高中数学好题易错题集

高中数学好题易错题集2023.1.12

23m,..,、

(高一事函数)已知函数了(》)=(4加—3加卜才是黑函数，且〃3)<〃5).

(1)求实数，"的值；

⑵若〃北+1)<“3-4”)，求实数”的取值范围

2.3〃1.

【详解】(1)因为〃力=(4"-3加卜F是基函数，所以4/-3加=1,

解得m=1或切=-1.

4

1999

当相=-^时，f(x)=x^此时/(3)=33，/(5)=5-8,显然”3)>〃5)不符合题意:

当〃7=1时，/(力=/,此时/(3)=3"45)=54，满足/(3)vf⑸,符合题意.

综上，m=l；

(2)因为=所以“X)的定义域为［0,+8),且在［0,+8)上单调递增，

由〃2a+l)v〃3—而)，

2a+l>0

得《3-4a2。,解得-/Wa<5，

2。+1<3-4。

即实数a的取值范围为-g，g)

(高一二次函数与恒成立)已知函数〃x)=ln(x+q)(aeR)的图象过点(1,0),

g(x)=x2-2e/,x).

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)设机>0,若对于任意xe—,m,都有g(x)<-ln(〃?-l),求机的取值范围

_m

【详解】(1)解：由己知可得，/(l)=ln(l+a)=0,所以a=0,

所以/(x)=lnx,定义域为(0,+8).

所以有，g(x)=x2-2e/(A>=%2-2elnt=x2-2x,xe(O,-H»).

(2)解：若对于任意xe—,m,都有g(x)<-lnG〃-l),

tn

只需满足g(x)11m成立.

由(1)知，g(x)=f-2x,x>0,对称轴为x=l.

由“>0,可得，w2>1,所以力>1,即有

mm

根据二次函数的性质，可得g(x)在上单调递减，在(1,向上单调递增,

所以g(x)的最大值在x=3或、=用处取得.

Xgf—1-2x—=^---,g(m)=nr-2m,

\m)\m)mm"tn

g(机)一g-2m—{-^r—^-\=nr——■一—=(m+1)(瓶-1),

)\tnm)m\m)后

又m>1，所以gG")-g('J>0，所以g(m)>g]\)，

所以gGOmax=g(%)=病一2m.

由g(x)maxvTn()%—1)成立，可得病一2mv-lnO-1)，m>1,

即相2-2m+]n(m-l)<0,z/7>1.

令〃("?)=/—2m+ln(n?—l),m>1,则原不等式等价于〃

>1,且设班<网，

则M小)一妆也)=肛2—2叫+ln(〃&—+2m,-ln(/n,-1)

=(7w)一加2)(//+m2-2)+ln——,

因为他，色〉1,m、<吗,所以㈣一"?2<。，叫+吗-2>0,0<町一1<吗一1,

所以。<eW<1,所以In强二1<0,所以(叫-小)(叫+〃?「2)+ln%三<0.

所以九(肛)所以人(犯)<〃(/nJ,

所以〃(加)=4-2,〃+ln(«i-l)在(1,4w)上单调递增.

又妆2)=22-2x2+ln(2—l)=0,则由〃(旭)<0=力⑵,可解得1<机<2.

4

(高一函数零点)已知定义在(0,+8)上的函数"x)=x+1-5,则“X)的零点是

；若关于x的方程y(x)=m(M>o)有四个不等实根不当不用，则玉起毛匕=

【详解】令/(x)=。，则％+3=5,BPX2-5X+4=(X-1)(X-4)=0,可得x=l或x=4,

x

又X£(0,4-00),故/(x)的零点是X=1和x=4;

由/（力=砥机＞0）有四个不等实根与,％2，0匕，即/（幻且不£（。,+8）与y=m＞。有四个不同

交点,

因为y=x+3-522jx-±-5=-l,当且仅当x=2时等号成立,

xVx

结合对勾函数性质，V在xe（0,2）上递减，在xe（2,*o）上递增,

综上,(0,1)和(4,用)上丫＞0,(1,4)上"0,

则（0,1）、（2,4）上/（x）=y|递减,（1,2）、（4,+8）上f（x）=|），|递增,

所以Ax）函数图象如下，由图知：

又y=x+±-5=l,贝U-Gx+dnO,解得x=3土石,

X

若不1＜电＜工3＜%4，则3-&vX]Vlvx2V2＜七＜4Vx4＜3+6,

44U—=5-〃?,

故石+—=七+—=加+5,

所以不看是12-（加+5）尤+4=0的两个根，々，刍是/+。％-5）工+4=0的两个根,

则不工4=工2七=4,故%％2工3%4=16.

