讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章 章末复习课

章未复习课

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一、两直线的平行与垂直

1.判断两直线平行、垂直的方法

(1)若不重合的直线/1与/2的斜率都存在，且分别为h，k2,则所=42=/1〃以

⑵若直线与/2的斜率都存在，且分别为所，上2,则所心=

(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)

2.讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养.

例1(1)已知J),B(0,—，，C(2-2a,1),D(~a,0)四点，若直线AB与直线

CD平行，则。=.

答案3

1,。+1

3

角星析kAB=0_]=——],

当2—2a=—a,即〃=2时，

2

kAB=—yCD的斜率不存在.

・・・A5和CD不平行；

0—1]

当“W2时,kcD~I•

-a—2十o2~a

,,/日〃]

由kAB=k7cD,TT—，

32—a

即a?—2a—3=0.

・•〃=3或d~-1.

0+31“

当〃=3时，fcw=-1,kBD=_3=-

JAB与CD平行.

1+311-01

CD9

当a=-1时，kAB=yksc—4-3'^~4~1~3

：.AB与CD重合.

...当a=3时，直线48和直线CD平行.

⑵若点A(4,—1)在直线/i：ax-y+l=0上，则h与/2：2x-y-3=0的位置关系是.

答案垂直

解析将点A(4,—1)的坐标代入ax—y+l=0,

得a=—贝(|左/片=—1x2=—1,

反思感悟一■般式方程下两直线的平行与垂直：

已知两直线的方程为li：4尤+Biy+G=0(Ai,3不同时为0),h'Aix+B^y+C2=0(A2,B2

不同时为0),则/l〃/2OAl%-A26=0且G&-C26W0,Z11Z2<*A1A2+BIB2=0.

跟踪训练1(1)已知直线东ax-3y+l=0,Z2：2x+(a+l)y+l=0.若八,勿则实数a的值

为.

答案一3

⑵已知两直线/i：x+my+6—0,h：(m—2)x+3y+2m—0,若h〃b，则相=.

答案T

解析因为直线x+/wy+6=0与(〃2—2)x+3y+2机=0平行，

[1X3—m(m—2)=0,

所以解得优=—1.

〔6X3W2mX机，

二、两直线的交点与距离问题

1.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题.

2.两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养.

例2(1)若点(1,〃)到直线,=冗+1的距离是平，则实数。的值为()

A.-1B.5

C.—1或5D.—3或3

答案c

解析•.•点(1,a)到直线y=x+l的距离是毕，

••・弋/叽嗜即吐2|=3,

解得a=—1或。=5,.,.实数a的值为-1或5.

(2)过点P(0,l)作直线/使它被直线/i：2x+y—8=0和公尤一3y+10=0截得的线段被点P平

分，求直线/的方程.

解设/i与/的交点为4。，8—2a),

则由题意知，点4关于点P的对称点8(—a,2a—6)在/2上，

代入/2的方程得一a-3(2a—6)+10=0,

解得a=4,即点A(4,0)在直线/上，

所以直线/的方程为x+4y-4=0.

反思感悟

T两点间的距离H工;)2

¥|।点到直线的距离-d」"学严

I离I1---------------1/川+工

T两条平行直线间的距离12黑点到直线

跟踪训练2⑴设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b^Q,已知a,b是关于尤的方

程d+x—2=0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为()

A.2小B.jC.2^2D.芈

答案D

解析根据a,b是关于x的方程F+x—2=0的两个实数根，可得a+6=—1,ab=-2,

/?=—2或〃=—2,b=l,/.\a—b\=3,

故两条直线之间的距离"=需=1=平.

(2)已知直线/过直线/i：x—2y+3=0与直线82x+3y—8=0的交点，且点尸(0,4)到直线/

的距离为2,则这样的直线/的条数为()

A.0B.1C.2D.3

答案C

x—2y+3=0,x=l,

解析方法一由2x+3y—8=0,传

J=2,

即直线/过点(1,2).设点Q(l,2),因为|尸。|=寸(1-0>+(2—4)2=小>2,所以满足条件的直

线/有2条.故选C.

方法二依题意，设经过直线"与办交点的直线/的方程为2x+3y—8+“x—2y+3)=0(*R),

|12-8A+3A-8|

即(2+/l)x+(3—22)y+3%—8=0.由题意得2,化简得5万一次-36=0,解

A/(2+A)2+(3-2>1)2

得力=—2或亍，代入得直线/的方程为y=2或4x—3y+2=0,故选C.

三、直线与圆的位置关系

1.直线与圆位置关系的判断方法

(1)几何法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径长为二若d<r,则直线和圆相交；若d=r,

则直线和圆相切；若d>r,则直线和圆相离.

(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式

为/./=0C直线与圆相切；/>0=直线与圆相交；/<0=直线与圆相离.

2.研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.

例3已知直线/：2»JX—y—8祖一3=0和圆C：V+y2—6x+12y+20=0.

(1)当用GR时，证明/与C总相交；

(2)切取何值时，/被C截得的弦长最短？并求此弦长.

(1)证明直线的方程可化为y+3=2加(无一4),

由点斜式可知，直线恒过点P(4,—3).

由于42+(-3)2—6X4+12X(—3)+20=—15<0,

所以点尸在圆内，故直线/与圆C总相交.

