高中数学函数练习提高题

塞函数、指数函数、对数函数

一、选择题

1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若

f(x)=lg(10x+l),则

A.g(x)=x,h(x)=lg(l0'+10'x+2)

B.g(x尸;[lg(IOx+l)+x],h(x>|[lg(10x+l)-x]

1x1

C.g(x)=-x,h(x)=lg(10+1)--X

1x1

D.g(x)=--x,h(x)=lg(10x+l)--x

xxy-y

2.^(log23)—(log53)>(log23y—(log53),则

A.x—y20B.x+y20C.x-yWOD.x+yWO

3.已知f(x)=ax2—c满足-4Wf(l)W-l,TWf(2)W5,那么f(3)应该是

3835

A.7Wf(3)W26B.-4Wf(3)W15C.-lWf(3)W20D.-y<f(3)<y

5.如果y=log56・log67・log78・log89・log910,则

A.ye(O,l)B.y=lC.ye(l,2)D.ye[2,3]

22

6.若实数a,x满足a>x>l,且A=loga(logaX),B=logax,C=logaX,则

A.A>C>BB.C>B>AC.B>C>AD.C>A>B

7.设a>O,a¥l,函数取尸10&1徽2—*|在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是

1111-11

A.a>lB.a>l或一Wa<—C.a>l或一<a〈一D.a>l或一<a<一

648464

8.f(x)是同期为2的奇函数，当xe[0,l)时，f(x尸2、-1,则f(log।24)的值是

二、填空题

4X-b

9.设f(x尸lg(10*l)+ax是偶函数,酢尸三是奇函数，则a+b的值为.

三、解答题

10.已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(—x),且当xe(-l,0)时，f(x)=2\

①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(log]18)的值。

11.解方程lgd+2尸1回+怆3。

2-”-1x<0

12.设f(x尸v2,解不等式f(x)>l。

/x>0

13.设f(x)=~求出一5)+出一4)+…+人0)+…+f(5)+f(6)。

T+V2

14.求函数f(x)=3-4x-2x(x20)的最小值。

15.设函数f(x)=|lgx],若0<a〈b且f(a)>f(b),证明：ab<l«

16.设不等式2(logjx)2+9logjx+90的解集为M,求当XGM时，函数

22

YY

f(x尸(Iog27)(log2一)的最大值、最小值。

28

tV

17.已知实数t满足关系式loga—=logt-^r-(a>0,a^l)

aa

①令t=ax,求y=f(x)的表达式；

②若xw(0,2)时,ymin=8,求a和x的值。

13

18.解不等式|----+2|>-o

log1％2

2

19.解不等式Jlog2X-1+】logjX3+2>0C

22

35

20.已知a、b^c>d均为正整数，且logab=],logcd=a，若a—c=9,求b—d。

21.已知函数Rx尸出3—3面2-2)」的定义域为0+8),求实数a的取值范围。

22.解方程Iog5(3x+4)=log4(5x—3x)。

1+2X+・・・+(〃一十〃％

23.设f(x尸Igi十/十十””十〃，其中a是实数,n是任意给定的自然数，且n22。

n

如果f(x)当X£(—8/)时有意义，求a的取值范围。

24.f是定义在(1,+8)上且在(1,+8)中取值的函数，满足条件：对任何及u>0,v>0,

11

都有f(xJy')W/(x)而•/(y卢成立，试确定所有这样的函数fo

函数的最值

一、选择题

1.如果在区间［1,2］上，函数f(x尸x?+px+q与g(x尸x+—在同一点取相同的最小值，那么

x

f(x)在该区间上的最大值是

A.4H—V2+V4B.4——y/l.+V4C.1——V2+y/-4D.以上答案都不对

222

49

2.已知x、y都在区间(一2,2)内，且xy=-l,则函数u=——r+——的最小值是

4-x9-y

3.已知a、b、ceR*,则f(x尸Jx?+〃+J(c-x)2的最小值是

A.&++bB.Jc,2+Q+VF

D.Jc"++

C.+4b

2

二、填空题

4.f(x)=|x2-a|在区间［-1,1］上的最大值M(a)的最小值为。

5.函数y=(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间［-3,3］上的最小值是。

6.若不等式|x—4|+|x—2|+|x—l|+|x|2a对一切实数x成立，则a的最大可能值是。

三、解答题

1Y

7.在区间［—,2］上，函数f(x尸-x?+px+q与g(x尸---在同一点取得相同的最大值，求

2x+1

f(x)在区间［$,2］上的最小值。

8.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=Rx+y),且当x>0时,f(x)〈O,

又f(l)=-|"。

①求证：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R上是减函数；③求出x)在［—3,6］上的最值。

