讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章2 .1 .2 两条直线平行和垂直的判定

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

【学习目标】1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两

直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.

【导语】

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原

理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使

设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能

感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？

一、两条直线平行的判定

问题1在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内

角有什么关系？

提示两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.

问题2平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因

此可以得出什么结论？

提示两直线平行，倾斜角相等.

【知识梳理】

对于斜率分别为心，幻的两条直线6，/,,有h〃l20kl=k2.

注意点：

(1)/“出"=心成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与/2不重合.

(2)&=心0/|〃/2或与/2重合(斜率存在).

(3)/|〃/2=左=&2或两条直线的斜率都不存在.

例1判断下列各题中的直线/!与h是否平行：

(1)/|经过点A(—l,-2),B(2,l),/2经过点M(3,4),M—l，-1)；

(2)/1的斜率为1,12经过点4(1,1)，8(2,2)；

(3必经过点A(O,1),B(1,O),b经过点M(-l,3),N(2,0)；

(4)/i经过点A(—3,2),8(—3,10),/2经过点M5,—2),N(5,5).

1—(—2)—1—45

解(1)21=1^zrr=1»k2=\攵iW攵2,/i与b不平行.

2—(—1)—1—34

(2)%i=1,%2=2_]=1，ki=k2,故/i〃，2或/i与，2重合.

0—10-3.,

(3)鬲=二1,kz=''J—=—1>则有k\=k2.

3—1

又入“=一]_0=-2*-1,

则A,B,M不共线.故/i〃H

(4)由已知点的坐标，得人与&均与x轴垂直且不重合，故有/i〃A

延伸探究已知A(-2,m),例(加+2,3),N(l,l),若AB//MN,则m的值为.

答案0或1

解析当机=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，与AB不平行，

不符合题意；

当m=一1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与A8不平行，不符合

题意；

,,„,4-7774一〃？

当mW-2,且wt#-1时，ICAB=z77=_，

,3-1__2

kMN-n,+2-rm+V

因为4B〃MN,所以必B=&MN,

4—m2

即一下人=十？解得加=°或机=L

机十2m-v1

当"2=0或1时，由图形知，两直线不重合.

综上，m的值为0或1.

反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法

|不平行卜一条存在

一1条不存在

跟踪训练1(1)已知/i经过点A(0,3),8(5,3),A经过点颂2,5),N(6,5),判断直线/i与，2是

否平行.

解与/2都与y轴垂直，且/|与/2不重合，；./1〃/2.

(2)试确定机的值，使过点4>〃+1,0),8(—5,M的直线与过点C(-4,3),0(0,5)的直线平行.

解由题意知直线C。的斜率存在，则与其平行的直线A8的斜率也存在.kAB=<

—5—,(/w1-r1)、

5~~13]1

=7",kcD=n/77=9>由于AB//CD,所以％AB=%C£>,即7=5，得"，=-2.经

-6-m0—(—4)2—6一m2

验证，当机=—2时直线A8的斜率存在，所以m=-2.

二、两条直线垂直的判定

问题3平面中，两条直线小/2的斜率分别为公，近，则两条直线的方向向量分别为a=(l，

ki),Z>=(1,依)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？

提示ki-k2=—\.

［知识梳理】

对应与/2的斜率都存在，分别为与1中的一条斜率不存在,另一条斜

关系k\,h，则台如近=一1率为零，则与/2的位置关系是八，/2

y二

图小

O0n

(1)/|，/2<=>左曲=一1成立的条件是两条直线的斜率都存在.

(2)当直线时，有％他=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若

k5T,则一定有一，,2.

(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另

一条直线的斜率.

例2已知△A8C的顶点为A(5,-1),2(1,1),C(2,〃?)，若AABC为直角三角形，求〃?的

值.

解若NA为直角，则AC_LAB,二心。幺8=-1,

m+I1+1_

即2-5-1-5=-1,解得加=一7；

若为直角，则A8L8C,:.kAB-kBC=-l,

Hr1+1tn-15

即"；r——19解仔=3；

1—52—1

若NC为直角，则ACL8C,；.kAC・kBC=—1,

■r〃2+l"?-15,口

印^r=-1»解付加=±2.

2—j2—I

综上所述，“=-7或"7=3或加=±2.

反思感悟判断两条直线是否垂直的方法

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于一1即可；若有一条直线

与X轴垂直，另一条直线与X轴平行或重合时，这两条直线也垂直.

跟踪训练2(多选)下列各对直线互相垂直的是()

A./i过点N(l,2),b过点P(l,5),0(3,5)

B.八的斜率为一多为过点尸(1,1),电，

C./i的倾斜角为30。，/2过点P(3,小)，Q(4,2小)

D./i过点M(l,0),N(4,-5),1过点P(—6,0),(2(-1,3)

答案ABD

解析A中，与X轴垂直，，2与X轴平行，故两直线垂直；

B中，/2过点尸(1,1),Q(0，kpQ=l，故两条直线垂直.

