高中数学统计图表分类归纳

高中数学统计图表全归纳

频率分布直方图

1.随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,

44,48,37,25,45,43,31,49,34,33,43,38,32,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布

表如下：

分组频数频率

[25,30J20.10

(30,35]40.20

(35,40]50.25

(40,45]m

fm

(45,50]nL

(1)确定样本频率分布表中m,n,7m和fn的值；

(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35］的概率.

【解答】解：(1)20名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：

30,42,41,36,44,48,37,25,45,43,31,49,34,33,43,38,32,46,39,36.

(40,50J区间内的频数%=6,(45,50］区间内的频数”=3,工=4=0.3,力=,=0.15.

(2)由频率分布直方图，画出频率分布列如下图：

(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30,35］的频率为0.2,

设所取的3人中，日加工零件数落在区间(30,35］的人数为则4~8(3,0.2),

P(^..l)=l-P(^=0)=l-(l-0.2)3=0.488.

至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35］的概率为0.488.

2.为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,3两组，每组

100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相

同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图所示的直

方图：

八频率/组距f频率/组距

0.30

S^00

150.20

O.1

*100.15

O.O5

O.b

O0.05

1.52.53.54.55.56.57一5百分比2.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图

根据频率分布直方图估计，事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率尸(C)=0.30.

(1)根据所给的频率分布直方图估计各段频数(在答题卡填写两个频数分布表);

(附:频数分布表)

A组实[0，[1.5,[2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

验甲离1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100]

子残留

频数表

5组实[0，[1.5,[2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

验甲离1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100J

子残留

频数表

(2)请估计甲离子残留百分比的众数和中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值.

【解答】解：(1)事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率P(C)=0.30,

.­.0.05+Z>+().15=0.30,

.\Z?=O.l,

=1-(0.05+0.1+0.15+0.2+0.15)=0.35,

A组实[0,[1.5,[2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

验甲离1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100]

子残留

01520302010500

频数表

5组实[0，[1.5,|2.5,[3.5,[4.5,[5.5,[6.5,[7.5,[8.5,

验甲离1.5)2.5)3.5)4.5)5.5)6.5)7.5)8.5)100]

子残留

00510153520150

频数表

(2)由甲离子残留百分比直方图可知，［3.5,4.5)组的频数最大，取区间中点值，所以甲离子残留百分比的众

数是4,

因为0.15+0.20=0.35v0.5,ffij0.15+0.20+0.30=0,65>0.5,

所以中位数在［3.5,4.5）这组，设甲离子残留百分比的中位数为x,

所以0.15+0.20+（x—3.5）x0.30=0.5,

解得：x=4,

所以甲离子残留百分比的中位数为4,

乙离子残留百分比的平均值为：

（3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15）x1=0.15+0.4+0.75+2.1+1.4+1.2=6.

二：茎叶图

3.为推动校园冰雪运动，某学校决定学生全员参与冰雪健身操运动.为了调查学生对冰雪健身操的喜欢程度，

现从全校学生中随机抽取了20名男生和20名女生的测评成绩（满分为100分）组成一个样本，得到如图所示的

茎叶图，并且认为得分不低于80分的学生为喜欢.

喜欢不喜欢合计男生成绩女生成绩

5214

60512

男生

865326。45

C

943117456C

4

88781244579

女生

C

2094C9

合计1

（1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有

关？

（2）从样本中随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操的概率；

（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生、女生中各随机抽取1人，求其中喜欢冰雪健身操

的人数X的分布列及数学期望.

n(a(J?bc)2

参考公式及数据：K2=,其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

尸（狂人）0.1500.1000.0500.0250.0100.001

“。2.0722.7063.8415.0246.63510.828

【解答】解：（1）列联表如下:

喜欢不喜欢合计

男生51520

女生101020

合计152540

^=40X(5X10-15X10)^1667>107

15x25x20x20

有85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关.

(2)记事件A为“从样本中随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操”,

C；C；C；C；1

则P(A)ll+sn

C20c202

(3)由题意可得，X所有可能取值为0,1,2,

31311311

P(X=O)=—x-=—，尸(x=l)=—x-+-x-=一p(X=2)=-x-=l,

42842422428

故X的分布列为:

X012

P3]_]_

828

3113

feE(X)=0x-+lx-+2x-=-.

8284

4.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,3两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意

度评分如下:

A地区:62738192958574645376

78869566977888827689

3地区:73836251914653736482

93486581745654766579

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散

程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；关注公众号《品数学》，高中数学资料群(734924357)

(II)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

上述A,3两地区分别随机调查的20个用户中，再分别随机抽取1人，求其中来自A地区的用户的满意度等级

高于来自3地区的用户的满意度等级的概率;

(IH)设上述A地区随机抽查的20个用户的满意度评分的平均数为"，方差为s；;3地区随机抽查的20个用

户的满意度评分的平均数为方差为其；比较"与焉，s；与s；的大小(直接写出结论).