9.已知a为正常数，x>0,求函数y=x+2+-^的最小值。

xx+a

10.已知f(x)=ax2+bx+c,其中aeN*,beN,ceZo

①若b>2a,且f(sinx)(xeR)的最大值为2,最小值为-4,试求f(x)的最小值；

②若对任意实数x,不等式4xWf(x)W2(x2+l)恒成立，且存在x«,使得出%))<2仪。2+1)成立,

试求C的值。

rvx"++17x“+26尤+106,,Bp.一

11.求函数y=--------：----------------的最值，具中冈Wl。

+2x+7

12.已知f(x)=lg(x+l),g(x)=21g(2x+t)(twR是参数),如果x£［0,l］时，f(x)Wg(x)恒成立,求

参数t的取值范围。

3r+9r4-11

13.已知函数f(x尸log2----------(m,neR)o

mx+1

①若mwN*,xwR且f(x)的最大值为2,最小值为1,求m,n的值；

②若n=-l,且f(x)的值域为R,求m的取位范围。

14.求函数f(x)=7x4-3X2-6X+13—yIx4-x2+1的最大值。

15.设f(X)=—x2+2tX—t,X£［—1,1］,求［fWmaxlmin。

16.f(x)=x2+px+q(p,qeR)o若|f(x)|在［—1,1］上的最大值为M,求M的最小值。

17.设关于x的一元二次方程2x2—tx—2=0的两个根为a,p(a<B)。

①若X］、X2为区间［a,。］上的两个不同的点,求证：4xix2—t(xi+x2)—4<0；

4x—t

②设f(x)=——,f(x)在区间［a,闵上的最大值和最小值分别为fmin(x)和UxCx)，g(t)=fmax(x)

X+1

-fmin(X)，求g(t)的最小值。

18.设实数x、y满足4x2—5xy+4y2=5,设s=x?+y2,求」一+--。

Smin'max

113

19.若函数f(x)=一万乂2+万在区间［a,b］上的最小值为2a,最大值为2b,求［a,b］。

20.实数a,b,c和正数九使得f(x尸x'+ax2+bx+c,f(x尸0有三个实数根x1、x2nx3,且满足:

CA1、q2〃3+27C—9Q/J在日—4

①X2-X]=九；©X>—（X|+X）；求--------------的最大Hl。

32223

函数的方程迭代

一、填空题

1.已知f(x)+2f(』)=3x,则「X)的解析式为。

X

2.已知f(x)=ax2+bx+c>若"0)=0且f(x+l)=f(x)+x+l,贝！]f(x)=。

二、解答题

3.设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}。

①求证：AuB；②如果A={-1,3},求B。

4.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(l)=l,对任意xWR都有下列两式成立：

①f(x+5)》f(x)+5；②fi[x+l)WKx)+l。

若g(x)=f(x)+l—x,求g(6)的值。

5.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数，且aWO)满足条件:f(x—l)=f(3—x),且方程f(x)=2x

有等根。

①求f(x)的解析式；

②是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存在，

求出m,n的值；如果不存在，请说明理由。

6.定义在(0,+8)上的函数f(x)满足:①《2尸1；②f(xy)=f(x)+f(y),其中x,y为任意实数；

③任意正实数x,y满足x>y时，f(x)>f(y)。试求下列问题：

(1)求f(l),f(4)；

(2)试判断函数出x)的单调性；

(3)如果fifx)+f(x-3)W2,试求x的取值范围。

2

7.已知函数f(x)=6x—6x,设函数g,(x)=f(x),g2(x)=f[gi(x)],g3(x)=f[g2(x)],—,

gn(X)=f[gn-l(X)],…。

①求证：如果存在一个实数Xo，满足gi(Xo)=Xo，那么对一切nGN*,gn(Xo)=Xo都成立；

②若实数X0,满足gn(Xo)=Xo,则称X。为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。

③设区间A=(-8,O),对于任意XGA,有gi(x)=f(x)=a<0,g2(x尸f!gi(x)]=f(O)〈O,且n22时,

gn(x)<0。试问是否存在区间B(ACBW4>),对于区间内任意实数x,只要nN2,都有gn(x)<0?