C中，kpQ=®故/i不与，2垂直.

53

D中，/i过点M(l,0),N(4,-5),kMN=-q,，2过点P(—6,0),0(-1,3),依°=§,故两条

直线垂直.

三、平行与垂直的综合应用

例3已知A(—4,3),8(2,5),C(6,3),。(一3,0)四点,若顺次连接A,B,C,。四点,试判定

四边形ABCD的形状.

解A,B,C,。四点在坐标平面内的位置如图，

由斜率公式可得

5-31,0-31,0-3°,3-51

^=2-(-4)=3'kc,)=^3^6=y心〃=—3-(-4)二-3,总。=三=一1

:.kAB=kci>,由图可知A8与C。不重合，

J.AB//CD.

由MOWZBC,与BC不平行.

又,心3)=-1,

：.AB1AD.

故四边形A8CD为直角梯形.

反思感悟利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

I描点卜一码标系中描出给定的点I

~r,,

I猜测I_，根据描出的点，猜测图形的形扰।

鬲国若斜率不存在，直接说明；若存在，

也产根据给定点的坐标求直线的斜率

।结"论率之间的关系判断形状।

跟踪训练3已知点A(0,3),B(-1,O),C(3,0),求点。的坐标，使四边形ABC。为直角梯形

(A,B,C,。按逆时针方向排列).

解设所求点。的坐标为(x,y),

如图所示，由于心8=3,kBc=O,

：•kAB，kBC=O*—1,

即AB与BC不垂直，

故A8,BC都不可作为直角梯形的直角腰.

(1)若CO是直角梯形的直角腰，则BCLCO,ADLCD,

■:kBc=0,

的斜率不存在，从而有x=3.

又kAD=kBC,

-y—3

即y=3,此时A3与C£＞不平行,

故所求点。的坐标为(3,3).

(2)若AO是直角梯形的直角腰，则4Z5LA8,ADLCD,

3T‘⑦产士，

厂3y_

Ixi―3一，

1QQ

解得x=M，y=m，

二。点坐标为借，

综上，。点坐标为(3,3)或传，3).

-课堂小结

1.知识清单：

(1)两直线平行的判定.

(2)两直线垂直的判定.

2.方法归纳：分类讨论、数形结合.

3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.

N随堂演练

1.若过点P(32")和点Q(一肛2)的直线与过点M(2,—1)和点M—3,4)的直线平行，则加的

值是()

B.C.2D.-2

答案B

解析由题意知，PQ的斜率存在，

2m—24—(—1)1

由kpQ=kMN,何/0〃2=­

3—(—m)—3—2，

经检验知，，"=-g符合题意.

2.(多选)已知直线的斜率为4,/1±/2,则/2的斜率可以为()

11

A-B.一一

aa

C.aD.不存在

答案BD

解析当a#0时，由k\-k2——l知，依=一十，

当。=0时，/2的斜率不存在.

3.若直线/i的倾斜角为135。，直线七经过点P(—2,—1),2(3,-6),则直线/i与6的位

置关系是()

A.垂直B.平行

C.重合D.平行或重合

答案D

解析直线人的倾斜角为135。，

故斜率&=tanl35o=-1.

由6经过点P(—2,-1),。(3,-6),

所以勺=勺,，

所以直线与/2平行或重合.

4.已知△A8C的三个顶点分别是A(2,2),B(O,1),C(4,3),点£>(〃?』)在边BC的高所在的直线

上，则实数机=.

答案|

解析设直线A。，BC的斜率分别为以小kK,由题意，得AOL8C,

则有kAD・kBC=11,

1—23—15

所以有一？「;=-1,解得，

tn—24—02

课时对点练

L基础巩固

I.过点42,5)和点8(—4,5)的直线与直线y=3的位置关系是()

A.相交B.平行C.重合D.以上都不对

答案B

解析斜率都为0且不重合，所以平行.

2.直线人的倾斜角内=30。，直线/1JJ2,则直线办的斜率为()

A.一坐B害C.一小D.A/3

答案C

解析如图，直线/|的倾斜角内=30。，直线/」/2,则/2的倾斜角等于30。+90。=120。,

；,/2的斜率为tan120°=-tan60°=一5.

3.已知两条直线小b的斜率是方程3/+〃a-3=0(mGR)的两个根，则/i与右的位置关系

是()

A.平行B.垂直

C.可能重合D.无法确定

答案B

解析由方程SN+wtr—3=0,知/="，-4X3X(—3)="+36>0恒成立.