故答案为：x=l和x=4,16

（高一概率）甲约乙下中国象棋，若两人下成和棋的概率是甲获胜的概率是g,则下列

结论正确的是（）

74

A.甲不输的概率为正B.乙不输的概率为m

2I

C.乙获胜的概率为二D.乙输的概率为《

【分析】利用互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式直接求解.

【详解】选项A：甲、乙两人下成和棋的概率是3，甲获胜的概率是1，所以甲不输的概率

117

为耳+1=而，故A正确；

14

选项B：乙不输的概率为故B正确；

113

选项C：乙获胜的概率为=而，故C不正确；

选项D：乙输的概率(即甲获胜的概率)为(，故D正确.

故选ABD.

(高一上图像变换)关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()

A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增

B.函数y=/(x)的图象关于直线x=2对称

C.若片片々，但/(%)=/(七)，则X|+±=2

D.函数/(x)有且仅有两个零点

【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.

【详解】由函数y=lnx,x轴下方图象翻折到上方可得函数y=|lnx|的图象,

将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数丫=阿4=阿-4的图象，

将函数图象向右平移2个单位，可得函数产旧-(*-2)||=网2-用的图象，

则函数/。)=1卬2-刈的图象如图所示.

由图可得函数/(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；

函数y=/(x)的图象关于直线x=2对称，B正确；

若入户々，但/(与)=/5)，若4，4关于直线x=2对称，则为+巧=4,C错误;

函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.

故选：ABD.

(高一上指数综合)已知函数/(的=3,-3'+2,则f(log32)=；关于x的不等

式/(3x)+/(4-x)>4的解集为.

【详解】/(log32)=3咽2-3-喝2+2=2-]+2=；；

设g(x)=/(x)-2=3*-3-',

因为g(-x)=3-1-3,=—g(x),所以g(x)为奇函数，

设玉<&，因为g(%)-g(々)=3',-3』—3%+3』=(3"—3-)(1+卡)，

因为占<々，所以3&<34，所以3"-3处<0,所以g(xj<g(x2),所以g(x)在R上是增函

数，

因为f(3x)+/(4-x)>4,所以g(3x)+g(4r)>0,

所以g(3x)>g(x—4),所以3x>x—4,解得x>-2.

所以关于x的不等式/(3x)+/(4-x)>4的解集为(-2收).

-7

故答案为：—;(-2,+oo).

(高一上一元二次不等式成立)⑴若不等式x2+ox+240,aeR的解集为{知342},求

不等式—+5+221--的解集；

(2)若对于任意的X€{T-14X41},不等式/+曲:+242。%-1)+4恒成立，求实数”的

取值范围；

(3)若方程*2+,a+2=办2+(。+2)》+1在{x|g<xV3>有解，求实数。的取值范围

【详解】(1)若不等式/+ax+240的解集为{xH4x42},即1,2是方程x?+办+2=。的

两个根，贝!)1+2=-a=3,即。=一3,

由/+以+221—/得工2一3X十2之1一炉，即2X2-3X+1N0得(2%—1)(%—1)之0,得工21或

/

即不等式的解集为(e,U[l,+oo).

(2)解：不等式/+办+242”(;(:-1)+4在xe{x|-14x41}恒成立，即f—仪+2a-240在

xe{x|-14x41}恒成立，

12-a+2a-2<0i(il

故、2，解得故〃的取值范围为YO，£.

(-\Y+a+2a-2<03I3」

(3)国军：由办？+(o+2)x+1=d+分+2,得(。一I)/+2x-l=0,HP(a-l)x2=1-2x,

若方程在｛x4<x43｝有解，等价为07=匕巴=与_2=(1_1尸_］有解，

2x-xxx

2

*.*xG｛x|—<x3),一£-»21,即一14(—I)—1<0,即一IKa—1<0,则0<。<1,

2x\_3Jx

即实数。的取值范围是［。/).

(高一上分段函数)设函数f(x)=-\：：］；“<°若/(〃〃))=1

则实数4=

【详解】设〃a)=w,则/(㈤=1,当时，显然一M=i无解，

当机<0时，由苏+2m+1=1得〃?=一2,/.f(^)=-2,

当a<0时，由/+2a+l=(4+1)220,/(〃)=-2无解，

当a20时，由—/=-2得a=>/2，综上a=V2.

故答案为：血.