.4地区B地区

4

35

6426

8866437

e9865218

解：(I)75529由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下.

.4地区3地区

468

31364

64262455

886643733469

9865218321

7552913

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;

A地区用户满意度评分比较集中，8地区用户满意度评分比较分散.

(II)记事件C：”A地区用户的满意度等级高于3地区用户的满意度等级”

记C,“为事件："A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，

记Cm为事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”，

记。加为事件：“3地区用户的满意度等级为不满意”.

记C-2为事件：“3地区用户的满意度等级为满意”.

则CM与。用相互独立，CA2与。2相互独立，CM与。2互斥，于是：C=CUICCe2CA2.

所以尸(C)=P(CBlCAl［JCB2CA2)=P(CBlCAl)+P(CB2CA2)

=P(CW)P(CA1)+P(CB2)P(C42).

由题知，金，cA2,0，』发生的频率分别为余捺，2，

故尸0)=果尸(CQ4,P&)嗡,仁)端,

故尸(C)=—X—+—xA=0.48.即C的概率为0.48.

20202020

(III)xA>xB,S；<S)

5.某校高三(5)班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图,

(1)求全班人数，并计算频率分布直方图中［80,90］间的矩形的高；

(2)若要从分数在［80,100］之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中“表示分数在［80,90］之间被

选上的人数，v表示分数在之［90,100］间被选上的人数，记变量4=“-v,求J的分布列和期望.

【解答】解：(1)由茎叶图、频率分布直方图，知：

分数在［50,60)之间的频率为2,频率为0.008x10=0.08,

全班人数为：二一=25,

0.08

..分数在［80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4,

频率分布直方图中［80,90)间的矩形的高为2+10=0.016.

(2)〃=3,v=0时，<=3,尸(4=3)=*=(,

C'C'3

〃=2,丫=1时，彳=1,P(J=1)=&2=~1

r'c'1

〃=2,丫=2时，=—1<p(g=-1)=—=—>

C«5

.•3的分布列为:

g-113

P3j_

555

131

E（^）=（-l）x-+lx-+3x-=l.

三：其他类型图表

类型一：柱状图

6.在某大学自主招生考试中，所有选报n类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目

的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数

学与逻辑”科目的成绩等级为8的考生有10人.

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；

（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，随

机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率.

【解答】解：（1）“数学与逻辑”科目中成绩等级为8的考生有10人，

.•.该考场有10+0.25=40（人）.关注公众号《品数学》，高中数学资料群（734924357）

.•・该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

40x（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40x0.075=3.

（2）两科考试中，共有6个A,又恰有2人的两科成绩等级均为A,

・•.还有2人只有一个科目成绩等级为A.

设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，

则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，

基本事件空间为。=｛（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），

（乙，丁），（丙，丁）），一共有6个基本事件.

设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M,

事件M中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)=1.

故这2人的两科成绩等级均为A的概率为4.

6

7.在某大学自主招生考生中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目

的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数

学与逻辑”科目的成绩为3的考生有20人.

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

(2)若等级A,B,C,D,石分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

⑺求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

3)若该考场共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，从这7中随机抽取两人，求两人

成绩之和大于等于18的概率.

【解答】解：(1)该考场共有20・0.25=80人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数为

80x(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=80x0.075=6；

(2)⑴该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

lx(80x0.2)+2x(80x0.1)+3x(80x0.375)+4x(80x0.25)+5x(80x0.075)=八

---------------------------------------------------------------------------------------------------=2.9;

80

(而)设两人成绩之和大于等于18的事件为A,则P(A)+—+—=

212121217

8.某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的

测试，成绩分别为A、B.C、。、E五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表

达能力”成绩等级为5的考生有10人.

(I)求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数；

(II)已知等级A、B、C、D、E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.

⑺求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分；

5)求该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求

2人成绩之和的分布列和数学期望.

OEUCBA98

【解答】解：（I）因为“语言表达能力”科目中成绩等级为6的考生有10人，所以该考场有10+0.25=40人…

（1分）

所以该考场考生中“竞争与团队意识”科目中成绩等级为A的人数为40x（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3

（II）（i）该考场考生“语言表达能力”科目的平均分为

40(1x0.2+2x0.1+3x0.375+4x0.25+5x0.075)C八

-----------------------------------------------------------------------------=2.9

40

(〃)设两人成绩之和为J,则g的值可以为16,17,18,19,20

P&=16)=圣，57)窄q,%=18)=竿Gq

CqOJjo13J。

C；C；_44=_L

PC=19)=高一石，PC20）-蕊=石

所以4的分布列为

X1617181920

P141341

315454545

^f^E^=16xl+17x—+18x—+19x—+20x—=—

3154545455

所以J的数学期望为学

类型二：折线图

9.随着大数据统计的广泛应用，给人们的出行带来了越来越多的方便.郭叔一家计划在8月11日至8月20日

暑假期间游览上海Diswy主题公园.通过上网搜索旅游局的统计数据，该9s”e），主题公园在此期间“游览舒

适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%-60%为一般，60%以

上为拥挤）情况如图所示.郭叔预计随机的在8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2

天.

