高中数学数列知识点与例题

数列基础知识点和方法归纳

知识点:

(一)数列的该概念和表示法、

(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记

作。，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号

n

为〃的项叫第〃项(也叫通项)记作。；

n

数列的一般形式：a,a,a,……，a,……，简记作｛。｝。

123nn

<2)通项公式的定义：如果数列｛4｝的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那

n

么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①｛a｝表示数列，。表示数列中的第〃项，a=/(〃)表示数列的通项公式；

nnn

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

③不是每个数列都有通项公式。例如，1,,,……

(3)数列的函数特征与图象表示：

序号：123456

项：456789

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函

数观点看，数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从1开始依

次取值时对应的一系列函数值……，，…….通常用来代替，其图象是一群孤立的点

(4)数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动

数列。

(5)递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且任一项与它的前一项。(或

n-1

前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

(6)数列通项。与前“项和S的关系

nn

1.S=。+。+a+A+«2.。'=1

n123ninIS-S

r=1n«-1

fs(〃=1)

题型一应用。=1。1,c\求数列通项

nIo-S(n>2)

n

【例1】已知数列L｝的前〃项和S=3,-2,求其通项公式.

nn

解析：当〃=1时,a=S=3i—2=1,

11

当〃22i^,a=S-S=(3“-2)-(3«-i-2)=2-3»-i

nnZT-1

又。=1不适合上式，故a=''

1"［2-3«-i(/i>2)

题型二、利用递推关系求数列的通项

［例2］根据数列｛a｝的首项和递推关系，a=1,a=«+_1_

〃12"+1〃4/22—1

求其通项公式

解析：因为a=。+,所以a—a=1

"+i"4〃2-1"+1”4Z?2-122n-12n+1

所以a-a

21213

43257

111

a-a=—(----------)

«i22〃-32/7-1

以上(〃-1)个式相加得

11

即：a=1-1=4〃-3

"4〃一24〃一2

【点拨】：在递推关系中若。=a+/(〃)，求。用累加法，若二=/(〃),求。用

"+1nn&

nn

累乘法，若。=pa+q,求a用待定系数法或迭代法。

/j+1nn

课外练习

11A1

1、设a=一++A+,(〃eN・)，则a与。的大小关系是

”〃+1〃+22/1+1〃+1n

(C)

A.a>aB.a=a

«+1n"+1n

C.a<aD.不能确定

«+i

解：因为

"+i〃2〃+22〃+3n+1

=1-1<0

2〃+32/i+2

所以a<a,选C.

n+1n

2.已知数列｛4｝的前〃项和S=〃2—4〃+1,则4=<「

nnn2/?-5,(n>2)

3.已知数列3｝的通项”一"(〃£N*),则数列右｝的前30项中最大项和最

〃H--J99〃

小项分别是。，a

109

解：构造函数丁=上必=1+迤誓

x—J99x—J99

由函数性质可知，函数在(-00,廊)上递减，且y<1;函数在(屈，+oo)上递增

且>〉1

又回e(9,10)

a>a>a>\>a>1>«>a>A

1011123012

>a

9

a最大，。最小

109

(~)数列

1.等差数列的定义与性质

定义：(为常数)，

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

(1)若，则

(2)数列&｝,｛a｝,｛a｝仍为等差数列，仍为等差数列，公差为〃2d；

2?i-12n2/r+1

(3)若三个成等差数列，可设为

(4)若是等差数列，且前项和分别为，则

(5)为等差数列(为常数，是关于的常数项为0的二次函数)

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数2〃的等差数列有

S=n(a+a)=n(a+a)=A=n(a+a)(〃,a为中间两项)

2n12n22/»-1nn+1n/»+1

Sa

S-S=nd,奇=_・

偶奇Sa

偶

（7）项数为奇数2〃-1的等差数列有

S=(2”-1)。(a为中间项)，S-S=a，型_=___-

2"Tnn奇偶〃§〃一1

偶

1.等差数列3｝中，a+。+。+。+。=120，则〃一1。的值为(C)

11

n468101293

A.14B.15C.16D.17

)j22

解：a-_a=a-_(a+2d)=_(〃-d)=_a一212()二」

93H93939383~

2.等差数列％｝中，a>0,S=S，则前项的和最大。

n1912---------------

解：OS=S,S-S=0

912129

a+Q+Q=0,.・.3。=0,

10II)211

a=0,又。>0

iii

...L｝为递减等差数列S=S为最大。

n1011

3.已知等差数列｛a｝的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为

n

W：vs,S-S,S-S,A,S-5,A成等差数列，公差为D其首项为

1020103020IIO100

S=100,前10项的和为S=10

10100

10x9

.-.100xl0+xD=10,/.D=-22

2

又S-S=S+10DAS=100+10+10,(-22)=-110

11010010IIO

>=50〃-98-「12〃+〃(〃-1)J=一2〃2+40〃-98=-2(〃-1())2+102

所以当〃=10时，y=102

max

4.设等差数列L｝的前〃项和为S,已知。=12,S>0,S<0

nn31213

①求出公差〃的范围，

②指出S,S,A,S中哪一个值最大，并说明理由。

1212

da=f(n)naS\a｝"n>2"

nnnn

解：①S=6(。+a)=6(。+a)=6(2。+7d)>()