(平移与伸缩变换)函数y=2「"的图像可看作是把函数y=2,经过以下哪种变换得到()

A.把函数y=2,向右平移一个单位

B.先把函数y=2,的图像关于x轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位

C.先把函数y=2,的图像关于y轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位

D.先把函数y=2'的图像关于V轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的

2倍，横坐标不变

【详解】选项A：函数y=2*向右平移一个单位得到y=2一；

选项B：先把函数y=2'的图像关于x轴对称得到y=-2］然后向左平移一个单位得到

y=-2口

选项C：先把函数y=2'的图像关于了轴对称得到y=2-,然后向左平移一个单位得到

y=2<Jr+l>=2皿.

选项D：先把函数y=2,的图像关于V轴对称得到丁=2一」,然后把各点的纵坐标变为原来的

2倍,横坐标不变得到y=2x2、=2*

故选：D

(高一上指数函数综合)设函数/。)=(左-1)/+「3>0且"D是定义域为R的偶函数,

/(1)=|

(1)求。的值并用定义法证明/(x)在(。,+纥)上的单调性；

⑵若/W+2)—/(加—4)>0,求实数机的取值范围；

(3)若g(x)=m+,产-(2m+l)/(x)在[1,+8)上的最小值为-3,求m的值.

【详解】(1)[•由函数”力=依-1)，+/是定义域为R的偶函数,

二满足/(x)=f(-x),

即(％-1)/+ax=ax+(k-\)ax,

-1=1,即z=2,

xx

.\f(x)=a+af

又f(1)=|,即a+/=|,

化简为：2/-5a+2=0,

解得：。=2或者〃=:，

2

:.f(x)=2x+Tx,

设方,电e(0,+<»)且芭，则

/(士)-/(幻

=2.+2-3-（2J2-&）

=2*-2X：+--------

2*,2过

-2X,

叼+-———

=2*-22内+为

xl

由王<々，得2、一2与<0

•.#0<Xj<x2,

.,/<1,即1-募>。，

•••〃37（々）=（2厂211-击卜0,

\/（X）在单调递增；

（2）/（力是R上的偶函数，

\/（勾在X«O,4W）单调递增，在X£（f,0）单调递减.

,.,/（/??+2）-/（m-4）>0,

即/（m+2）>/（m-4）,

.,.|m+2|>|/n-4|,

两边平方得：+4+4〃?>+16-8〃z

解得：m>1,

实数〃?的取值范围为：（1,内）；

（3）由（1）知,g（x）=a2x+a2x-（2/M+1）/（x）=22J+2-2x-（2/n+1）（2X+Tx）

将g（x）变形得：g（x）=22*+2-2x-（2/n+l）（2x+Tx）=（2r+Tx）?-（2w+l）（2r+2T）-2

令r=2*+2",因为xe[l,+8）,由对勾函数的性质得

则原函数化为：y=r2-（2/n+l）z-2,/>|,

由题知，y=*-（2m+l）t-2在Ze■1,+e）上的最小值为-3,

函数y=”一（26+1"-2的对称轴为：r=-二（空D=〃?+g,

①当，〃+即加>2时，，""一"=（/〃+：）-（2〃？+l）[，〃+gJ-2=-3,

解得：加=-：3或加=1均不符合题意，舍去，

22

②当初+:=：,即加=2时，X„/„=f-T-5x--2=--^-3,不符合题意，

22I2J24

③当，〃+即0?<2时，为加=(1)—+—2=—3,

解得：机=子19符合题意，

所以加的值为治19.

【点睛】关键点睛：利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论是解题的关键.

(高一上奇偶性)若/(x)=lna++。是奇函数，则。=_____,b=____.

2-x

【详解】因为/W=lna+J—+》是奇函数，

2-x

所以其定义域关于原点对称，

由—30可得，(2-x)(2«+l-ar)^0,

所以％=如1=_2,解得“=:,

a4

所以函数的定义域为(f,-2)U(-2,2)U(2,+w),

因为/(x)在x=0处有定义，即f(0)=0,

所以1/+6=0,解得6=ln4,

4

故答案为：-了；In4

4

(高一上统计)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分

层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),

[30,40),L,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：

(1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数;

(2)试估计测评成绩的第三四分位数；

（3）已知样本中男生与女生的比例是3：1,男生样本的均值为70,方差为10,女生样本的均

值为80,方差为12,请计算出总体的方差.

【详解】⑴由频率分布直方图知，分数在［50,90）的频率为（0.01+0.02+0.04+0.02）x10=0.9,

在样本中分数在［50,90）的人数为100x0.9=90（人）,

在样本中分数在［40,90）的人数为95人，所以估计总体中分数在［40,90）的人数为

400x0.95=380（人），总体中分数小于40的人数为20人

（2）测试成绩从低到高排序，样本中分数在［40,70）的频率为0.4,

样本中分数在［40,80）的频率为0.8,则75%分位数在［70,80）之间，

所以估计测评成绩的75%分位数为70+10x先075—-074=70+8.75=78.75.

