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文档简介
6.4.3正余弦定理的实际运用(精讲)
思维导图
;正确分析题意,提炼相关等式,利用等式的边
:、_用_关__系__合__理_地__将__向__题_转__化__为_三__角__函_数__的__问_题__
解三角形
与三角函用定理、公刊用正金定理、公康定理、二和疝公元、辅助i
数综合问、_式__、性质>1、_角___公__式_等_进__行__三__角_形__中__边__角__关__系__的__互__化_______
题
--------(利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等]
得结论—;知识求函数解析式、角、三角函数值,或讨论:
)[三角函数的基本性质等
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形
平面图
、内利用正弦、余弦定理求解;
形应用\(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果
仰角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线
俯角上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角
一
正
余
方
弦
位从指北方向顺时针转到目标方向
角
定线的水平角,如B点的方位角为a
理
的
应
用相对于某一正方向的水平角
实北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向
际北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向
应
用
坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(角。为坡角)
坡角
坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(i为坡度).
坡度
、坡度又称为坡比.
;理解题意,分清己知与未知,画出示意图
;根据己知条件与求解目标,把己知最与求解最尽最集
;中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型
,、解题4步骤
;利用正弦定理和余弦定理力.序地解三角形,求得数学
:模型的解
:检验上述所求的三角形是否具有实际意义,从而得出
:实际向题的解
考法一正余弦定理的综合运用
【例1-1](2020•内蒙古赤峰市)在△A3C的中,角A,B,C的对边分别为a,b,C,且
<2sinA+Z>(sinA+sin8)—csinC=0
(1)求角C;
(2)若c=2,求a+b的取值范围.
【答案】(1)。=与:(2)(2,竽]
【解析】⑴山asinA+仇sinA+sinB)-csinC=O,及正弦定理得a?+皿一。2=。,
—ctb1/八-t-r-Ki2万
由余弦定理得cosC二巴3--——=—,又0vC<〃,所以C=—;
2ah2ab23
(2)由/+4。+讶2一片=0及c=2,得/+a/?+/?2=4,即(a+b)2-ab=4,
所以"=(。+。)2-4w,(。+份2,所以a+84土叵,当且仅当a=〃=2叵时•,等号成立,
433
又a+Z?>2=c,所以2<a+〃《迪,
3
所以Q+白的取值范围为2,
119
【例1-2].(2020•全国高一)在①c=7,cosA=②cosA=-,cos8=—.这两个条件中任选一
7816
个,补充在下面问题中:在AABC中,它的内角A,B,C的对边分别为“,b,c,已知a+Z?=U,.
求”,。的值.
【答案】答案见解析.
【解析】选择条件①:c=7,cosA=--,a+b=\\,
7
a2=b2+c2-2hccosAa2=(11-«)-+72-j,z.a-8,b-3
JQ--------Qp-j
选择条件②•「cosA二不,cosB=—,A»B(O,TT),••sinA=Jl—cos?A=----
8168
raa
sinB=Jl—cos?B=上4由正弦定理得:—^一=-----,:.3币-5近,:•a=6,b=5.
16sinAsmB-
olo
【一隅三反】
1.(2020•江苏南京市•南京师大附中高一期末)在AABC中,设角A,B,C的对边分别为a,4c,已知
cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.
(1)求角C的大小;
(2)若c=G,求AABC周长的取值范围.
【答案】⑴y;⑵(2忖2+网
【解析】(1)山题意知l-sin2A=sin28+l—sin2C+sinAsin3,
即sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB,
由正弦定理得Q?+b2-c2=-ab
由余弦定理得8SC=q^=/=《
2ah
又0<C<乃,C——
3
abcV3--
------=-------=-------=--------=2,/.a—2sinA,/?=2sino
(2)sinAsinBsinC.2〃
sin——
3
则A4BC的周长
/X/\
L=a+h+c=2(sinA+sinB)+V3=2sinA+sin--A+百=2sinA+—+6.
U)I3)
八4471A冗2兀V3
0<A<—,—<AH—v—,...—<sinA+—j<1,
33332I3j
20<2sin[A+;|+GK2+B
.•.AA8C周长的取值范围是(26,2+6].
