高中数学必修二6.4.3正余弦定理的实际运

6.4.3正余弦定理的实际运用（精讲）

思维导图

；正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边

:、_用_关__系__合__理_地__将__向__题_转__化__为_三__角__函_数__的__问_题__

解三角形

与三角函用定理、公刊用正金定理、公康定理、二和疝公元、辅助i

数综合问、_式__、性质>1、_角___公__式_等_进__行__三__角_形__中__边__角__关__系__的__互__化_______

题

--------（利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等］

得结论—；知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论：

）［三角函数的基本性质等

（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形

平面图

、内利用正弦、余弦定理求解；

形应用\（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果

仰角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线

俯角上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

一

正

余

方

弦

位从指北方向顺时针转到目标方向

角

定线的水平角，如B点的方位角为a

理

的

应

用相对于某一正方向的水平角

实北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向

际北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向

应

用

坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（角。为坡角）

坡角

坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（i为坡度）.

坡度

、坡度又称为坡比.

；理解题意，分清己知与未知，画出示意图

；根据己知条件与求解目标，把己知最与求解最尽最集

;中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型

,、解题4步骤

；利用正弦定理和余弦定理力.序地解三角形，求得数学

：模型的解

：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出

:实际向题的解

考法一正余弦定理的综合运用

【例1-1］（2020•内蒙古赤峰市）在△A3C的中，角A，B,C的对边分别为a,b,C,且

<2sinA+Z>（sinA+sin8）—csinC=0

（1）求角C；

（2）若c=2,求a+b的取值范围.

【答案】（1）。=与：（2）（2,竽］

【解析】⑴山asinA+仇sinA+sinB）-csinC=O,及正弦定理得a?+皿一。2=。,

—ctb1/八-t-r-Ki2万

由余弦定理得cosC二巴3--——=—，又0vC<〃，所以C=—；

2ah2ab23

（2）由/+4。+讶2一片=0及c=2,得/+a/?+/?2=4，即（a+b）2-ab=4,

所以"=（。+。）2-4w，（。+份2,所以a+84土叵，当且仅当a=〃=2叵时•，等号成立,

433

又a+Z?>2=c，所以2<a+〃《迪，

3

所以Q+白的取值范围为2,

119

【例1-2].（2020•全国高一）在①c=7,cosA=②cosA=-,cos8=—.这两个条件中任选一

7816

个，补充在下面问题中:在AABC中，它的内角A，B,C的对边分别为“，b,c,已知a+Z?=U,.

求”，。的值.

【答案】答案见解析.

【解析】选择条件①：c=7,cosA=--,a+b=\\,

7

a2=b2+c2-2hccosAa2=(11-«)-+72-j,z.a-8,b-3

JQ--------Qp-j

选择条件②•「cosA二不，cosB=—,A»B(O,TT),••sinA=Jl—cos?A=----

8168

raa

sinB=Jl—cos?B=上4由正弦定理得:—^一=-----，：.3币-5近，：•a=6,b=5.

16sinAsmB-

olo

【一隅三反】

1.（2020•江苏南京市•南京师大附中高一期末）在AABC中，设角A,B,C的对边分别为a,4c,已知

cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.

（1）求角C的大小；

（2）若c=G，求AABC周长的取值范围.

【答案】⑴y；⑵（2忖2+网

【解析】（1）山题意知l-sin2A=sin28+l—sin2C+sinAsin3,

即sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB，

由正弦定理得Q?+b2-c2=-ab

由余弦定理得8SC=q^=/=《

2ah

又0<C<乃,C——

3

abcV3--

------=-------=-------=--------=2,/.a—2sinA,/?=2sino

(2)sinAsinBsinC.2〃

sin——

3

则A4BC的周长

/X/\

L=a+h+c=2(sinA+sinB)+V3=2sinA+sin--A+百=2sinA+—+6.

U)I3)

八4471A冗2兀V3

0<A<—,—<AH—v—,...—<sinA+—j<1,

33332I3j

20<2sin[A+；|+GK2+B

.•.AA8C周长的取值范围是（26,2+6].

2.（2020•吉林白城市•白城一中高一期末（文））△ABC的内角A，B,C的对边分别为“，b,c

已知（2c—“）cos3cosA=0.