0.8-0.4

31

（3）总样本的均值为2x70+—x80=72.5,

44

所以总样本的方差为sJ=（［10+（72.5-70）2］+；［12+（72.5-80）1=与

（高一上翻折变换与零点汨知函数f（x）=［詈24°「<&若f（a）=以b）=f（c）（a<b<c）,

l-x,x>8,

则"c的取值可能是（）

A.8.5B.10.5C.12.5D.14.5

【详解】画出小）=［型2琲°丁<8,的图象，如下所示:

因为F(a)=F0)=/(c),

故可得：log2a+log2b=0,解得ab=］；

数形结合可知：ce（8,ll）,

故必c«8,ll）.

则满足该范围的选项是：AB.

（高一上概率）如图所示的电路由邑两个系统组成，其中M,N,P,Q,L是五个不同

的元件，若元件N,P,Q,乙出现故障的概率分别为!，!，则下列结论

23456

正确的是（）

&S2

A.元件M,N均正常工作的概率为:B.系统B正常工作的概率为:

60

C.系统52正常工作的概率为上D.系统3，邑均正常工作的概率为g29

36

【分析】对于A,利用独立事件的概率公式求解即可，对于B,先求出系统却不能正常工作

的概率，然后利用对立事件的概率公式求解，对于C,先求出系统邑不能正常工作的概率,

然后利用对立事件的概率公式求解，对于D,利用独立事件的概率公式求解即可，

【详解】设事件4,B,C,D,E分别表示M,N,P,Q,L元件出现故障，则P（A）=g,

111——191

P（D）=-,P（E）=＜所以元件均正常工作的概率为P（A）P（8）=；x：=；,

356233

A错误，

2I|5

系统》正常工作的概率为1—=q=B正确；

i11?9

系统反正常工作的概率为=l-3="，C错误；

563030

29529

系统S-1均正常工作的概率为=D正确.

30636

故选：BD.

（高一上单调性与奇偶性）已知定义域为[-5,5]的函数/*）的图像是一条连续不断的曲线,

且满足/（-x）+/（幻=0.若V0X2G（0,5],当占＜%时，总有/⑷＞外，则满足

内x2

（26一1）/（2机—1）4（m+4）/（优+4）的实数m的取值范围为（）

A.[—1,1]B.[-1,5]

C.[-2,3]D.[-2,1]

【详解】令g(x)=#(x),xe[-5,5]

f(x)f(x)

因为我,天«0,5],当占<不时，总有即赴/(々)>先/(西)，

%X2

即％,%«0,5],当的<X2时，总有g(囚)>g&),

所以g(x)在(0,5]上递增,又因为〃T)+5(X)=0,

所以g(-力=一"(-X)=M'(x)=g(X),xe[-5,5],

所以g(x)在[-5,5]上是偶函数，

又因为(2〃?-1)/(2加一1)4(6+4)/(加+4),

所以g(2加一l)《g(w+4),Bp^(|2m-l|)<g(|m+4|),

—5<2m-1<5-2<m<3

所以<一54m+445,Hp]-9</?t<l,

\lm-1|<\m+4|-l</n<5

解得一IKmKI,

所以实数机的取值范围为[-15.

故选：A.

(高一上分段函数)己知awR,函数〃力=1:一毋①若/[〃叨=1,则。之值为

[x^-ax,x>\

;②若不等式/(X)>/⑴对任意xeR都成立，则a的取值范围是

【详解】解：由题可知，山)=卜丁小二,

[X-ax,x>\

①当acl时，则f(a)=a2-a2=。，/[/(a)]=/(0)=a2=l,

解得：a=-l；

当aZl时，则/(")=/—黯=0,/[/(«)]=./(O)=a2=l,

解得：a=l；

综上得：a=±l.

②由题可知，=

由不等式/(x)Z/(l)对任意xwR都成立，

ci~-cix^.\—Clx2_cix—Cl

所以有<,怛成“且<,恒成“，

X<1X>1

一片一办之1一。］一必+。2+。-120

对于K恒成立时，即京怛成立,

-a<0

解得：a>l；

-a+a2-l+a>0

…\x2-ax>l-a-,Ja(x-1)Vf—1

对于《恒成u时,即恒成立,

%>1[x>l

当X=1时，明显成立,

当方>1时，aVx+1恒成立，又•••x21,x+122,解得：a<2；

综上得：14a42.

所以〃的取值范围是：［1,2］

故答案为：①±1;②口，2］.

(高一上存在与任意)设〃x)=-x2-好+1,g(x)=-+；+”

(1)若〃x)在区间［1,2］上是单调函数，求a的取值范围;