2.(2020•吉林白城市•白城一中高一期末(文))△ABC的内角A,B,C的对边分别为“,b,c
已知(2c—“)cos3cosA=0.
(1)求角8的大小;
(2)若a+c=l,求b的取值范围.
JI1
【答案】(1)(2)-<h<\.
32
【解析】(1)v(2r-a)cosB-Z?cosA=0,
•*.山正弦定理可得:ZsinCcosB-sinAcosB-sinbcosAuO,可得2sinCeos3=sin(4+3)=sinC,
・・・C为三角形内角,sinCHO,.•・可得cos8=J,
2
71
/.B=—.
3
(2)\*B——,Q+C=1,.二由余弦定理可得力=6T+/—ac=(a+c)2—3ac..(a+c)--3x(—-—,
324
b..)-,*:b<a+c=\,„b<\.
22
3.(2020•沙坪坝区•重庆南开中学高一期末)在中,角A,B,C所对的边分别为。,b,
满足acosC=(2〃—c)cosA.
(1)求NA的大小;
(2)若。=3,求AABC面积S的最大值.
【答案】(1)A=-:(2)也.
34
【解析】(1)tzcosC=(2b-c*)cosA.
=>sinAcosC=(2sinsinC)cos4,
nsin(A+C)=2sinBcosA,
=sinB=2sin8cosA,
1
=>cosA=一,
2
,TC
A=—.
3
,c、,1/?2+C2-92bc-9
(2),/cosA=-=------------>---------,
22bc2bc
/.0<Z?c<9,
S=—sinA<—x9x—~,当。=。=。=3时取得等号,
2224
.•.△ABC面积S的最大值空.
4
考法二正余弦定理与三角函数综合运用
【例2】(2020•湖北荆门市•高一期末)已知/(%)=2A/3sinxcosx+sin2x-cos2x
(1)求函数取最大值时x的取值集合;
(2)设第曲△A5C的角A,B,。所对的边分别为“,b,c,/(C)=l,c=JJ,求AABC的面积
S的最大值.
【答案】(1)[xx=k^+-,kez\-(2)6±3&
I3/4
【解析】(1)/(x)=2>/3sinxcosx+sin2x-cos2x=>/3sin2x-cos2x=2sin2x-—.
I6J
令2x-匹=2Z7+—eZ,即1=%乃+三(ZcZ)时,/(x)取最大值;
623
TT
所以,此时X的取值集合是《X尤=%乃+=,ZeZ*
(2)Lt]/(C)=1,得sin(2C-1)=g,
因为0<C<三,所以一工<2C—工(豆,所以2c-工=工,则。=工;
2666666
在AA8c中,由余弦定理/="+从—2"cosC,
得3=a?+胪一6abN(2—6)ab,即。〃<3(2+百),当且仅当。=力时取等号,
所以△ABC的面积5=;0加皿043*3(2+右”;=岂普您
因此AA5c的面积S的最大值为6+3」.
4
【一隅三反】
1.(2020・黄梅)已知函数/(x)=Gsin卜+-cosx.
(1)求函数“X)在[0,句上的最小值;
3
(2)已知a,b,c分别为AABC1内角A,B,。的对边,b=5y/3,cosA=—,且/(B)=l,求边a
的长.
【答案】(1);(2)8.
2
、
711.73
【解析】(1)/(x)=V3sinXd------COSX=百—sinx+COSX-COSX
32V7
/3.1.(
—sinx+—cosx=smx+一,
22I6)
乂工£[「八(),%1],所一一以,无+工71£—万77-r
666
77*17T
所以当x+—=,即%=万时,“X)取得最小值,
66
所以/(X)min=_;,
(2)因为/(B)=sin(B+^]=l,Be(0,,
71
所以5=一,
3
.a5\/3
Q5/[__—______
又cosA=1,所以sinA=q,所以由正弦定理有46,所以a=8.
555T
2.(2020•甘肃省民乐县第一中学高三期中(理))已知函数/(x)=20sinxcosx-3sin2x—cos2x+2.
71
(1)当0,y时,求,f(X)的值域;
(2)若A4BC的内角A,B,C的对边分别为C且满足2=百,Sin(2/1+C)=2+2cos(A+C),
asinA
求/(8)的值.
【答案】⑴[-1,2];(2)1.
