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文档简介
高中数学好题易错题集2023.1.12
23m,..,、
(高一事函数)已知函数了(》)=(4加—3加卜才是黑函数,且〃3)<〃5).
(1)求实数,"的值;
⑵若〃北+1)<“3-4”),求实数”的取值范围
2.3〃1.
【详解】(1)因为〃力=(4"-3加卜F是基函数,所以4/-3加=1,
解得m=1或切=-1.
4
1999
当相=-^时,f(x)=x^此时/(3)=33,/(5)=5-8,显然”3)>〃5)不符合题意:
当〃7=1时,/(力=/,此时/(3)=3"45)=54,满足/(3)vf⑸,符合题意.
综上,m=l;
(2)因为=所以“X)的定义域为[0,+8),且在[0,+8)上单调递增,
由〃2a+l)v〃3—而),
2a+l>0
得《3-4a2。,解得-/Wa<5,
2。+1<3-4。
即实数a的取值范围为-g,g)
(高一二次函数与恒成立)已知函数〃x)=ln(x+q)(aeR)的图象过点(1,0),
g(x)=x2-2e/,x).
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)设机>0,若对于任意xe—,m,都有g(x)<-ln(〃?-l),求机的取值范围
_m
【详解】(1)解:由己知可得,/(l)=ln(l+a)=0,所以a=0,
所以/(x)=lnx,定义域为(0,+8).
所以有,g(x)=x2-2e/(A>=%2-2elnt=x2-2x,xe(O,-H»).
(2)解:若对于任意xe—,m,都有g(x)<-lnG〃-l),
tn
只需满足g(x)11m成立.
由(1)知,g(x)=f-2x,x>0,对称轴为x=l.
由“>0,可得,w2>1,所以力>1,即有
mm
根据二次函数的性质,可得g(x)在上单调递减,在(1,向上单调递增,
所以g(x)的最大值在x=3或、=用处取得.
Xgf—1-2x—=^---,g(m)=nr-2m,
\m)\m)mm"tn
g(机)一g-2m—{-^r—^-\=nr——■一—=(m+1)(瓶-1),
)\tnm)m\m)后
又m>1,所以gG")-g('J>0,所以g(m)>g]\),
所以gGOmax=g(%)=病一2m.
由g(x)maxvTn()%—1)成立,可得病一2mv-lnO-1),m>1,
即相2-2m+]n(m-l)<0,z/7>1.
令〃("?)=/—2m+ln(n?—l),m>1,则原不等式等价于〃
>1,且设班<网,
则M小)一妆也)=肛2—2叫+ln(〃&—+2m,-ln(/n,-1)
=(7w)一加2)(//+m2-2)+ln——,
因为他,色〉1,m、<吗,所以㈣一"?2<。,叫+吗-2>0,0<町一1<吗一1,
所以。<eW<1,所以In强二1<0,所以(叫-小)(叫+〃?「2)+ln%三<0.
所以九(肛)所以人(犯)<〃(/nJ,
所以〃(加)=4-2,〃+ln(«i-l)在(1,4w)上单调递增.
又妆2)=22-2x2+ln(2—l)=0,则由〃(旭)<0=力⑵,可解得1<机<2.
4
(高一函数零点)已知定义在(0,+8)上的函数"x)=x+1-5,则“X)的零点是
;若关于x的方程y(x)=m(M>o)有四个不等实根不当不用,则玉起毛匕=
【详解】令/(x)=。,则%+3=5,BPX2-5X+4=(X-1)(X-4)=0,可得x=l或x=4,
x
又X£(0,4-00),故/(x)的零点是X=1和x=4;
由/(力=砥机>0)有四个不等实根与,%2,0匕,即/(幻且不£(。,+8)与y=m>。有四个不同
交点,
因为y=x+3-522jx-±-5=-l,当且仅当x=2时等号成立,
xVx
结合对勾函数性质,V在xe(0,2)上递减,在xe(2,*o)上递增,
综上,(0,1)和(4,用)上丫>0,(1,4)上"0,
则(0,1)、(2,4)上/(x)=y|递减,(1,2)、(4,+8)上f(x)=|),|递增,
所以Ax)函数图象如下,由图知:
又y=x+±-5=l,贝U-Gx+dnO,解得x=3土石,
X
若不1<电<工3<%4,则3-&vX]Vlvx2V2<七<4Vx4<3+6,
44U—=5-〃?,
故石+—=七+—=加+5,
所以不看是12-(加+5)尤+4=0的两个根,々,刍是/+。%-5)工+4=0的两个根,
则不工4=工2七=4,故%%2工3%4=16.