8月11日8月12日8月13日8月14日8月15日8月16日8月17日8月18日8月19日8月20日

（I）求郭叔连续两天都遇上拥挤的概率；

（II）设X是郭叔游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；

（III）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（直接写出结论不要求证明，计算）

【解答】解：设4表示事件“郭叔8月11日起第i日连续两天游览主题公园”0=1,2,…，9）.

根据题意，P（A）=1

（I）设3为事件“郭叔连续两天都遇上拥挤"，则B=&U4

2

所以尸（B）=P（AU4）=P（a）+尸（4）=§.

（II）x的所有可能取值为0,1,2,

p（x=0）=P（4unJ4）=P（4）+）+24）=；，

4

p（x=I）=p（41AJAJ4）=p（A）+尸（A）+p（A）+p（4）=§'

p（x=2）=p（A[&）=p（A）+p（&）=|.

所以x的分布列为：

X012

P142

399

故X的期望EX=0」+1X3+2X2=§.

3999

（III）有图可知，8月12,8月13,8月14连续三天游览舒适度的方差最大.

10.某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析.将200

名学生编号为001,002,200,采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩（单

位:分）绘成折线图如下:

语文

英语

（I）若第一段抽取的学生编号是006,写出第五段抽取的学生编号；

（II）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概

率；关注公众号《品数学》，高中数学资料群（734924357）

（III）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.

【解答】解：（I）第一段抽取的学生编号是006,间隔为20,第五段抽取的学生编号为086：

（II）这两科成绩差超过20分的学生，共5人，语文成绩高于英语成绩，有3人，从中随机抽取2人进行访谈，

有C；=10种，2人成绩均是语文成绩高于英语成绩，有3种，故2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率

(III)根据折线图，可以估计该校高二年级学生的语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定.

11.期末考试结束，高二(1)班班主任张老师从班里的40名学生中，随机抽取10名同学的语文和数学成绩进

行抽样分析，研究学生偏科现象.将10名学生编号为1,2,3……10,再将他们的两科成绩(单位：分)绘成

折线图如下：

(I)从这10名学生中随机抽取一名学生，求抽取的这名学生两科成绩相差大于10分的概率；

(II)从两科成绩均超过70分的学生中随机抽取2人进行访谈，求这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩

的概率；

(III)设该班语文和数学两科成绩的平均值分别为x「方差分别为A、D2,根据折线图，试推断和X2,

A和Q的大小关系(直接写出结论，不需证明).

【解答】解：(I)设“抽取的这名学生两科成绩相差大于10分”为事件A,

由图可得数学、语文成绩相差大于10分的学生编号分别是2,5,6,7,8,共有5人，

所以尸(A)=1.

2

(n)设“抽取的这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩”为事件B,

因为两科成绩均超过70分的学生编号分别是1,3,4,9,10,

则构成的样本空间O={(1,3),(1,4)(1,9),(1,10),(3,4),(3,9),(3,10),(4,9),(4,10),(9,10)),共10

个样本点，事件8包含{(1,3),(1,9),(3,4),(3,10),(4,9),(9,10)},共6个样本点，

所以这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率P(8)=1=|.

(III)Xt>X2,Dt<D2.

类型三：双统计图

⑵在某一次数学测验中，从全校抽出八名同学并记录其测验成绩(满分100分)进行统计•按照[50.60),[60,

70),[70,80),L80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出分数的茎叶图(图中仅列出了分数

在[50,60),[90,100]的数据).

(1)求”和频率分布直方图中的x,)，的值；

(2)在抽出的名学生中，从分数在80分以上(含80分)的同学中随机选取2名，求所抽取的2名同学至少有

一名的成绩在［90,100］内的概率.

【解答】解：(1)由茎叶图可知，成绩在区间［50,60)内有8名学生，

所以：-=0.016x10,/7=50;关注公众号《品数学》，高中数学资料群(734924357)

n

工日2341-<0.040+0.016+0.010+0.004)x103八

于是：y=-----=0.004；x=----------------------------乙----=0.030，

50x1010

(2)由(1)可知〃=50,所以分数在80分以上(含80分)的同学共有：

(0.010+0.004)x10x50=7A

设事件A为“所抽取的2名同学至少有一名的成绩在［90,100内”，则事件A的

对立事件为：“所抽取的2名同学的成绩均在［80,90)内”并记为事件3；

所以，P(A)=\-P(B)=1-12=11.

2121

13.为响应“绿色出行”号召某市先后推出了“共享单车和''新能源分时租赁汽车”，并计划在甲、乙两个工厂

中选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：山利)记

录下来并绘制出如下的折线图：

(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；

(2)轮胎的宽度在［194,196］内，则称这个轮胎是标准轮胎根据甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮

【解答】解：(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为：

晶=-^(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(C/M),

乙厂这批轮胎宽度的平均值为：

和=,(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)