8.对于函数y=f(x),若存在实数xo,满足f(x0)=x0,则称xo为f(x)的不动点。已知F,(x)=f(x),

F2(x)=f[Fi(x)],F3(x)=f[F2(x)],…，Fn(x)=f[Fn.,(x)](nGN*,n>2)»

①若f(x)存在不动点，试问F2(x),F3(x),…,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以

证明。

②设f(x尸2X-X?。求使所有Fn(x)<0(nCN*,nN2)成立的所有正实数x值的集合。

9.设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时，

0<f(x)<lo

①求证：f(0)=l,且当x<0时，有Rx)>l；

②判断f(x)在R上的单调性；

2

③设集合人={(%丫可依2)£(7)第1)},集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=l,aGR},若ACB=<|),求a的

取值范围。

单元练习题

1、若{&,l}u{l,2,a}u{l,2,4,a2},求a的值。

2、2知集合{0,-l,2a}={a-1,一同,a+1},求实数a的值。

3、集合{x|-l〈logI10<一』，xGN}的真子集的个数是.

X

4、已知集合{1,2,345,6,7,8,9,10},求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含

有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1。

设f(x尸治，求出12,2004

5、)+-+f(-----)。

200520052005

6、函数f(k)是定义在正整数集N上，在N中取值的严格增函数，且满足条件f(f(k)尸3k,

试求f(l)+f(9)+f(96)的值八

7、设函数y=f(x)的定义域为［0,1］,试求G(x尸f(x+a)+f(x—a)的定义域。

8、设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当xC［2,3］时，f(x尸x,

求当xW［—2,0］时，f(x)的解析式。

9、设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定负数a,有一个最大正数/(a),使得有整个区间

［0,/(a)］±,不等式|f(x)|W5都成立。问a为何值时，/(a)最大？求出这个最大的/(a),证

明你的结论。

10、求函数产J1998—x+Jx-1997的值域。

11、函数f(x)=x2+3ax-2a+l在区间［0,1］上的最小值为0,求a的值。

12、已知函数gx尸*2-2*+2,*仁切+1］的最小值为的)，试写出函数s=g(t)的解析式，并画

出函数的图象。

13、函数f定义在实数集上且对于一切实数x满足等式：f(2+x)=f(2-x)ffR7+x)=f(7-x),

设x=0是f(x)=0的一个根，记f(x)=0在区间［-1000,1000］中的根的个数为N,求N的

最小值。

14、已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当一iWxWl时,|f(x)|Wl。①

证明：|c|Wl；②证明：当一IWxWl时,|g(x)|W2；③设a>0,当一IWxWl时,g(x)

的最大值为2,求Rx)。

15、已知x,y>10,xy=1000,求(lgx)(lgy)的取值范围。

16、设f(x尸2+logx25—log/64-logQ8,试确定x的取值范围，分别使f(x)大于零，小

于零，等于零。

17、设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：①对于任意实数x,均有f(x)》2；②对于任

意实数X|、X2，均有f(X|+X2)<f(X|)+f(X2)»试证：对于任意实数Xi、X2,均有lgf(Xi+X2)

<lgf(X|)+lgf(X2)o

18、求方程lg2x—[Igx]—2=0的实数根的个数。

19、设x、y、z为非负的实数，且满足方程4'际京一682'际京+256=0,求x+y+z

的最大值与最小值的积。

20、方程_lg2x_=2中,a为何实数时，方程无解？有一解？有两解？

lg(x+a)

21、已知a>0,aWl,试求方程loga(x-ak)=logj(x?-a?)有解时k的取值范围。

2

22、解方程log4x74X-5X+2=—o

23、求方程2w+2x+2y+2z=20.625的满足条件w>x>y>z的整数解。

24、设a、。分另U是方程logzx+x—3=0和2*+x—3=0的根，求a+。和log2a+20。

25、解方程Ig、一[Igx]—2=0。

26、已知实数x满足方程x=,求[2x]。

「10931

27、求正整数——的末两倍数字。

1031+3

28、前1000个正整数中可以表示成[2x]+[4x]+[6x]+[8x]的正整数有多少个？

答案

幕函数、指数函数、对数函数

1、C；2、B；3、C；4、A；5、C；6、B；7、B；8、D：9、一；

2

10、分析：①证明：Vf(x+2)=f(—x)=>f(x+2)=—f(x)