（1）求角8的大小；

（2）若a+c=l,求b的取值范围.

JI1

【答案】（1）（2）-<h<\.

32

【解析】（1）v（2r-a）cosB-Z?cosA=0,

•*.山正弦定理可得：ZsinCcosB-sinAcosB-sinbcosAuO,可得2sinCeos3=sin(4+3)=sinC,

・・・C为三角形内角，sinCHO,.•・可得cos8=J,

2

71

/.B=—.

3

(2)\*B——,Q+C=1,.二由余弦定理可得力=6T+/—ac=(a+c)2—3ac..(a+c)--3x(—-—,

324

b..)-,*：b<a+c=\,„b<\.

22

3.(2020•沙坪坝区•重庆南开中学高一期末)在中，角A，B,C所对的边分别为。，b,

满足acosC=(2〃—c)cosA.

（1）求NA的大小;

(2)若。=3,求AABC面积S的最大值.

【答案】(1)A=-:(2)也.

34

【解析】(1)tzcosC=(2b-c*)cosA.

=>sinAcosC=(2sinsinC)cos4,

nsin(A+C)=2sinBcosA,

=sinB=2sin8cosA，

1

=>cosA=一，

2

,TC

A=—.

3

,c、,1/?2+C2-92bc-9

(2),/cosA=-=------------>---------,

22bc2bc

/.0<Z?c<9,

S=—sinA<—x9x—~,当。=。=。=3时取得等号，

2224

.•.△ABC面积S的最大值空.

4

考法二正余弦定理与三角函数综合运用

【例2】(2020•湖北荆门市•高一期末)已知/(%)=2A/3sinxcosx+sin2x-cos2x

(1)求函数取最大值时x的取值集合；

(2)设第曲△A5C的角A，B,。所对的边分别为“，b,c,/(C)=l,c=JJ,求AABC的面积

S的最大值.

【答案】(1)[xx=k^+-,kez\-(2)6±3&

I3/4

【解析】(1)/(x)=2>/3sinxcosx+sin2x-cos2x=>/3sin2x-cos2x=2sin2x-—.

I6J

令2x-匹=2Z7+—eZ,即1=%乃+三(ZcZ)时，/(x)取最大值；

623

TT

所以，此时X的取值集合是《X尤=%乃+=,ZeZ*

(2)Lt]/(C)=1,得sin(2C-1)=g,

因为0<C<三，所以一工<2C—工(豆，所以2c-工=工，则。=工；

2666666

在AA8c中，由余弦定理/="+从—2"cosC，

得3=a?+胪一6abN(2—6)ab，即。〃<3(2+百)，当且仅当。=力时取等号，

所以△ABC的面积5=；0加皿043*3(2+右”；=岂普您

因此AA5c的面积S的最大值为6+3」.

4

【一隅三反】

1.(2020・黄梅)已知函数/(x)=Gsin卜+-cosx.

(1)求函数“X)在[0,句上的最小值；

3

(2)已知a,b,c分别为AABC1内角A，B,。的对边，b=5y/3,cosA=—,且/(B)=l,求边a

的长.

【答案】(1)；(2)8.

2

、

711.73

【解析】(1)/(x)=V3sinXd------COSX=百—sinx+COSX-COSX

32V7

/3.1.(

—sinx+—cosx=smx+一，

22I6)

乂工£[「八(),%1],所一一以,无+工71£—万77-r

666

77*17T

所以当x+—=,即％=万时，“X)取得最小值,

66

所以/(X)min=_；，

(2)因为/(B)=sin(B+^]=l,Be(0,,

71

所以5=一，

3

.a5\/3

Q5/[__—______

又cosA=1,所以sinA=q,所以由正弦定理有46,所以a=8.

555T

2.(2020•甘肃省民乐县第一中学高三期中(理))已知函数/(x)=20sinxcosx-3sin2x—cos2x+2.

71

(1)当0,y时，求,f(X)的值域；

(2)若A4BC的内角A，B,C的对边分别为C且满足2=百，Sin(2/1+C)=2+2cos(A+C),

asinA

求/(8)的值.

【答案】⑴[-1,2]；(2)1.