(2)解圆的方程可化为(x—3A+(y+6)2=25.

如图，当圆心C(3,—6)到直线/的距离最大时，线段A8的长度最短.

此时PC±l,

又g=三£9=3,所以直线/的斜率为T

则2m=—1,所以m=—

在RtZ^APC中，|PC|=MT5,|AC|=r=5.

所以\AB\=27人。|2一|PC|2=24B.

故当机=—'时，/被。截得的弦长最短，最短弦长为

反思感悟直线与圆问题的类型

(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得.

(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解.

跟踪训练3已知圆C关于直线x+y+2=0对称，且过点尸(一2,2)和原点0.

⑴求圆C的方程；

(2)相互垂直的两条直线/i，/2都过点4—1,。)，若乙，b被圆C所截得的弦长相等，求此时直

线八的方程.

解(1)由题意知，直线x+y+2=0过圆C的圆心，设圆心C(a,—a—2).

2

由题意，得(a+2)2+(—a—2—2)?=/+(—a—2),

解得a=—2.

因为圆心C(—2,0),半径厂=2,

所以圆C的方程为(x+2)2+y2=4.

⑵由题意知，直线/i,L的斜率存在且不为0,

设的斜率为左，则/2的斜率为一£

所以/i：y=k(x~\~1),即日一y~\~k=0,

Z2：y=—"(x+1),即x+6+l=0.

由题意，得圆心C到直线/1,/2的距离相等，

一|—2k~\~k\|-2+1|.

所以寸善丁=布:'解侍启=±1'

所以直线/i的方程为%—y+l=0或x+y+l=0.

四、圆与圆的位置关系

1.圆与圆的位置关系:一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.

2.圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养.

例4已知圆Ci：工2+9+4尤一4y—5=0与圆C2：f+产一8x+4y+7=0.

(1)证明圆Ci与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；

(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.

解(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x+2)2+(y—2)2=13,(X—4)2+6+2)2=13.

圆心与半径长分别为G(—2,2),n=V13;

C2(4,-2),r2=V13.

22

因为|CiC2|=^(-2-4)+(2+2)=2VT3=n+r2,

所以圆Ci与圆C2相切.

[P+y2+4x-4y-5=0,

由，，\,得12x—8y—12=0,

[X2+/-8X+4J+7=0,

即3尤一2y—3=0,就是过切点的两圆公切线的方程.

(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为

J?+J2+4X-4y—5+^.(3x-2j—3)=0.

4

点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得力=去

4

所以所求圆的方程为x2+y2+4x—4y—5+^(3x—2y—3)—0,即x2+y2+8x—^y—9=0.

反思感悟两圆的公共弦问题

(1)若圆Ci：『+y2+Dix+Eiy+Fi=0与圆C2：r+V+OM+Exy+BuO相交，则两圆公共

弦所在直线的方程为(。1一Di)x+(£i-E2)y+FI-F2=0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，

根据勾股定理求解.

跟踪训练4⑴已知圆Ci：/+/一6x—7=0与圆C2：/+;/—6y—27=0相交于A,8两点，

则线段AB的中垂线方程为.

答案x+y—3=0

解析AB的中垂线即为圆G、圆C2的连心线CC2.又Ci(3,0),C2(0,3),所以C1C2所在直

线的方程为x+y—3=0.

(2)已知圆G：r+y?—4x+2y=0与圆。2：―+/-2y—4=0.

①求证：两圆相交；

②求两圆公共弦所在直线的方程.

①证明圆G的方程可化为(x—2)2+G+l)2=5,圆C2的方程可化为f+Q—1>=5,

；.G(2,-1),C2(0,l),两圆的半径均为小，

|。心|=「(2—0)2+(—1—1)』2支<2小,

二两圆相交.

②解将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，(x2+y2—©+2y)—(f+y2—

2y—4)=0,即x_y_l=O.

N随堂演练

1.若直线3x+4y+zn=0与圆xz+y1-2x+4y+l=Q没有公共点，则实数m的取值范围是

()

A.-5<m<15B.zn<-5或相>15

C.m<4或相>13D.4<m<13

答案B

解析圆f+y?—2r+4y+l=0的圆心为（1,—2）,半径为2,

早坦>2

由题意,得圆心到直线3无+4y+加=0的距离

49+16

m<—5或；”>15.故选B.

2.am——2"是"直线小mx+4y—6=0与直线，2：x+根y—3=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若直线/i：mx-\-4y—6=0与直线L：x~\-my—3=0平行，则M?=4,可得%=±2.

当机=2时，直线/i：2x+4y—6=0,直线氏x+2y—3=0,两直线重合，不符合题意.

所以"直线/i：w?x+4y—6=0与直线b：尤+my—3=0平行”等价于"m=—2”.

所以“优=—2”是“直线人《?x+4y—6=0与直线总x+my—3=0平行”的充要条件.

3.（多选）点尸是直线x+y—3=0上的动点，由点尸向圆O：<+/=4作切线，则切线长可

能为（）

A.坐B.；C.1D.坐

答案ACD

解析根据题意，由点P向圆。：/+尸=4作切线，设T为切点,

圆O：^+/=4,其圆心为（0,0）,半径r=2,

则切线长\P7］7Poi2—d=”0|2—4,

当|尸。|最小时，|P