・・・f(x+4尸一fi(x+2)=—[一Rx)]=Rx)

988

②R10g)18)=—f(log218)=-f(log218—4)=-f(log2-)=f(log2-)=-

11、分析：VIg(4x+2)=lg2x+lg3=>lg(4'+2尸lg(3・2x)n22x—3・2'+2=0n2x=l或2x=2=>x=0或

x=l

x<0x<0

12、分析：Vf(x)>l=>s或〈inx<-1或x>l

2-x-l>l

・•・所求不等式的解集为(一oo,-l)U(l,+8)。

11V2-2v+1

13、分析:*/f(—x)+f(x4-l)=

2~x+412x+]+4122+亚2

f(-5)+f(—4)+…+f(0)+…+f(5)+/6)=3VIo

41121000

学生思考：设f(x尸二一，求f(')+f(上)+…+f(*2t)。

4*+2100110011001

分析：x+y=lnf(x)+f(y)=l

14、分析：•.•f(x)=3・4、-2x=3(2X—L)2-J-

612

Vx^0=>2x^l

当2X=l=>X=0时，f(X)min=2

,[igxX>1

15、分析：Vf(x)=|lgx|=^

-Igx0cx<1

V0<a<b且f(a)>f(b)

■a、b不能同时在区间[l,+8)上

V0<a<b=>ae(0,l)

・•・若bc(0,l),显然ab〈l

若b£[l,+8),贝ijf)(a)>f(b)^>—lga>lgb=>lg(ab)<O=>ab<1

33

16>分析：V2(log,x)2+9logjx+9<0=>—3<log】xW———WlogzxW3n2尤Wx

22222

<8

.'.M=[2V2,8]

XX2

f(x)=(log2-)(log2-)=(log2x—l)(log2x-3)=(log2x—2)—1

28

V2V2WxW8nmWlog2xW3

当log2x=2=>x=4时,ymi„=-1

当log2X=3=>X=8时，ymax=0。

17、分析：①•••logaF=log〔enlogat—3=logty—31ogia

aa'

x

*.*t=a=>x=logat

"玩,二'——nlogay=x2—3x+3ny=a-"x+3(xwo)

xx

33

②令u=x2—3x+3=(x——)2+—(xWO),则y=au

・・・XE(0,2]时，ymin=8

33

.,.当0<a<l时，尸a”有最小值，则u=（x—/彳+^在（0,2］上应有最大值，但u在（0,2］

匕不存在最值。

33

当a>l时，产a”有最小值，则u=（x—/y+］在（0,2］上应有最小值

33

4

••・当X=5时'Umin=-=>ymin=。

3

a4=8na=16

.“3

・・a=16,x=—

2

1312或13

18、分析:+2《=---------+2<—---------+2>—=>log2x<0或log2x>2或

log,X10g|X2log।x2

222

2

7

7

0<log2x<—=>0<x<l或x>4或l<x<2o

_______]________3

19^分析：:/log?x-1+—log11+2>0=>Jlog?x-1——log2x+2>0

252

令t=Jlog2x-1(t20)

1一1v1n1Wlogx<2=>2Wx<4

T+2

・・・所求不等式的解集为［2,4)

35--bd

20、分析：logb=—,logd=-nb=a2,d=c4=>a=(-)2,c=(—)4(*)=>a|b,c|d

a2c4ac

hd2

r=1也=5

hdbdbd)ci7a

Va-c=9=>(-)-2-(-广44]一一(—)72][-+(—W=9n

acacachd-d2

____L

—十=94

ac2,c2

a=25c=16

・,・代入(*)得:=>b-d=93o

<b=l25d=32

21、分析：依题意得:

-2a-2)x

=>a2—2a-3<0=>—1<a<3<>

所求实数a的取值范围(-1,3)。

22、分析：设y=Iog5(3x+4>log4(5'—3x)

