2023北京一六六中高一3月月考数学试题及答案

高中PAGE1高中2023北京一六六中高一3月月考数学一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin210°＝（）A． B． C． D．2．如图，在平行四边形ABCD中，＝（）A． B． C． D．3．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝（）A． B． C．2 D．4．把函数y＝sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈R C．，x∈R D．，x∈R5．若动直线x＝a与函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B． C． D．26．若||＝1，||＝2，＝+，且⊥，则向量与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．8．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，PM⊥x轴，垂足为M．若△OMP的面积为，则sin2α＝（）A． B． C． D．9．在△ABC中，“对于任意t≠1，”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知向量，，满足，，，，则的最大值是（）A． B． C． D．二.填空题（本大题共5小题，每小题6分）11．已知sinα＝，＜α＜π，则cos（α﹣）＝．12．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则∠B的大小是．13．已知函数f（x）＝sinx﹣cosx，则＝；若将f（x）的图象向左平行移动个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）的一个对称中心为．14．在菱形ABCD中，若，则的值为．15．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝．三.解答题（本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，在△ABC中，＝，＝．设＝，＝．（Ⅰ）用，表示，；（Ⅱ）若P为△ABC内部一点，且＝+．求证：M，P，N三点共线．17．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．18．在△ABC中，asinC＝ccosA，c＝2．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长．条件①：sinC＝；条件②：b＝1+；条件③：a＝．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19．设有限集合E＝{1，2，3，⋯，N}，对于集合A⊆E，A＝{x1，x2，x3，⋯，xm}，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则称A为E的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集．（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；（Ⅲ）若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．

参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣，故选：A．2．【答案】B【分析】直接由向量减法的三角形法则求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，＝．故选：B．3．【答案】A【分析】结合已知条件，直接利用正弦定理作答．【解答】解：∵AB＝，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：，∴．故选：A．4．【答案】C【分析】根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．【解答】解：由y＝sinx的图象向左平行移动个单位得到y＝sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到y＝sin（2x+）故选：C．5．【答案】B【分析】可令F（x）＝|sinx﹣cosx|求其最大值即可．【解答】解：由题意知：f（x）＝sinx、g（x）＝cosx令F（x）＝|sinx﹣cosx|＝|sin（x﹣）|当x﹣＝+kπ，x＝+kπ，即当a＝+kπ时，函数F（x）取到最大值故选：B．6．【答案】C【分析】要求两个向量的夹角，需要知道两个向量的模和夹角，而夹角是要求的结论，所以根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．【解答】解：若，设向量与的夹角为θ∵，∴，则∴故选：C．7．【答案】A【分析】由已知函数图象求得T，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f（π）．【解答】解：由图可知，＝﹣（﹣）＝，则T＝π，∴ω＝2．又2×+φ＝，∴φ＝﹣．则f（x）＝2sin（2x﹣），∴f（π）＝2sin（2π﹣）＝2sin（﹣）＝﹣．故选：A．8．【答案】D【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，求得sin2α＝2sinα•cosα的值．【解答】解：平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，PM⊥x轴，垂足为M．若△OMP的面积为，则sinα•cosα＝，sin2α＝2sinα•cosα＝，故选：D．9．【答案】A【分析】两边平方后整理成关于t的一元二次不等式恒成立，利用判别式小于等于0，以及正弦定理可得充分性成立；由△ABC为直角三角形，不一定得出|﹣t|＞||成立，即必要性不成立．【解答】解：△ABC中，对于任意t≠1，|﹣t|＞||，所以＞，即a2t2﹣2actcosB+c2﹣b2＞0，t＝1时不等式a2t2﹣2actcosB+c2﹣b2＝0，所以Δ＝（2accosB）2﹣4a2（c2﹣b2）≤0，化简得cos2B≤1﹣，即sin2B≥，解得sinB≥，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得sinB＝≥，即c≥2R，所以sinC＝≥1，又因为sinC≤1，所以sinC＝1，得出C＝，充分性成立；若△ABC为直角三角形，则不一定C＝，所以|﹣t|＞||不一定成立，即必要性不成立；是充分不必要条件．故选：A．10．【答案】C【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．