教学案例-圆与圆的位置关系

《圆与圆的位置关系》教学案例

在讲授圆和圆的位置关系一课中，要求学生理解圆和圆的位置关系，会用连心线与两圆

半径的关系，判断两圆的位置关系。在此基础上会用坐标法判断两圆的位置关系。由于关系

式多、杂如何有一种能让学生记住的好方法？

一问题探究：首先，我选择了从动态角度让学生直观感受两个圆的位置关系5种。利用多

媒体辅助进行，学生从直观感受五种位置的区别于联系。

①④⑤

教师给出定义学生选择相应图形：当两圆无公共点时两圆外离①或内含⑤，当两圆有一个公

共点时两圆外切②或内切④，当两圆有两个公共点时两圆相交④。这个难不倒学生。如何从

代数上给出理论说明，圆的两要素圆心和半径一定是研究重点，引导学生从两圆圆心距离即

连心线与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系。学生从原有认知结构出发，根据图形运动

变化，从新认识图形，探索圆和圆的位置关系。很快大家得到了两圆五种位置关系的表达式:

①.两圆外离：d>R+r由图可知圆心距大于两半径之和

②两圆外切：d=R+r由图可知圆心距等于两半径之和

③两圆相交：R-r<d<R+r由图可知圆心距大于两半径之差且小于两半径之和

④两圆内切：d=R—r由图可知圆心距等于于两半径之差

⑤两圆内含：d<R—r由图可知圆心距小于两半径之差

教师设计图表，学生填空

位置关系交点情况圆心距与半径关系

外离没有交点d>R+r

外切有一个交点d=R+r

相交有两个交点R一rVdVR+r

内切有一个交点d=R一r

内含没有交点d<R-r

给大家五分钟时间把刚才得到的结论熟悉一下，班级里一片噪音放生大背起来，时间过

后找同学提问有的偷看，有的没记住，有的背乱了。有的开始抱怨：“这么多结论又不一样,

怎么记啊？"我顺势提出谁能寻找一个很好的记忆方法把这五个式子记住？“万物都有规律,

找找看吧！看谁的方法好，大家分享一下。”这时的我也没有什么好方法。学生们自发讨论

起来，拿笔拿本画着什么。我也在思考……

过了一会一位同学笑着很不自信地说，“老师半径不是加就是减”，“好，你说得对这是

一个特征，还有什么特点”，“位置关系名称带外字的圆心距大，位置关系名称带内字的圆

心距小，”“噢，那带外字的半径相加，越加越大对应大于号。”顺着他的发现别的同学也有

启发，“带内字的半径相减，越减越小对应小于号。”我发现这个方法很好，接着问“都成立

吗？”老师我知道“特殊的带切字的是等号。”“你们的这个方法很好，老师都没想到，那还

有一个连不等式怎么记?谁能帮帮老师。”又一次陷入沉思，“三角形两边之和大于第三边，

两边之差小于第三边，两圆相交”“嗯，你们太聪明了，这个方法非常好，现在两分钟时间

用刚才的方法把圆和圆的位置关系表达式记下来。”大家像被口诀似地，边说边念叨，我将

表达式擦掉，叫学生上来填写，学生嘴里念叨着什么带内…、带外…、带切…、内小外大…。

没有一个填错的，我又把关系式保留，位置关系擦掉，叫学生上来填写，完成的非常好。有

的时候，学生的发现力、观察力要强于老师，老师的思维已经定势，而学生对于他们来说，

知识是新的，他们的认识往往很有创意，我们应该创造这样的机会去聆听他们的见解。

设计意图

从学生原有的认知结构出发，根据图形运动变化，学生从新认识，探索圆与圆的位置

关系，总结出圆和圆的五种位置关系规律，培养学生的动手实践能力。

二应用举例

例1：已知圆Ci：r+_y"+2x+8j—8=0,圆C2：x~+—4x—4y—2—0）试判