.1.5y=3x+4x,4y=5x-3x

.*.5y+4y=5x+4x

•••f⑴=5'+4'是单调递增函数

；.f(y)=f(x)ny=x

34

.1.5X=3X+4X=>(1)X+(1)-1

3434

g(x)=(—)x+(—)*为单调递减函数且(—)2+(—)2=1

•••x=2是原方程的唯一解。

学生思考：解方程10*+1r+12*=(，荻)。

23、分析：求a的取值范围，只需分离参数a与变量x,化成a>g(x)。

依题意得：1+2、+3、+…+(11—1户+1^>0=3>—［(2》+(4户+…+(!］月(xWl)

nnn

V-(-)\当k=l,2,3,…,(n-l)时，在(一8,1]上都是增函数

n

io1

；.g3=—[(上)X+(2)X+.“+(±2)X]在(-8,1]上都是增函数

nnn

12n-1n-1

・・g(X)max=g(D=_(—+—+…+-------)=———

nnn2

1/7~~1

/.a>--fT~,即a的取值范围为(―一,+8)。

22

1

24分析：取x=y=a,u=v=b,则对任何a>1,b>0有血比氏/(。产

1

令a=10,2b=lgx,则对任何x>l有f(x)W/(10)心

再令a=x,2b=」一,则对任何x>l有f(x)2/(10),gv

lgx

i

，满足条件f只能是f(x)="10)薪

1

令f(10)=c(c为大于1的任何实数)，则f(x)=clgA(c>l)

1

经检验知：f(X尸C心(C>1)为所求的函数。

函数的最值

1、B：2、D；3、D：4、一；5、4；6、5；

2

X11

7、解析：*.'g(x)=-......=-------丁W—

x+1,12

x+

X

当X=1时,gmax(x)=y

f(x)=—(X-1)2+^-

，当X=2时，f^in(x)=——.

2

8、解析：①令x=y=0,则f(0尸0,令丫=一*得出x)+W-x尸f(0尸0=>f(-x)=-f(x)=>f(x)为奇

函数

②设X|、X2eR且X|>X2，则X|—X2>0=>f(X]—X2)<0

/.f(X|)-f(X2)=f[(Xi-X2)+X2]-f(X2)=f(X1-X2)+f(X2)-f(X2)=f(X|—X2)<0

为减函数

③由②知fmin(x尸f(一3尸一f(3尸一［f(2)+f(l)］=-31、(1户2；^)=^6)=6^1)=-40

9、解析：*.'y=x+—+—=x+—+---

xx+ax、a

x+一

X

.a

令t=x+一

X

Va为正常数，x>0=>t=x+—22

x

y=t+-(t^2)

t

①当0<aW!时，t+1》2n当t=l》2j］时，ymin=2；

4I

②当a>—时，t22&Nl,y=tn■-是增函数n当t=2&时，ymin=24aH---尸；

4t2V2

10、解析：①：b>2an—2<—l=f(x)在［-1,1］上的增函数

2a

V|sinx|^1

•••fmin(sinx)=f(—1)=-4,fmax(sinx)=f(l)=2

=>a-b+c=-4,a+b+c=2

=>b=3

/.a=l,c=-2

317

f(x)=x2+3x-2=(x+—y——

317

・•・当X=-5时，f^in(X)=——o

②令x=l代入4xCf(x)<2(X2+1)W41)=4=a+b+c=4

•・，4x《f(x)nax2+(b—4)x+c20恒成立

AW0=>(b-4)2-4acW0=>(-a-c)2-4acW0=>(a-c)2W0na=c

,.,b£N=a+cW4n2cW4=cW2=c=l或c=2

经检验c=2不合题意，应舍去

c=l

x4+4x3+17x2+26x+10664

11>解析:,--y==(X2+2X+7)+-1

x~+2x+7x"+2x+7

设u=X2+2X+7=(X+1)2+6G［6,10］

Vy=u+—-1在［6,8］上是减函数；在［8,10］上的增函数

u

・__47

••ymin=15；ymax=

x+1>0x+1>0

12、解析：Vf(x)^g(x)=><2x+Z>0nb>-2x

x+1<(2x-bt)2［r>-2x+Jx+1

，X£［0,1］时，f(x)Wg(x)恒成立=>X£［0,1］时，12—2x+Jx+1恒成立

设h(x)=-2x+Jx+1,令u=Jx+1=>x=u2—1(1WuWV2)

h(x)=—2(u——)2+—

48

.・.当u=l=>x=0时，hmax(x)=l

.I的取值范围为［l,+8)。

13、解析：①令t=3"++”=(3-mt)x2+2x+n-t=0

+1

■:AN0=>4—4(3-mt)(n-t)20=>mt2—(3+mn)t+3n-lW0

•・・2WtW4

9

4m-2(3+mn)+3n-1=0[m-1m~«人人&

i或16(不符合题意，舍去)

