高考一轮复习理数课时达标检测（五十九）离散型随机变量的概率分布均值与方差

课时达标检测(五十九）离散型随机变量的概率分布、均值与方差一、全员必做题1．(2018·江苏扬州中学质检)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x，y.记eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))表示eq\f(x,y)的整数部分，如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1，设ξ为随机变量，ξ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,y))).(1)求P(ξ＝1)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解：(1)依题意知，实数对(x，y)共有16个，其中使ξ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝1的实数对(x，y)有以下6个：(1,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，(4,4)，所以P(ξ＝1)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.其中使ξ＝0的实数对(x，y)有以下6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，所以P(ξ＝0)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)；由(1)得P(ξ＝1)＝eq\f(3,8)；使ξ＝2的实数对(x，y)有以下2个：(2,1)，(4,2)，所以P(ξ＝2)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)；使ξ＝3的实数对(x，y)有1个：(3,1)，所以P(ξ＝3)＝eq\f(1,16)；使ξ＝4的实数对(x，y)有1个：(4,1)，所以P(ξ＝4)＝eq\f(1,16)，所以ξ的分布列为ξ01234Peq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)eq\f(1,16)eq\f(1,16)E(ξ)＝0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(1,8)＋3×eq\f(1,16)＋4×eq\f(1,16)＝eq\f(17,16).2．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24).所以随机变量X的分布列为：X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)eq\f(1,24)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12).(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(11,24)＋eq\f(11,24)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,48).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为eq\f(11,48).3．(2018·苏州期初)一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1)求恰好摸4次停止的概率；(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．解：(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则P＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,256).(2)由题意，得X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,256)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,128)，P(X＝3)＝1－eq\f(81,256)－eq\f(27,64)－eq\f(27,128)＝eq\f(13,256)，∴X的分布列为X0123Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(13,256)二、重点选做题1．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝eq\f(2＋16,90)＝0.2，P(X＝300)＝eq\f(36,90)＝0.4，P(X＝500)＝eq\f(25＋7＋4,90)＝0.4.因此X的分布列为：X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．2．某商场中的20件不同的商品中有eq\f(3,4)是进口商品，其余的是国产商品．在进口商品中有eq\f(1,3)是高端商品，在国产商品中有eq\f(3,5)是高端商品．(1)从该批商品中随机抽取3件，求恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(2)若销售1件国产高端商品获利80元，1件国产非高端商品获利50元，当销售该批国产商品3件时，获利为ξ元，求ξ的分布列及均值E(ξ)．解：(1)设事件B为“从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”．因为这20件商品中，进口高端商品有20×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝5(件)，国产高端商品有20×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝3(件)．所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,12),C\o\al(3,20))＋eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3)C\o\al(1,12),C\o\al(3,20))＝eq\f(17,38)，即从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是eq\f(17,38).(2)由于本批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，故销售该批国产商品3件时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P(ξ＝180)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝210)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝240)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).所以ξ的分布列为ξ180210240Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)故E(ξ)＝180×eq\f(3,10)＋210×eq\f(3,5)＋240×eq\f(1,10)＝204.三、冲刺满分题1．袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为eq\f(1,7).现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．(1)求随机变量X的分布列和均值E(X)；(2)求甲摸到白色球的概率．解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知eq\f(C\o\al(2,x),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，所以eq\f(\f(xx－1,2×1),\f(7×6,2×1))＝eq\f(1,7)，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝eq\f(A\o\al(1,3),A\o\al(1,7))＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(1,4)A\o\al(1,3),A\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(2,4)A\o\al(1,3),A\o\al(3,7))＝eq\f(6,35)，P(X＝4)＝eq\f(A\o\al(3,4)A\o\al(1,3),A\o\al(4,7))＝eq\f(3,35)，P(X＝5)＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(1,3),A\o\al(5,7))＝eq\f(1,35).随机变量X的分布列为X12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)所以E(X)＝1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(2,7)＋3×eq\f(6,35)＋4×eq\f(3,35)＋5×eq\f(1,35)＝2.(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，P(A1)＝eq\f(A\o\al(1,3),A\o\al(1,7))＝eq\f(3,7)，P(A2)＝eq\f(A\o\al(2,4)A\o\al(1,3),A\o\al(3,7))＝eq\f(6,35)，P(A3)＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(1,3),A\o\al(5,7))＝eq\f(1,35)，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,7)＋eq\f(6,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(22,35).2．(2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n).123…m＋n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)＜eq\f(n,m＋nn－1).解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p＝eq\f(C\o\al(n－1,m＋n－1),C\o\al(n,m＋n))＝eq\f(n,m＋n).(2)证明：随机变量X的概率分布为：Xeq\f(1,n)eq\f(1,n＋1)eq\f(1,n＋2)…eq\f(1,k)…eq\f(1,m＋n)Peq\f(C\o\al(n－1,n－1),C\o\al(n,m＋n))eq\f(C\o\al(n－1,n),C\o\al(n,m＋n))eq\f(C\o\al(n－1,n＋1),C\o\al(n,m＋n))…eq\f(C\o\al(n－1,k－1),C\o\al(n,m＋n))…eq\f(C\o\al(n－1,n＋m－1),C\o\al(n,m＋n))随机变量X