【解析】(1)/(x)=2>/3sinxcosx-3sin2x-cos2x+2=V3sin2x-2sin2x+l

=V3sin2x+cos2x=2sin|<2x+—

八冗717万(卜

XG(),—2xH---£,sin2x+?,1,.-./(X)[-1,2].

_2f666~2G

(2),由题意可得sin[A+(A+C)]=2sinA4-2sinAcos(A+C)有，

sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C),

化简可得：sinC=2sinA,...由正弦定理可得：c=2a,；b=，.•.余弦定理可得：

2ac

a2+4/-3a2_1

'：0<B<7T,：.B=-,所以/(8)=1.

2a-2a2

/Q1

3.(2020•江苏)已知函数/(x)u-g-sinZx-cos?万一］,XGR.

(1)求函数/(x)的最小值和最小正周期；

⑵设AABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且c=G，/(C)=0,若sinB=2sinA,

求%。的值.

【答案】⑴"X)的最小值是—2,最小正周期是T=夸=万；⑵。=1,0=2.

V3.△1+cos2x；=sin12x—总一1,则〃x）的最小值是—2,最小正周期

【解析】（1）/（%）=——sin2x---------

22

2乃

是T='=〃；

2

⑵/(C)=sin2cq-1=0,则sin(2C—?)=l,

'''0<C<>•-0<2C<2乃,.1.---<2C---<----,2C---=—,C

66662

,/sinB=2sinA,由正弦定理，得色=—,①

b2

兀

由余弦定理，W1c2=a~+b~-2abcos—,即‘J+/—次?=3,②

3

由①②解得a=l，b=2.

考法三正余弦定理在几何中的运用

【例3】（2020•河北邢台市•高一期中）如图，在AABC中，力〃平分NB4C,且8=3BD.

“sinB-

(1)求-----的值;

sinC

71

（2）若AB=2，B=-,求人45。的面积.

【答案】（1）3；（2）3国+6

2

【解析】（1）在△ABO中，,B?二处在八48中,CDAD

sinABADsinBsinZCADsinC

因为4〃平分NB4C,且C£>=3BD,所以垩0=£2=3.

sinCBD

AcsinB

（2）由正弦定理及（1）可知——=——=3.

ABsinC

7t

因为AB=2，B=~,所以AC=6,

因为sinZBAC=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC

6底\垂>3布+6

=X------1--X=--------------，

262612

所以s"C='AS.AC•sinNBAC=也•

【一隅三反】

1.（2020•北京朝阳区•人大附中朝阳学校高一期末）如图，AABC中，已知点〃在仇7边上，AD1AC,

sin8=立，cosZADC=—>C0=36，则△AOC的面积为；A?的长是.

33

【答案】当3也

【解析】因为A£)_LAC,cosZADC=—>CD=3也,

3

所以AO=CO-cosNAOC=3gx±=3，

3

又sinZADC=—，

3

则44。。的面积为5=44。-0>5皿/4。。='><3乂3&*逅=^^,

2232

又sinZADB=sinZADC所以在△W>中由正弦定理得:

V

ABADAD-sinZADB"79J^L

则AB=-----；一-----=—左一=3V2.故答案为：-----；3行•

sinNAO5sinBsinBV32

3

2.（2020•成都市第十八中学校高一期中）在△钻。中，点。在边A3上，ZACD=-,4。=4。8=4百

3

（1）若CD=4,求AC

7171

（2）若8=—，求sin（2A+一）的值

36

7

【答案】（1）8：（2）

8

【解析】（1）在△ACD中，由余弦定理得，（473）2=/lC2+42-2x4-AC-cos^,

即AC?—4AC—32=0,解得，AC=8（负值舍去）.

（2）在AABC中，

VB=~,ZACD=-,...NBCD=—A,

333

DC

在△ADC中，由正弦定理得sinA,兀,，£>C=8sinA①，

sin—

3

_DC_=~£~.DC=—

在△BCD中，山正弦定理得.nsin[三一4]'・'2s

sin—

3

由①②得sinAsin-2，

/V341.八3

/.sinA——cosA——sinA=—

(22J16

日II6.人人1•243

即——sinAcosA——sinA=—，

2216

・611_3

••—sin2AH—cos2A———‘

44416

即避^sin2A+—cos2A=—

228

/.sin(2A+27

8

3.(2020•株洲市九方中学高一月考)如图，在圆内接A钻。中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,

满足〃cosC+ccosA=2bcosB.