16m-4(3+mn)+3«-1=0n=310

ii〃=——

3

3厂+2x—1

②.；t=-------；--------=(3-mt)x~7+2x-1-t=0

mx~+1

A20=>4-4(3-mt)(-1-t)^0=>mt2-(3-m)t-4W0

4_

⑴当m=0时，t2・§,符合题意

(2)当mWO时，要使函数的值域包含(0,+8),只须m<0时，方程mt2-(3・m)t-4=0有两个负

根

m<0

[-(3-m)]2-4/n(-4)>0

v3-"2<°nmW9或・1Wm〈0

m

4

——>0

、m

・•・所求m的联欢会范围为(・8,刃u[-1,0]o

14.解析：•••f(x)=7x4-3x2-6x+13-7x4-x2+l=7U-3)2+(x2-2)2-

-Jx2+(X--1)2

...函数y=f(x)的几何意义是抛物线y=x2上的点P(x,x2)到两定点A(3,2),B。1)的距离之差

.\|PA|-|PB|^|AB|=VTO

15、解析：*.*f(x)=—x2+2tx—1=—(x—t)2+t2—t,xe[—1,1]

①当tW—1时，戈X)max=f(-1)

②当一IVtVl时，f(X)1rax=跳)

③当t》l时，f(X)max=G)

一3一1t<-\

*'•f(x)inax=-r-t-1</<1

t-1Z>1

♦•[f(x)]min=一~~

max4

16、解析:

17、解析：

18、解析："."x=y=O4x2—5xy+4y2=5

.♦.swo

27

x+y

VS=x2+y2^l=

4x2—5xy-i-4y2=5=>4x2—5xy+4y2=5•———^―

S

不妨设y#0

xx

A(4S-5)(-y7-5s•一+(4S-5)=0

yy

•・尤

・—GRD

y

A^0=>(5S)2-4(4S—5)2^0=>—WSW—=>——

13310S10

SminS310105

19、解析:分三种情况讨论

①若OWavb,则f(x)在［a,b］上单调递减

.J/(a)=2b一a=1

f(b)=2a=h=3

②若a〈Ovb,则f(x)在［a,0］高单调递增递增，在［0,b］上单调递减

a=-2-V17

../(0)=2b"0)=2"

或，f(b)=2a=,13

[f(a)=2ab=——

4

③若a<bWO,则以)在［a,b］上单调递增

f(a)=2a

无解

[f(b)=2b

所求的区间为[1,3]或[—2—后，上]。

4

20、解析：・・・f(X3)=0

Af(x)=f(x)-fi[x3)=(x-x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b]

222

.•.X[,X2是方程x+(a+x3)x+x3+ax3+b=0的两根=X]+x2=-(a+x3),X|X2=X3+ax3+b

Vx2-xi=X^>(a+x3)-4(X32+ax3+b)=X2=>3x32+2ax3+X2+4b-a2=0

=X3=；(-a+J4a2-⑵—3'2)(*)且4a2-12b-3』2o(**)

注意：由条件①②可得X3>-2

3

〃a2口

•:f(x)=x3+ax24-bx+c=(x+-)3-((-b)(x+y)+—2a3+c--]ab

.°1.2,a?1.a（***）

**Wx3)=0n—ab-—a-c=(x3+y)-(—-b)(x3+§)

74a23/l2-

由(*)得x3+-a=-

333V34

2

.CT

4p=--b

42]2A2、2、

由(**)(***)得p，—且一ab——a3-c=p——(p■入)

43274

令广jp—十

工y20且1ab--a3-c=y(/-—X2)