断圆Cl与圆C2的位置关系

（补充）判断圆Cix"+_y2+2.x—6y—26=0,圆C2：%2+_y~—4x—2y+4=0,试判

断圆Cl与圆C2的位置关系，并画图说明。

师生活动

教师：引导不同层次学生探究，如何判断两元关系？

学生：尝试用不同方法解决。

法一：在同一坐标系下面画出两个圆的图形。

法二：将两元化成标准方程，分别计算连心线的长与半径的和、差比较，可知（1）R-

r<d<R+r,所以两圆相交；（2）d=R—r,所以两圆相内切。

教师：利用几何方法，方法简单，思路清楚，联想到直线和圆位置关系的代数判断方法,

还有什么方法？

法三：代数法：要判断两圆的位置关系，只要看他们有几个公共点，只需联立方程组判

断有几组实数解即可。联立方程组，计算判别式得（1）大于零，（2）等于零，可知（1）方

程组有两个不同的实根，因此两圆有两个不同的公共点，即两圆相交；（2）方程组有两个相

同的实根，因此两圆有一个公共点，近一步可判知两圆内切。

教师：有无必要把交点的坐标求出来？

学生：本题只要判断两圆位置关系，故只需求出交点个数即可，不需要求出公共的坐标,

因此，不必解方程组具体求出实数根。

教师：比较着三种方法，那种简单？

学生：几何法，简捷方便，事半功倍。

设计意图

类比直线和圆的位置关系，掌握判断两圆位置关系的方法，培养学生类比联想能力和知

识运用能力、

四、反馈训练

教材练习

师生活动

教师：让学生定时训练，并巡视发现出现的问题，找一学生会的结果，根据学生答题情

况进行点评。

学生：在规定的时间内完成题目，巩固刚学过的知识并将出现的问题反馈给老师。

设计意图

通过题目训练，进一步熟练掌握判断两圆位置关系的方法。

五、归纳小结

1、三类关系：两圆位置关系的五种情况归为三类关系：相离（外离、内含）、相交、相

切（外切和内切）。

2、两个方法：判断两个圆的位置关系方法：代数法、几何法。

3、一个思想：数形结合的数学思想。

《圆与圆的位置关系》教学案例

牡丹江市第五高中

徐敏

小数除法

教材简介：

本单元的主要内容有：小数除以整数、一个数除以小数、商的近似值、循环

小数、用计算器探索规律、解决问题。

教学目标

1、使学生掌握小数除法的计算方法。

2、使学生会用“四舍五入”法，结合实际情况用“进一”法和“去尾”法取商

的近似数，初步认识循环小数、有限小数和无限小数。

3、使学生能借助计算器探索计算规律，能应用探索出的规律进行小数乘除法的

计算。

4、使学生体会解决有关小数除法的简单实际问题，体会小数除法的应用价值。

教学建议：

1.抓住新旧知识的连接点，为小数除法的学习架设认知桥梁。

2.联系数的含义进行算理指导，帮助学生掌握小数除法的计算方法。

课时安排：

本单元可安排11课时进行教学。

第一课时小数除以整数（一）

——商大于1

教学内容：P16例1、做一做，P19练习三第1、2题。

教学目的：

1、掌握比较容易的除数是整数的小数除法的计算方法，会用这种方法计算相应

的小数除法。

2、培养学生的类推能力、发散思维能力、分析能力和抽象概括能力。

3、体验所学知识与现实生活的联系，能应用所学知识解决生活中的简单问题，

从中获得价值体验。

教学重点：理解并掌握小数除以整数的计算方法。

教学难点：理解商的小数点要与被除数的小数点对齐的道理。

教学过程：

一、复习准备：

计算下面各题并说一说整数除法的计算方法.