【解析】(1)/(x)=2>/3sinxcosx-3sin2x-cos2x+2=V3sin2x-2sin2x+l
=V3sin2x+cos2x=2sin|<2x+—
八冗717万(卜
XG(),—2xH---£,sin2x+?,1,.-./(X)[-1,2].
_2f666~2G
(2),由题意可得sin[A+(A+C)]=2sinA4-2sinAcos(A+C)有,
sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C),
化简可得:sinC=2sinA,...由正弦定理可得:c=2a,;b=,.•.余弦定理可得:
2ac
a2+4/-3a2_1
':0<B<7T,:.B=-,所以/(8)=1.
2a-2a2
/Q1
3.(2020•江苏)已知函数/(x)u-g-sinZx-cos?万一],XGR.
(1)求函数/(x)的最小值和最小正周期;
⑵设AABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且c=G,/(C)=0,若sinB=2sinA,
求%。的值.
【答案】⑴"X)的最小值是—2,最小正周期是T=夸=万;⑵。=1,0=2.
V3.△1+cos2x;=sin12x—总一1,则〃x)的最小值是—2,最小正周期
【解析】(1)/(%)=——sin2x---------
22
2乃
是T='=〃;
2
⑵/(C)=sin2cq-1=0,则sin(2C—?)=l,
'''0<C<>•-0<2C<2乃,.1.---<2C---<----,2C---=—,C
66662
,/sinB=2sinA,由正弦定理,得色=—,①
b2
兀
由余弦定理,W1c2=a~+b~-2abcos—,即‘J+/—次?=3,②
3
由①②解得a=l,b=2.
考法三正余弦定理在几何中的运用
【例3】(2020•河北邢台市•高一期中)如图,在AABC中,力〃平分NB4C,且8=3BD.
“sinB-
(1)求-----的值;
sinC
71
(2)若AB=2,B=-,求人45。的面积.
【答案】(1)3;(2)3国+6
2
【解析】(1)在△ABO中,,B?二处在八48中,CDAD
sinABADsinBsinZCADsinC
因为4〃平分NB4C,且C£>=3BD,所以垩0=£2=3.
sinCBD
AcsinB
(2)由正弦定理及(1)可知——=——=3.
ABsinC
7t
因为AB=2,B=~,所以AC=6,
因为sinZBAC=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC
6底\垂>3布+6
=X------1--X=--------------,
262612
所以s"C='AS.AC•sinNBAC=也•
【一隅三反】
1.(2020•北京朝阳区•人大附中朝阳学校高一期末)如图,AABC中,已知点〃在仇7边上,AD1AC,
sin8=立,cosZADC=—>C0=36,则△AOC的面积为;A?的长是.
33
【答案】当3也
【解析】因为A£)_LAC,cosZADC=—>CD=3也,
3
所以AO=CO-cosNAOC=3gx±=3,
3
又sinZADC=—,
3
则44。。的面积为5=44。-0>5皿/4。。='><3乂3&*逅=^^,
2232
又sinZADB=sinZADC所以在△W>中由正弦定理得:
V
ABADAD-sinZADB"79J^L
则AB=-----;一-----=—左一=3V2.故答案为:-----;3行•
sinNAO5sinBsinBV32
3
2.(2020•成都市第十八中学校高一期中)在△钻。中,点。在边A3上,ZACD=-,4。=4。8=4百
3
(1)若CD=4,求AC
7171
(2)若8=—,求sin(2A+一)的值
36
7
【答案】(1)8:(2)
8
【解析】(1)在△ACD中,由余弦定理得,(473)2=/lC2+42-2x4-AC-cos^,
即AC?—4AC—32=0,解得,AC=8(负值舍去).
(2)在AABC中,
VB=~,ZACD=-,...NBCD=—A,
333
DC
在△ADC中,由正弦定理得sinA,兀,,£>C=8sinA①,
sin—
3
_DC_=~£~.DC=—
在△BCD中,山正弦定理得.nsin[三一4]'・'2s
sin—
3
由①②得sinAsin-2,
/V341.八3
/.sinA——cosA——sinA=—
(22J16
日II6.人人1•243
即——sinAcosA——sinA=—,
2216
・611_3
••—sin2AH—cos2A———‘
44416
即避^sin2A+—cos2A=—
228
/.sin(2A+27
8
3.(2020•株洲市九方中学高一月考)如图,在圆内接A钻。中,内角4B,C所对的边分别为a,b,c,
满足〃cosC+ccosA=2bcosB.