32794

3i3ii

■:y(y—入*')+一九~=/—xy+_X."=(y-一九)(y+:)20

44442

.1L23、、3cL一3有、32a3+27c-9ab^343

••一ab--a-c2----九二>2a~+27c-9abW----X=>----------W---

327182万2

取a=2V3,b=2,c=0,九=2,则f(x)=x3+2V3x2+2x有艰-6-1,-0+1,0显然假设条件成立

且

叽料凤g与

2a3+27c-9ab、3后

)max=2

A3

函数的方程迭代

2

1、Rx尸一-x

x

2、fCfx)=—1x2+—1x

22

3、解析：①设X。是集合A中的任一元素，即有x°eA

,:A={x|x=f(x)}

:.x()=f(x())=>f[f(x())]=f(xo)=x()=>x()eB

・・・AuB

②；A={-1,3}={x|x2+px+q=x}={x|x2+(p-l)x+q=0}

.jT+3=-(p_l)_p=-1?2

[(T)X3=4=>f(x)=X-X-3

q=-3

VfIf(x)]=x=>x4-2x3-6x2+6x+9=0^>(x2-2x-3)(x2-3)=0^>x=-l或3或百或-百

AB={-1,3,-73,73}o

4、解析：反复利用②

f(x+5)Wf(x+4)+1Wf(x+3)+2Wf(x+2)+3Wf(x+1)+4Wf(x)+5(*)

；・f(x+5)=f(x)+5

・••由(*)可以得到f(x+l)=f(x)+l

:.g(6尸出6)+1-6=[f(l)+5]-5=f(l)=l

5、解析：①：方程f(x)=2x有等根=>/=0nb=2

'/f(x-l)=f(3-x)=>4x)=g2-x)n图象的对称轴为x=--=l=>a=-l

2a

f(x)=-x2+2x

②f(x)=・(x-l)2+l<l

/.4nWlnnW—

4

•.•抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=l

.,.nW，时，f(x)在[m,n]上为增函数

4

若满足题设条件的m,n存在，则

f(m)=4m\m=0或加=-2

/(/?)=4n=0或几=-2

・・」V1

・m〈nW—

4

・・・m=2n=0,这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0]

・•・存在m=-2,n=0,满足条件。

6、解析：

①f⑴=0,f(4尸2；②增函数;③(3,4]。

7、解析：

①数学归纳法：当n=l时，g](x())=xo显然成立;当n=k时,在gk(xo)=x()(k£N*)成立，则

gk-1(xo)=f[gk(x)]=f(xo)=gi(x0)=x0,即当n=k+l时,命题成立。

，对一切n£N*,若gi(xo)=x(),则gn(x())=xo。

②由①知，稳定不动点x()只需满足f(x())=x(),

•.*f(xo)=x()=>6xo—6X2=XO=>XO=O或x=—。

O06

@Vf(x)<0=>6x-2x2<0=>x<0或x>l

/.gn(X)<0<z>f[gn.i(X)]<0<=>gn-l(X)<0或gn-1(X)>l

要使一切n£N,n22,都有gn(x)<0,必须有g)(x)<0或gi(x)>l

Vgi(x)<0<=>6x—2X2<0=X>X<0或x>l

23-V33+V3

g[(x)>1=6x—2x>1n---------<x<-----------

66

.•.对于区间(-8,0),(乏二叵)和(1,+8)内的任意x,只要n22,nCN*,都有gn(x)<0。

66

8、解析：

①y=f(x)存在不动点Xo，则出Xo)=Xo，下证X。是Fn(x)的不动点。

VF2(Xo)=f[F1(Xo)]=f[f(Xo)]f(Xo)=Xo

，Xo也是F2(x)的不动点。

若Fn-I(x)存在不动点Xo,即Fn-i(Xo)=Xo

-Fn(Xo)=f[Fn.t(Xo)]=f(Xo)=Xo=>Fn(x)存在不动点Xo

综上所述：对于任意nCN*,n22,F£x)都存在不动点，并且有相同的不动点。

②方法一：

fi[x)<0=>2x—x2<0=>x<0或x>2

2

:要使Fn(x)<0(n>2)^fIFn-1(x)]<0=>2Fn.l(X)-[Fn.1(x)]<0=>Fn.1(x)<0或Fn"x)>2

2

依此类推，要使F2(x)<0=>fIF,(x)]<0=>fIf(x)]<0=>2f(x)-