【解答】解：已知向量，，满足，，，则＝1，＝，又，则，即＝，当且仅当与同向共线时取等号，即，即，即的最大值是，故选：C．二.填空题（本大题共5小题，每小题6分）11．【答案】见试题解答内容【分析】由已知求得cosα，然后展开两角差的余弦求得cos（α﹣）．【解答】解：由sinα＝，＜α＜π，得cosα＝﹣．∴cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝．故答案为：．12．【答案】见试题解答内容【分析】根据sinA：sinB：sinC＝5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC＝5：7：8∴a：b：c＝5：7：8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可得cosB＝＝；∴∠B＝．故答案为．13．【答案】1；（0，0），答案不唯一．【分析】由题意，利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），∴＝2sin＝1．将f（x）的图象向左平行移动个单位长度得到g（x）＝2sinx的图象，令x＝kπ，k∈Z，可得则g（x）的对称中心为（kπ，0），k∈Z，则g（x）的一个对称中心为（0，0），故答案为：1；（0，0），答案不唯一．14．【答案】见试题解答内容【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．【解答】解：菱形ABCD中，，则＝•＝||×||×cos∠CBD＝||×||＝×＝．故答案为：．15．【答案】见试题解答内容【分析】根据f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．【解答】解：如图所示，∵f（x）＝sin，且f（）＝f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在处取得最小值．∴ω+＝2kπ﹣（k∈Z）．∴ω＝8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k＝1时，ω＝8﹣＝；当k＝2时，ω＝16﹣＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝．故答案为：三.解答题（本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【答案】（Ⅰ）＝，＝；（Ⅱ）详见解答过程．【分析】（I）由已知结合向量的线性表示即可求解；（Ⅱ）由已知只要证明与共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，＝，＝．设＝，＝．＝＝；＝＝﹣＝+＝；证明：（Ⅱ）因为P为△ABC内部一点，且＝+．则＝＝﹣+＝＝，所以与共线且有公共点M，所以M，P，N三点共线．17．【答案】（1）π；（2）最大值为2，最小值为．【分析】（1）根据三角恒等变换可得，结合公式计算即可求解；（2）根据题意可得，结合正弦函数的单调性，进而得出函数f（x）的最值．【解答】解：（1）＝＝，则，所以函数f（x）的最小正周期为π；（2）因为，所以，而函数y＝sinx在上单调递增，在上单调递减，当，即时，函数f（x）取得最大值为2，当＝，即x＝0时，，当，即时，，所以当x＝0时函数f（x）取得最小值为．故函数f（x）取得最大值为2，函数f（x）取得最小值为．18．【答案】（1）；（2）选①：不满足题意；选②：；选③：不符合题意．【分析】（1）由正弦定理可得，从而，进而可求解A；（2）选①：由正弦定理得，求得，从而确定三角形不存在；选②：由余弦定理求得，再利用等面积法可求解BC边上高线的长；选③：由正弦定理可求得，进而求得或，不满足题意．【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，又sinC≠0，所以，即，因为A∈（0，π），所以；（2）若选条件①：，由正弦定理知，可得，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；若选条件②：，由余弦定理可得，，即，所以满足条件的三角形唯一，设BC边上的高为h，由等面积法可知，即，解得，故BC边上高线的长为；若选条件③：，由正弦定理可得，即，所以，可得或，有两解，不符合题意．综上，应该选②，BC边上高线的长为．19．【答案】（Ⅰ）A为E的封闭子集，B是E的开放子集．（Ⅱ）9．（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用封闭子集，开放子集定义可得答案；（Ⅱ）A＝{1，x2，x3，•••，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，因集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中2≤n≤m，n∈N*，据此可得7≤x7≤64＜100，得m＞7，后排除m＝8，再说明m＝9符合题意即可；（Ⅲ）因为N∈N*，且N为奇数，当N＝1时，得m＝1，当N≥3，将E＝{1，2，3，•••，N}里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m＝为最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）对于A，∵2＝1+1，4＝2+2，6＝2+4，8＝2+6，10＝2+8，且A⊆E，则A为E的封闭子集．对于B，由题可得B＝{4，7，10，13，16，19}，其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B⊆E，∴B是E的开放子集．（Ⅱ）由题意，A＝{1，x2，x3，•••，xm﹣1，100}，设1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，∵集合A中任意一个元素中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，则xn﹣1+1≤xn≤2xn﹣1，其中n∈[2，m]，n，xn∈N*，得x2＝2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，∵7≤x7≤64＜100，则m＞7，若m＝8，则x8＝100，则在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为100，又1＜x2＜x3＜•••＜xm﹣1＜100，则当i＜j时，xi+xj≤x6+x7≤96＜100，得x8＝2x7，解得x7＝50，∴在A中存在元素xi，xj（i≤j），使它们的和为50，又当i＜j时，xi+xj≤x4+x5≤24＜25，∴不存在元素xi，xj（i≤j），使x6＝xi+xj，这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m≠8，当m＝9，取A＝{1，2，4，8，16，32，64