121123103

24

/.24+7d>0z.d>-_

T

13（。+〃）1313

又S=113=—（〃+。）=_（2a+8d）<0

132231123

24+8d<0/.d<-3

24

从而一--<d<-3

7

②。S=6(a+a)>0S=13a<0a<0,a>0■.S最大。

1267137766

5.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(D）

1

A二B二

23

6.已知等差数列｛4｝中，a+a=16,a=1,贝必等于（A）

«79412

A.15B.30C.31D.64

解：。Q+a=a+a

79412

a=15

12

7.设S为等差数列｛a｝的前〃项和，S=14,S-S=30,则S=54

nn4107

8.等差数列M｝的前〃项和记为S，已知a=30,a=50

nn1020

①求通项。；②若S=242,求〃

解：a=a+

n1

a=30,a=50

20

解方程组］a+9d=30

1

Ia+19d=50

121

Jv/.a=2〃+10

[d=2

由S=w+&二止，s=242

n

n12

.­.12z7+n（n-1）-2=242

2

解得〃=11或〃=-22（舍去）

9.已知数列%｝中，a=3前〃和S=1(«+1)(«+1)-1

“1〃2〃

①求证：数列｛。｝是等差数列

n

②求数列｛。｝的通项公式

③设数列1的前几项和为T，是否存在实数M,使得T对一切正

\aaJ〃〃

l〃n+1J

整数〃都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①：S=_(〃+1)(a+1)-1

n2〃

?.a=S-S

n+1n+1n

=—[(n+2)(67+1)—(〃+1)(。+1)]

2n+1n

整理得，na|=仇+1)。-1

M+1n

・•.("+1),2=(〃+2)%一1

5+1)。-na=(〃+2)a

n+2n+1〃+1n

.•・2(〃+1%=(〃+D(%+。“)

2a=a+a

n+1n+2n

数列M｝为等差数列。

n

②a=3,na=(n+1)a-1

1n+1n

a=2a-1=5

21

a.a=2

即凄差成列ZM公差为2

n

/.a=q+-1)d=3+(〃-1).2

=2〃+1

(§)0---=-------------------

a。(2〃+1)(2〃+3)

nn+1

=「_[

212〃+12〃+3>

11

：.T=1(1_1+1_1+A+-)

“235572/7+12〃+3

232/7+3

1

又当〃eN*时，T<_

"6

要使得T4M对一切正整数〃恒成立，只要M2_,所以存在实数加使得

，，6

对一切正整数〃

Tn

都成立，M的最小值为o

6

2.等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列，公比为”.

注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

例：⑴在等比数列｛〃｝中，a+a=33,cici=32,a>4

n1634nn+1

①求a,

n

②若T=Iga+lga+A+lga，求T

n12nn

⑵在等比数列｛a｝中，若a=0,则有等式

n15

a+a+A+Q=a+a+A+a（〃<29,〃EN*）成立，类比上述性质，相应

12n1229Tl

的在等比数列"｝中，若b=1则有等式成立。

n19

解：⑴①由等比数列的性质可知：

a32

l

又4>

解

=1

即1

所

以a

6-1454=

---

a,2

1

32d

所以a-321

2-)I-

巾-

②由等比数列的性质可知，｛1g。｝是等差数列，因为

Iga=lg2e-n=(6-n)lg2,Iga=51g2

所以T=,

"22

⑵由题设可知，如果。0在等差数列中有

m

ci+a+A+。=a+a+A+a

12〃122/W-1-W

（H<2m-1,〃EN*）成立，我们知道，如果若〃2+"=p+q,则a+a=a+a，

tnnpq

而对于等比数列"｝，则有若〃z+〃=p+q,则a-a=a.a所以可以得出结

nmnP

论，若

h=1,则有Z?/?Ab=bbNb［n<2m-1,〃wN*）成立，在本题中

ni12n122w-1-n

则有（〃<37,

12n1237f

3.求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

例

1：数列，，求

解：时，，二①

时

①,②

一②得,

［练习］数列满足，求

解：注意到，代入得又，...是等比数列，

时，’

（2）叠乘法

例2：数列中，，求

解：，，又，，

（3）等差型递推公式

例3：由，求（用迭加法）

解：时，两边相加得

［练习］数列中，，求（）

（4）等比型递推公式

例4：（为常数，）

解：可转化为等比数列，设

令，.•.是首项为为公比的等比数列

・•・，・•・

（5）倒数法

例5：,求

解：由已知得：，工

...为等差数列，，公差为，,，

a=，4（"=1）

（附：公式法、利用nS-S（*2）、累加法、累乘法.构造等差或等比

n1

a=pa+q或a=pa+/（"）、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归

w+1n”+1n

纳法、换元法）

4.求数列前n项和的常用方法

（1）裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

例6：是公差为的等差数列，求

解：由

［练习］求和：

（2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求