane・tan5（）o=l,则a的值为（）.

5

A.20°B.30°C.40°D.50°

【即时检测】

3.tanl°tan2°tan3°...tan89°=.<3分钟〉

28.1.3特殊角三角函数值

■特殊角三角函数值

三角函数30°45°60°

£

sill41A/3

2

22

cosV3Q

2

22

tan1百

3勺

【例7】求下列各式的值.

(l)2sin3O0-V2cos45°(2)tan30°-sin60°•sin30°

(3)cos450+3tan300+cos300+2sin600-2tan45°

想一想:特殊角的三角的数依你是否全部记住了？

6

【即时检测】

4.计算<6分钟〉

(1)cos245°-------------H---------------+cos230°+sin245°

sin30°tan30°

⑵/爵+2tan60。,八sin3001

(3)---------------1-----------

1+cos30°tan30°

【例8】求适合下列条件的锐角

(l)coscr=—(2)tuna—

2

想一想:哪个角的余弦值是2,邺个角的正切值是3?

【练习8.1］求锐角。的度数.

叵

(1)sina=——(2)tana-1

2

【例9】已知：如图，在AA3C中，ZBAC=120°,AB=\0,AC=5.

7

求：sinNACB的值.

A

盘一盘;特殊角的三角的数值祢全部记住了吗?120。角与哪个精珠角的三

角函数值有关，没有直角三角形我们该怎么做？

【练习9.1】已知：如图，RAA5C中，ZC=90°,AC=BC=y/3,作

ZDAC=30°,AD交CB于D点,

求：（1）N8A。；（2）sinN8AZ）、cosZBAD和tanNBAD.

【例10】阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题：

1n

sin30'=-,cos300=—,贝Usir?300+cos2300=；①

22

//y

sin45°=—,cos45°=—,则sir?450+cos2450=；②

22

sin600=——，cos600=——,贝ijsin2600+COS?60"二.（3）

22

观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有sirA+cos2A=.④

(1)如图，在锐角三角形4BC中，利用三角函数的定义及勾股定理

对/A证明你的猜想；

(2)已知：NA为锐角(cosA〉0)月.sinA=1,求cosA.

8

想一想L正卷余典的定义你还记得吗?

【练习10.1】关于三角函数有如下的公式：

sin(a+/?)=sintzco第+cosasin/7.①

cos(a+万)=cosacos/3-sinasin，......②

,八、tana+tan/?公

1-tana•tanj3

利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来

求值，如:

tanl05°=tan(45°+60°)=丽特+tan60°=l+y/3=(1+省)(1+£=_(2+我,

1-tan45°•tan60°1-1.V3(1-<3)(1+V3)

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端。点的俯角«=60°,

底端C点的俯角尸=75。，此时直升飞机与建筑物CD的水平距

离BC为42m,求建筑物C£>的高.

2.1.4锐角三角函教的范围

9

■锐角三角函数的范围

(1)<sin«<，增减性

(2)<cosa<,增减性;

(3)tanA>,增减性_______________________

【例11】已知NA为锐角，且cosAW，,那么()

2

A.0°<ZA<60°B.60°<ZA<90°

C.0°<ZA<3(^D.30°<ZA<90°

想-这；哪个特殊角的余弦值是:，余弦的增减性是什么?

【即时检测】

5.已知NA为锐角，且sinA〉L那么NA的范围.<5分钟〉

2

【例12】当锐角a>6()。时，cosa的值().

A.小于工B.大于工C.大于且D.大于1

222

盘一盘；刚才你在做题中遇.到了哪个特殊角，它的余弦值是多少？余弦的增

减4性是什么?

［练习12.1］当锐角々>45。时，cosa的值.

【例13】将cos21。，cos37。，sin41。的值按从小到大的顺序排列为

10

态一点：刚刚在做题中遇■到了不同种三角函数比较大小时,你该如何转化?

【练习13.1】将cosl3。，cos24。，sin50。的值按从小到大的顺序排列为.

【例14］已知锐角A满足关系式2sin2A—7sinA+3=0,则sinA的值为()

A.-B.3C.,或3D.4

22

想一想:刚刚在做题中你运用了一元二次方程的死和蹩题方法？你是如何取

舍根的？

【练习14.1］已知tan%-(1+V^)tana+行=0,求锐角a的度数.

11

延时检测：

1.如图，在正方形网格中有A45C,则tanNABC的值等于（）＜3分钟〉

3V10DVio

A.D.-----------c.-D.Vio

10103

2.把各边的长度都扩大3倍得Rt/^B'C',那么锐角A与A的余弦值的

关系为（）＜2分钟〉

A.cos4=cosA'B.cosA=3cosA'C.3cos4=cosA'D.不能确定

3.如图，在△ABC中，A。是8c上的高，tanB=cosZDAC,

（1）求证：AC=BD；

(2)若sinC=—,BC=12,求AO的长.<5分钟》

12

前情回顾：

4.在AABC中，NA,ZB均为锐角，>tanB-V3|+(2sinA-V3)2=0,则AABC是

()<3分钟〉

A.等腰三角形；B.等边三角形；

C.直角三角形；D.等腰直角三角形.

