模块十三-复数

模块十三复数考纲解读高考大纲考试内容要求层次ABC复数的根本概念，复数相等的条件复数的代数表示法及几何意义复数代数形式的四那么运算复数代数形式加减法的几何意义分析解读掌握复数、纯虚数、实部、虚部、共轭复数、复数相等等相关概念，会进行复数代数形式的四那么运算，考查学生运算求解能力.知识导航考点剖析考点一复数的相关概念1.虚数单位i〔1〕它的平方等于，即；〔2〕实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．〔3〕i的乘方：，它们不超出的形式．2.复数的定义形如的数叫做复数，分别叫做复数的实部与虚部3.复数相等，即，那么这两个复数相等4.共轭复数时，．性质：；；；5.复平面及复数的坐标表示〔1〕复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的局部称为虚轴．〔2〕复数的坐标表示点〔3〕复数的向量表示向量．〔4〕复数的模在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．考点二复数的运算1.加法：．几何意义：设对应向量，对应向量，那么对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法那么解释．2.减法：．几何意义：设对应向量，对应向量，那么对应的向量为．表示、两点之间的距离，也等于向量的模．3.乘法：4.乘方：5.除法：6.复数运算的常用结论，，，，，，．，，，真题演练1.【2011北京,2,5分】复数 A．i B．-i C． D．举一反三1.1【2012浙江,2,5分】i是虚数单位，那么=A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2i1.2【2012四川,2,5分】复数〔〕A、B、C、D、1.3【2012辽宁,2,5分】复数(A)(B)(C)(D)2.【2009北京,1,5分】在复平面内，复数对应的点位于〔〕.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限举一反三2.1【2010陕西,2,5分】复数在复平面上对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.2【2012天津,1,5分】i是虚数单位，复数=〔A〕2+i〔B〕2–i〔C〕-2+i〔D〕-2–i3.【2010北京,9,5分】在复平面内，复数对应的点的坐标为______举一反三3.1【2011山东,2,5分】复数为虚数单位〕在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.2【2012全国,1,5分】复数=A2+iB2-iC1+2iD1-2i4.【2008北京,9,5分】，其中是虚数单位，那么实数．举一反三4.1【2012安徽,1,5分】复数满足：；那么〔〕4.2【2012重庆,11,5分】假设，其中为虚数单位，那么4.3【2012江苏,3,5分】设，〔i为虚数单位〕，那么的值为．轻松驿站改变世界面貌的十个数学公式1971年5月15日，尼加拉瓜发行了十张一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，由一些著名数学家选出十个以世界开展极有影响的公式来表彰。这十个公式不但造福人类，而且具有典型的数学美，即：简明性、和谐性、奇异性。〔一〕手指计数根本法那么邮票“1+1=2”是这套邮票的第一枚，这是人类一开始对数量认识的根底公式。人类的祖先就是以这一公式开始，堆石子，数贝壳、树枝、竹片，而后刻痕计数，结绳计数等，直至再后来创造文字、数字及计数用具如算盘、筹算、计算器等。一切都是从手指计数根本法那么开始，因为人有十个手指，计算时以手指辅助。毫无疑问，正是这一事实自然地孕育形成了现在我们熟悉的十进制系统。记数法与十进制的诞生是文明史上的一次飞跃。〔二〕勾股定理〔毕达哥拉斯定理〕假设一直角三角形的直角边为A、B，斜边为C，那么有A2+B2=C2,这就是欧氏几何中最为著名的勾股定理。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用。在国外最早给出这一定理证明的是古希腊著名哲学家和数学家毕达哥拉斯，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。

中国在商高时代就已经知道“勾三股四弦五”的关系，远早于毕达哥拉斯，不过，中国对于勾股定理的证明却是比拟迟的事情，一直到三国时期的赵爽才用面积割补法给出它的第一种证明。勾股定理的一大影响是无理数的发现。边长为1的正方形对角线长度为，不能用整数或整数之比即分数来表示，这一发现否认了毕氏学派“万物皆数”的信条，当时的人觉得整数与分数是容易理解的，称之为有理数，而新发现的这个数不好理解但却存在就取名为“无理数”。〔三〕阿基米德杠杆原理第三枚邮票表彰的数学公式F1X1=F2X2,其中F为作用力，X为力臂，FX即为力矩，从原那么上说，只要动力臂足够长，而阻力臂足够短，就可以用足够小的力撬动足够重的物体。为此，阿基米德说了一句古名言：“给我一个支点，我就能撬动地球”。呵呵，看看物理学家多自信!!!除杠杆原理外，阿基米德还发现了著名的浮力定律和大量的几何学定理，他也是微积分的先驱之一。被后世数学家称尊为“数学之神”，在人类有史以来最重要的三位数学家中，阿基米德占首位，另两位分别是牛顿和高斯。〔四〕纳皮尔指数与对数关系公式对数关系公式即为纳皮尔公式，其中e=2.71828……。对数的创造者是苏格兰业余数学家纳皮尔男爵。自44岁起，经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立创造了对数，1614年出版了名著《奇妙的对数定律说明书》，对数表这一惊人创造很快传遍了欧洲大陆。伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛应用。对数和指数已经成为数学的精髓局部，是每一个中学生必学的内容。〔五〕牛顿万有引力定律第五枚邮票立即使人联想到那个早已是家喻户晓的牛顿和苹果的故事。在那个神奇的假期里，一个苹果偶然从树上掉下来，这却是人类思想史的一个转折点，它使那个坐在花园里的人的头脑开了窍，终于牛顿发现了对人类具有划时代意义的万有引力定律。