(1)求民
(2)若点〃是劣弧力。上一点,力庐2,小3,求四边形4?⑦的面积
【答案】(1)B=(2)2G.
【解析】(1)由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sin5cos5,
得sinB=2sinBcosB.
因为0<,
IJI
所以cos5=-,即8=—.
23
6+叱一心2
7[714+9-AC
(2)在AABC中/比2,BC=3,B=—
32ABBC12
解得AC=J7.
在△AQC中,AC=币,AD=T,4B,C,〃在圆上,
因为3=工,所以NADC=」,
33
AD2+DC2-AC21+PC2-l1
所以cos—=
32ADDC2DC~~~2
解得。C=2或。。=一3(舍去),
所以四边形ABCD的面积S=S'®+兀既=AT>-DCsiny+1-BCsin|=273.
4.(2020•全国高一课时练习)在四边形4?切中,AD//BC,AB=6,Z4=120°,BD=3.
AD
BC
(1)求助的长;
(2)若/犯9=105°,求四边形力腼的面积.
【答案】(1)百;(2)
4
【解析】(1):在△/!劭中,/6=J5,NH=120°,劭=3,
••・由余弦定理得cos您0=爱需’解得仁出34-2退舍去),
的长为内.
(2)'JAD//BC,//=120°,BD=3,AB=AD=>J3,Z5(7?=105°,
:./DBC=3G,/切C=45°,
由正弦定理得一丝=一如r=—二,
sin45sin30sin105
解得%=3百-3,DC=#心”
2
如图
过点/作4EL做交磔于点发过点C作”被交勖于点区
则AE=——,CF=—BC=拽二2,
2222
...四边形/M?的面积
C-<?IC—1on(AF-^ri^-1vQv/>/3_13\/3—3x12A/3—9
5一»5k/侬+S色瞅—BD•\Ak+Cr)—X3X(-r-------)----------.
22224
考法四正余弦定理在实际生活中的运用
【例4】(1)(2020•江苏高一课时练习)如图,设A、8两点在水库的两岸,测量者在A的同侧的库边选
定一点C,测出AC的距离为100m,NAC8=75。,NC4B=60。,就可以计算出C、5两点的距离为()
A.50cmB.50GmC.y(3V2+V6)mD.50(V3+l)m
(2)(2020•安徽亳州市•涡阳四中高一月考(理))如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到由顶M
处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知NMCN=60°,则山的高度MN为()
A.150V3/HB.200V3mC.300GHiD_300/w
【答案】(1)A(2)D
【解析】(1)•••△ABC中,ZACB=75°,NC4B=60°,
二Z5=180°-(ZACB+ZC4B)=45°.
又•••△ABC中,AC=100m,
]00x6
,由正弦定理可得:—=———,则CB=一产=50^01.故选:A.
sinBsmZCABsinBV2
(2),/AD!IBC,:.ZACB=ADAC=45°,;•AC=MAB=20。0利,
又ZA1C4=180°—60°—45°=75°,ZM4c=15°+45°=60°,/.ZAMC=45°,
MCAC
在AAMC中,,g噂野.A,
sinZMACsinZAMC
MN=MCsinNMCN=200底in60°=300AM.故选:D.
【一隅三反】
1.(2020•江苏高一课时练习)某快递公司在我市的三个门店4,B,。分别位于一个三角形的三个顶点处,
其中门店48与门店C都相距akm,而门店力位于门店。的北偏东50°方向上,门店8位于门店C的北偏
西70°方向上,则门店46间的距离为()
A.akmB,及“kmC.D.2akm
【答案】C
【解析】由题意知4C=6C=aA?,/zf龙=50°+70°=120°,
由余弦定理得,
AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB
—ci~+a~_2a-x(——)=3a~,
所以A8=JJa,
即门店4,6间的距离为百akm.
故选:C.
2.(2020•北京二十中高一期末)2020年5月1日起,新版《北京市生活垃圾管理条例》实施,根据该条
例:小区内需设置可
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