2244-4=4164-32=13804-15=

一■、导入新课:

情景图引入新课：同学们你们喜欢锻炼吗？经常锻炼对我们的身体有益，请看王

鹏就坚持每天晨跑，请你根据图上信息提出一个数学问题？

出示例1：王鹏坚持晨练。他计划4周跑步22.4千米，平均每周应跑多少千米？

教师：求平均每周应跑多少千米，怎样列式？（22.4+4）

观察这道算式和前面学习的除法相比有什么不同？

板书课题：“小数除以整数”。

三.教学新课：

教师：想一想，被除数是小数该怎么除呢？小组讨论。分组交流讨论情况：

（1）生：22.4千米=22400米22400+4=5600米5600米=5.6千米

（2）还可以列竖式计算。

教师：请同学们试着用竖式计算。计算完后，交流自己计算的方法。

教师：请学生将自己计算的竖式在视频展示台上展示出来，具体说说你是怎样算

的？

追问：24表示什么？

商的小数点位置与被除数小数点的位置有什么关系？

引导学生理解后回答“因为在除法算式里，除到被除数的哪一位，商就写在哪一

位上面，也就是说，被除数和商的相同数位是对齐了的，只有把小数点对齐了，

相同数位才对齐了，所以商的小数点要对着被除数的小数点对齐”.

问：和前面准备题中的224除以4相比,224除以4和它有哪些相同的地方?有哪

些不同的地方？

怎样计算小数除以整数？（按整数除法的方法除，计算时商的小数点要和

被除数的小数点对齐）

教师：同学们赞同这种说法吗？（赞同）老师也赞同他的分析.

教师：大家会用这种方法计算吗？（会）请同学们用这种方法算一算.

四、巩固练习

完成“做一做”：25.2+634.54-15

五、课堂作业：练习三的第1、2题

课后反思：

学生们在前一天的预习后共提出四个问题：

1,被除数是小数的除法怎样计算？（熊佳豪）

2,为什么在计算时先要扩大，最后又要将结果缩小？（郑扬）

3,小数除以整数怎样确定小数点的位置？（梅家顺）

4,为什么小数点要打在被除数小数点的上面？

特别是第4个问题很有深度，有研究的价值.在这四个问题的带动

下，学生们一直精神饱满地投入到学习的全过程，教学效果相当好.

第二课时小数除以整数（二）

----商小于1

教学内容：P17例2、例3、做一做，P18例4、做一做，P19—20练习三第3一11

题。

教学目的：

1、使学生学会除数是整数的小数除法的计算方法，进一步理解除数是整数的小

数除法的意义。

2、使学生知道被除数比除数小时，不够商1,要先在商的个位上写0占位；理

解被除数末位有余数时，可以在余数后面添0继续除。

3、理解除数是整数的小数除法的计算法则跟整数除法之间的关系，促进学习的

迁移。

教学重点：能正确计算除数是整数的小数除法。

教学难点：正确掌握小数除以整数商小于1时，计算中比较特殊的两种情况。

教学过程：

一、复习：

教师出示复习题：

（1）22.44-4（2）21.454-15

教师先提问：“除数是整数的小数除法，计算时应注意什么？”然后让学生独立

完成。

二、新课

1、教学例2：

上节课我们知道王鹏平均每周跑5.6千米，那他每天跑多少千米呢?这道题

该如何列式？

问：你为什么要除以7,题目里并没有出现〃7〃？

原来〃7〃这个条件隐藏在题目中，我们要仔细读题才能发现.

尝试用例1的方法进行计算，在计算的过程中遇到了什么问题？（被除数的

整数部分比除数小）

问：”被除数的整数部分比除数小，不够商1,那商几呢?为什么要商0?（在被除

数个位的上面，也就是商的个位上写“0”，用0来占位。）

强调：点上小数点后接着算.

请同学们试着做一做。

2.4/37.2/9

学生做完后，教师问：在什么情况下，小数除法中商的最高位是0?

2、教学例3：

先让学生根据题意列出算式，再让学生用竖式计算。当学生计算到12除6时，

教师提问：接下来怎么除？请同学们想一想。

引导学生说出：12除6可以根据小数末尾添上0以后小数大小不变的性质，在6

的右面添上0看成60个十分之一再除。

请同学们自己动笔试试。

在计算中遇到被除数的末尾仍有余数时该怎么办？

在余数后面添0继续除的依据是什么？

3、做教科书第17页的做一做。

4、教学例4：想一想，前面几例小数除以整数是怎样计算的？在计算过程中应

注意什么？整数部分不够商1怎么办?如果有余数怎么办？

引导学生总结小数除以整数的计算方法。（1）小