【难点突破】指数复合型函数的对称性（教师版）

指数复合型函数的对称性核心结论：证明思路：设f(x)的对称中心为（m,n)，则f(m-x)+f(m+x)=2n.记忆方法：横下对，纵半分（横坐标是使分母取对数的值，纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）【例1】函数【解析】观察解析式，利用结论可知函数图象关于（2，18衍生结论1：推导思路：先分离常数，则然后利用图象的平移关系，得到【例2】已知，则．【解析】观察解析式，可知函数图象关于（12，2中心对称，则，注意到，由此即可进一步求解.因为，又，所以.衍生结论2：推导思路：先分离常数，则然后利用图象的平移变换关系，得到【例3】【解析】观察解析式，由结论可知函数图象关于（2，40392所以M+N=4039跟踪训练1．已知函数，若实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】一方面由题意有，另一方面若有成立，结合以上两方面有，且注意到，所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，若，则只能，因此当且仅当；又已知，所以，即，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C.2．（多选）已知函数，则下列结论正确的为（

）A．若为奇函数，则B．时，在R单调递增，且值域为C．无论a取何值，均有对称中心D．已知时，和交于,则【答案】BCD【分析】对于A：举例说明即可；对于B：整理得，根据单调性的性质结合不等式性质分析判断；对于C：分类讨论a的符号，根据对称性的定义分析判断；对于D：若，由选项C可知的定义域为，且为的对称中心，令，可知和交点横坐标即为的零点，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】对于选项A：例如，则的定义域为，且，所以为奇函数，故A错误；对于选项B：因为，若，则，可知的定义域为，因为在R单调递增，则在R单调递减，所以在R单调递增；由可得，由，则，可得；综上所述：在R单调递增，且值域为，故B正确；对于选项C：若，的定义域为，则为的对称中心；若，则的定义域为，且；可知：为的对称中心；若，则的定义域为，且；可知：为的对称中心；综上所述：无论a取何值，均有对称中心，故C正确；对于选项D：因为的定义域为，且，可知为的对称中心，若，由选项C可知的定义域为，且为的对称中心，令，可知的定义域为，且为的对称中心，不妨设，可知和交点横坐标即为的零点，当时，，可知在内单调递减，则在内单调递减，且，可知在内存在唯一零点，根据对称性可知：在内存在唯一零点，且，故D正确；故选：BCD.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则.【答案】【详解】由题意为奇函数，所以，则，所以，所以恒成立，故或，所以.故答案为：已知函数，，则在区间上的最大值与最小值之和为.【答案】【详解】因为，所以，在上函数满足：奇函数在区间上的最大值与最小值互为相反数，其和为.已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是．【答案】【详解】易知函数在上为单调性递增，即可得是上的增函数，令，则是上的增函数，易知，可得,即的图象关于点成中心对称，由可得，即，由可得；所以，利用是上的增函数可得，解得.即的取值范围是.已知函数.(1)求证为定值；(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；【详解】（1