5.已知：在A4BC中，AC=b,BC=a,锐角NA=c,NB=£<7分钟》

⑴求A3的长；

⑵求证：-^―=-^—•

sm。sinp

13

28.2解直角三角形

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下面的图形你熟悉吗？你能准确说出它们的含义吗？

28.2.1解直角三角形概念及公式

■解直角三角形概念及公式

1.解直角三角形的概念：_______________—叫做解

直角三角形。

2.如图，解直角三角形的公式：

A

(1)三边关系：__________________c

(2)角关系：NA+/B=

(3)边角关系：sinA-,sinB-,cosA=

cosB=,tanA=,tan8=

【例1】在八43。中,/。=90。,如果0=3/=4,求NA的三个三角函数值.

14

感一建直禽三角衫三边的纭急便生记得吗?迎与角间电关条又怎样表达呢?

【即时检测】

1.在MAABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,求sinA,cosA,tanA.<2分钟〉

■解直角三角形的类型：

1.在一个直角三角形中：

已知两边：(1)在一个直角三角形中，已知两

(2)在一个直角三角形中，已知一与;

已知一边和一锐角：(1)在一个直角三角形中，已知一与

(2)在一个直角三角形中，已知一与;

2.在两个直角三角形中：(1)两个直角三角形不

(2)两个直角三角形.

【例2】在火/AABC中，ZC=90°,由下列条件解直角三角形:

(1)已知a=4g,b=2y/3,贝Uc=；

(2)如图，在尺△ABC中，ZC=90°,已知4=1(),。=1()后，则ZB=.

逮一尊：勾股定理你还记彳号吗?三纥的关系是怎，表达呢？等腰直角三角形

的性质是什么？

15

【练习2.1]

(1)如图，在MAABC中，NC=90。若ZA=30。,c=10,则"=,b=

(2)已知b=35,NA=45°,则a=.

【例3】在AA8C中，ZACB=90°,CD1AB,ZB=30°,8=6,求A3的长.

想一想:30°直角三角形有哪些性质你还记得吗？所求线段与哪些边长有关？

【即时检测】

2.在A/LBC中，/B=30。，ZA=45°,AC=2,CDLAB,求AB的长.<2分钟〉

【例4】已知A。18。，ZB=30。，ZACD=45°,AD^2,求BC的长.

16

A

施二盘;一3。葭45UL氮2氮般血强整技J搔风宏A吸，如红选元2上国以立爱2

【练习4.1］已知A3，CB,NC=45。，ZADB=60°,3C=3,求A。的长.

28.2.2实际应用

17

■仰角、俯角

【例5】电视塔高为350m,一个人站在地面，离塔底。一定的距离A处望塔顶8,

测得仰角为60°,若某人的身高忽略不计时，。4=

感一态；仰角的定义是什么？你能画图找出仰角吗？

【练习5.1】如图，河对岸有铁塔在C处测得塔顶4的仰角为30。，向塔

前进14米到达。，在。处测得A的仰角为45。，求铁塔A8的高.

［例6］某飞机与空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米，从飞机上

看地面控制点B的俯角为c=30。，求飞机A到控制点B的距离.

想一想:俯角的定义你记住了吗？你能画出图形，标出仰角吗?控制点B的

18

俯角与Rt^ABC中的哪个角相等？

【即时检测】

3.在高为//的山坡上，测得一建筑物的顶端与底部的俯角分别为30。,60。,用力表

示这个建筑物的高。＜3分钟〉

■坡度及坡角

坡面的和的比叫做坡度（坡比）。如图用字母i表示,

即1=4。坡度一般写成的形式,

（叫做坡角），那么

i=gtana。

【例7】如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCO,斜坡的坡度为z=2:3,

路基高AE为3m,底CO宽12m,求路基顶AB的宽

态一态.•坡度的定义你记住了吗？由等腰梯形能想到什么？由坡度可以得到哪个

19

角的正切值，如何把题中所给线段与坡角的正切藤条起来，怎么将CD分割队而

求，ABL?

【练习7.1](1)斜坡的坡度是1:百，则坡角c=—.

(2)一个斜坡的坡度为l=1:有，那么坡角a的正弦为

■方位角

指北或指南方向线与方向线所成的小于的水平角，叫做方向

角。

如图(3)方向角：OA：，OBz，OC：，OD：____

[例8]一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°,

距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘

船航行的速度为()

AA海里/小时B180海里/小时

C36海里/小时D366海里/小时

然一态；方住角你是否全掌握了？

【即时检测】

20

4.为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执

行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A北偏西45。并距该岛20海里的B处待

命.位于该岛正西方向。处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东

60。的方向有我军护航舰(如图所示)，便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,

立即沿8c航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到

达该商船所在的位置C处？(结果精确到个位.参考数据：V2«1.4，V3«1.7)

<10分钟〉

■解直角三角形与四边形

【例9】如图，点E在正方形48co的边A8上，连接短E,过点C作于

F,过点4作交OE于点G.

(1)求证：\DCFs\ADG.

(2)若点E是AB的中点，设NOCE=a,求sine的值.

态一点：正方形的性质是什么，全等三角形的判定与性质又是什么，如何蹩

21

直急三角形.

【即时检测】

5.已知平行四边形A8CD中，对角线AC和8。相交于点。，AC=10,BD=S.

(1)若AC_L8。，试求四边形ABC。的面积；

(2)若AC与BO的夹角400=60。，求四边形ABCD的面积；

(3)试讨论:若把题目中“平行四边形A8CD”改为“四边形A