故方程有两相异实根，即/1与，2的斜率%2均存在.设两根为Xl,X2,则％|%2=XlX2=—1,

所以/4/2,故选B.

3

4.若直线/i的斜率怎=『直线b经过点A(3“，-2),B(0,标+i),且则实数4的

值为()

A.1B.3

C.0或1D.1或3

答案D

解析因为/|-L/2,

所以鬲饱=—1,

即3672+1-(-2)

1,

0—3。

解得a=\或a=3.

5.(多选)设平面内四点P(—4,2),5(6,-4),5(12,6),5(2,12),下面四个结论正确的是()

A.PQ//SRB.PQLPS

C.PS//QSD.PRLQS

答案ABD

解析由斜率公式知，

,-4-23,12-63,12-25,12+46-2I

kpQ=~6+4~=~5'依二五=一亨kps=lA^=y乩5=了彳=_4,弧?=五百=不

：.PQ//SR,PQ±PS,PR_LQS.而无内二总s,

；.PS与QS不平行,故ABD正确.

6.己知A(l,-1),8(2,2),C(3,0)三点，且有一点。满足C£)J_AB,CB//AD,则。点的坐

标为()

A.(-1,0)B.(0,-1)

C.(1,0)D.(0,1)

答案D

解析设D(x,y),

riy-°y

则如＞=L3=1?3当.

2+12-0

kAB=_।=3,kcB=2__2,

又CDLAB,CB//AD,

\kcD-kAB=-1,

>kAD=kcB,

IX-1

x+3y=3,x=0,

即£>(0,1).

,2x+y=\,y=i，

7.已知点A(—2,-5),仇6,6),点P在y轴上，且NAPB=90。，则点P的坐标为

答案(0,—6)或(0,7)

解析设点P的坐标为(0,y).

因为NAPB=90。，

所以

rv+5,y-6

又IIAP—2，kBP--6*kAP-kBP——1.

所以式.g=—1,

2-O

解得y=-6或y—1.

所以点尸的坐标为(0,-6)或(0,7).

8.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-h,3-a),其中。+匕W3,则线段PQ的垂直平

分线的斜率为—.

答案-1

3—ci—b

解析由过两点的直线的斜率公式可得依所以线段P。的垂直平分线的斜率

为-1.

9.当加为何值时,过两点B(2m2+1,机一2)的直线:

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点(3,2),(0,一7)的直线垂直；

(3)与过两点(2,-3),(一4,9)的直线平行.

解(1)由I(AB=2M=tan135°——1,

解得加=一2或m=i.

,tn一3„一1—2

(2)由&48=2相2，且0_3=3,

,日机一31

得万了

3,

3

解得加=］或m=-3.

tn—39+3.3j,

(3)令A/T=_4_2=_2,解传帆或机=-1・

3

经检验，当机或，"=一1时，均符合题意.

10.己知在。ABC。中,A(l,2),B(5,0),C(3,4).

⑴求点。的坐标；

(2)试判定是否为菱形？

解(1)设。点坐标为(“，。)，因为四边形A8CD为平行四边形，所以心B=&°,kAD=kBC,

ro~2Z?~4

I5—1a-3'[a=-1,

所以《，c,c解得，，

b~24~0[b=6.

—13—5'

所以。(一1,6).

4—26^~0

(2)因为7=1,ksD=\7=-1,

3—1—1—5

所以kAC'kBD=-1»

所以4CLB。，所以口ABCD为菱形.

L综合运用

11.(多选)已知点3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(l,0),且直线A3与直线CD平行,

则m的值为()

A.-1B.0

C.1D.2

答案BC

解析当〃?=0时，直线48与直线CO的斜率均不存在且不重合，此时AB〃CD

“，crl,(m+4)—3,2—0

当//77=0时，kAB=G9kcD=7—.«.

2m—m(机+1)—1

"z+12

则以8=Ac。，即一—一=~»得1,・,•勿2=0或1.

mm

12.如图所示，在平面直角坐标系中，以0(0,0),41,1),8(3,0)为顶点构造平行四边形，下列

各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是()

A.(-3,1)B.(4,1)

C.(-2,1)D.(2,-1)

答案A

解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即Q4O8C1,0ABOC2,Q4OC3B.根

据平行四边形的性质，可知B,C,D分别是点Ci,C2,C3的坐标，故选A.

13.已知AABC的顶点8(2,1),C(—6,3),其垂心为H(—3,2),则其顶点A的坐标为

答案(-19,-62)

解析设A(x,y),

因为AC_L8”,ABLCH,且融旧=一：，kcn=~y

'口=5,

x+6'[x=-19,

所以《解得所以4-19,-62).

厂1,