其中G为引力常量，m1和m2分别表示两个物体的质量，r为两个物体的距离。〔六〕麦克斯韦电磁方程组第六个公式是麦克斯韦电磁方程组，该方程组确定了电荷、电流、电场和磁场之间的普遍联系，是电磁学的根本方程。麦克斯韦方程组说明，空间某处只要有变化的磁场就能激发出涡旋电场，而变化的电场又能激发涡旋磁场，交变的电场和磁场互相激发就形成连续不断的电磁振荡即电磁波。由此公式可以证明电磁波在真空中传播的速度等于光在真空中传播的速度，这不是偶然的巧合，而是由于光就是一定波长的电磁波，这便是麦克斯韦创立的光的电磁学说。麦克斯韦是继法拉第之后集电磁学大成的伟大物理学家。电磁学理论奠定了现代电力工业，电子工业和无线电工业的根底。1871年受聘为剑桥大学的实验物理教授，负责筹建该校的第一所物理学实验室—卡文迪许实验室。〔七〕爱因斯坦质能关系式E=mc2，这里c为光速，m为质量，E为能量。这就是后来最著名的质能关系式。这可是制造原子弹的理论根底。1905年提出这个公式的人是年仅26岁的伯尔尼专利局小职员爱因斯坦。1915年，建立了广义相对论，确定了空间、时间和物质之间的联系，质能转换公式及相对论的影响是巨大的，今天核能广泛用于农业及军事，而黑洞、时间旅行、空间弯曲等都是由相对论推导出来。爱因斯坦6岁学习小提琴，一生与小提琴相伴，艺术提高了他的审美能力，他一辈子也追求物理中的数学美(简洁美与对称美)。〔八〕德布罗意公式第八枚邮票表彰的公式是1924年德布罗意提出的表达波粒二象性的德布罗意公式：λ=h/mv,

其中λ为与粒子相伴的物质波的波长，h是普朗克常量，mv为粒子的动量。在德布罗意之前，人们对自然界的认识只局限于两种根本的物质类型：实物和场。德布罗意本来是学历史的，受数学家庞加莱的影响而改学科学。1924年他在博士论文中提出「物质波」的概念，轰动全世界，他认为任何实物、粒子都同时具有波与粒子二种性质，还运用爱因斯坦的相对论，导出物质波波长的公式。他的看法后来被戴维森的实验证实。而物质波的概念也为波动力学的开展提供了重要的理论根底。〔九〕玻尔兹曼公式1854年德国科学家克劳修斯首先引入熵的概念，这是对表示封闭体系杂乱程度的一个量，熵是希腊语“变化”的意思。这个量在可逆过程中不会变化，在不可逆过程中会变大。正像懒人的房间，假设没有人替他收拾清扫，房间只会杂乱下去，决不会变得整齐。生物也离不开“熵增大法那么”，生物需要从体外吸收负熵来抵消熵的增大。1877年，玻尔兹曼用下面的关系式来表示系统的无序性的大小：S=kLnW其中k为玻尔兹曼常数，s是宏观系统熵值，是分子运动或排列混乱程度的衡量尺度。W是可能的微观态数。W越大，系统就越混乱无序。由此可以看出熵的微观意义：熵是系统内分子热运动无序性的一种量度。由于观点新颖，一开始不为许多著名学者接受，玻尔兹曼为之付出了巨大的代价，成为他个人悲剧(自杀)的重要原因。玻尔兹曼的墓碑上刻的就是这个公式S=kLnW，以表彰他的伟大创见。〔十〕齐奥尔科夫斯基公式嫦娥奔月、万户飞天，人类对空间的向往由来已久，并为此进行着不懈努力。征服太空的关健是火箭技术。

说到现代火箭，就要提到举世公认的宇航理论先驱者，前苏联的齐奥尔科夫斯基。正是他提出利用火箭进行星际航行和发射卫星的可能性。并建立了火箭结构特点与飞行速度之间的关系式，即著名的齐奥尔科夫斯基公式。其中V为火箭的速度增量，Ve为喷流相对于火箭的速度，m0和mi分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量。它成为人类征服太空的钥匙。

1957年苏联发射第一颗人造卫星，揭开太空时