(1)求民

(2)若点〃是劣弧力。上一点，力庐2,小3,求四边形4?⑦的面积

【答案】(1)B=(2)2G.

【解析】(1)由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sin5cos5,

得sinB=2sinBcosB.

因为0<,

IJI

所以cos5=-,即8=—.

23

6+叱一心2

7[714+9-AC

(2)在AABC中/比2,BC=3,B=—

32ABBC12

解得AC=J7.

在△AQC中，AC=币，AD=T，4B,C,〃在圆上,

因为3=工，所以NADC=」,

33

AD2+DC2-AC21+PC2-l1

所以cos—=

32ADDC2DC~~~2

解得。C=2或。。=一3(舍去),

所以四边形ABCD的面积S=S'®+兀既=AT>-DCsiny+1-BCsin|=273.

4.(2020•全国高一课时练习)在四边形4?切中，AD//BC,AB=6,Z4=120°,BD=3.

AD

BC

（1）求助的长;

（2）若/犯9=105°,求四边形力腼的面积.

【答案】（1）百；（2）

4

【解析】（1）:在△/!劭中，/6=J5，NH=120°,劭=3,

••・由余弦定理得cos您0=爱需’解得仁出34-2退舍去）,

的长为内.

(2)'JAD//BC,//=120°,BD=3,AB=AD=>J3,Z5(7?=105°,

：./DBC=3G,/切C=45°,

由正弦定理得一丝=一如r=—二，

sin45sin30sin105

解得%=3百-3,DC=#心”

2

如图

过点/作4EL做交磔于点发过点C作”被交勖于点区

则AE=——,CF=—BC=拽二2,

2222

...四边形/M?的面积

C-<?IC—1on（AF-^ri^-1vQv/>/3_13\/3—3x12A/3—9

5一»5k/侬+S色瞅—BD•\Ak+Cr）—X3X（-r-------）----------.

22224

考法四正余弦定理在实际生活中的运用

【例4】（1）（2020•江苏高一课时练习）如图，设A、8两点在水库的两岸，测量者在A的同侧的库边选

定一点C,测出AC的距离为100m,NAC8=75。，NC4B=60。，就可以计算出C、5两点的距离为（)

A.50cmB.50GmC.y(3V2+V6)mD.50(V3+l)m

（2）（2020•安徽亳州市•涡阳四中高一月考（理））如图，无人机在离地面高200m的A处，观测到由顶M

处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知NMCN=60°，则山的高度MN为（）

A.150V3/HB.200V3mC.300GHiD_300/w

【答案】(1)A(2)D

【解析】(1)•••△ABC中，ZACB=75°,NC4B=60°，

二Z5=180°-(ZACB+ZC4B)=45°.

又•••△ABC中，AC=100m,

]00x6

,由正弦定理可得：—=———,则CB=一产=50^01.故选：A.

sinBsmZCABsinBV2

(2),/AD!IBC,：.ZACB=ADAC=45°，；•AC=MAB=20。0利，

又ZA1C4=180°—60°—45°=75°,ZM4c=15°+45°=60°,/.ZAMC=45°,

MCAC

在AAMC中,,g噂野.A，

sinZMACsinZAMC

MN=MCsinNMCN=200底in60°=300AM.故选：D.

【一隅三反】

1.（2020•江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店4，B,。分别位于一个三角形的三个顶点处，

其中门店48与门店C都相距akm,而门店力位于门店。的北偏东50°方向上，门店8位于门店C的北偏

西70°方向上，则门店46间的距离为（）

A.akmB,及“kmC.D.2akm

【答案】C

【解析】由题意知4C=6C=aA?,/zf龙=50°+70°=120°,

由余弦定理得，

AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB

—ci~+a~_2a-x（——）=3a~,

所以A8=JJa，

即门店4,6间的距离为百akm.

故选：C.

2.（2020•北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条

例：小区内需设置可