故答案为:x=l和x=4,16
(高一概率)甲约乙下中国象棋,若两人下成和棋的概率是甲获胜的概率是g,则下列
结论正确的是()
74
A.甲不输的概率为正B.乙不输的概率为m
2I
C.乙获胜的概率为二D.乙输的概率为《
【分析】利用互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式直接求解.
【详解】选项A:甲、乙两人下成和棋的概率是3,甲获胜的概率是1,所以甲不输的概率
117
为耳+1=而,故A正确;
14
选项B:乙不输的概率为故B正确;
113
选项C:乙获胜的概率为=而,故C不正确;
选项D:乙输的概率(即甲获胜的概率)为(,故D正确.
故选ABD.
(高一上图像变换)关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()
A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B.函数y=/(x)的图象关于直线x=2对称
C.若片片々,但/(%)=/(七),则X|+±=2
D.函数/(x)有且仅有两个零点
【分析】根据函数图象变换,可得图像,利用图象注意检测选项,可得答案.
【详解】由函数y=lnx,x轴下方图象翻折到上方可得函数y=|lnx|的图象,
将y轴右侧图象翻折到左侧,右侧不变,可得函数丫=阿4=阿-4的图象,
将函数图象向右平移2个单位,可得函数产旧-(*-2)||=网2-用的图象,
则函数/。)=1卬2-刈的图象如图所示.
由图可得函数/(x)在区间(1,2)上单调递增,A正确;
函数y=/(x)的图象关于直线x=2对称,B正确;
若入户々,但/(与)=/5),若4,4关于直线x=2对称,则为+巧=4,C错误;
函数f(x)有且仅有两个零点,D正确.
故选:ABD.
(高一上指数综合)已知函数/(的=3,-3'+2,则f(log32)=;关于x的不等
式/(3x)+/(4-x)>4的解集为.
【详解】/(log32)=3咽2-3-喝2+2=2-]+2=;;
设g(x)=/(x)-2=3*-3-',
因为g(-x)=3-1-3,=—g(x),所以g(x)为奇函数,
设玉<&,因为g(%)-g(々)=3',-3』—3%+3』=(3"—3-)(1+卡),
因为占<々,所以3&<34,所以3"-3处<0,所以g(xj<g(x2),所以g(x)在R上是增函
数,
因为f(3x)+/(4-x)>4,所以g(3x)+g(4r)>0,
所以g(3x)>g(x—4),所以3x>x—4,解得x>-2.
所以关于x的不等式/(3x)+/(4-x)>4的解集为(-2收).
-7
故答案为:—;(-2,+oo).
(高一上一元二次不等式成立)⑴若不等式x2+ox+240,aeR的解集为{知342},求
不等式—+5+221--的解集;
(2)若对于任意的X€{T-14X41},不等式/+曲:+242。%-1)+4恒成立,求实数”的
取值范围;
(3)若方程*2+,a+2=办2+(。+2)》+1在{x|g<xV3>有解,求实数。的取值范围
【详解】(1)若不等式/+ax+240的解集为{xH4x42},即1,2是方程x?+办+2=。的
两个根,贝!)1+2=-a=3,即。=一3,
由/+以+221—/得工2一3X十2之1一炉,即2X2-3X+1N0得(2%—1)(%—1)之0,得工21或
/
即不等式的解集为(e,U[l,+oo).
(2)解:不等式/+办+242”(;(:-1)+4在xe{x|-14x41}恒成立,即f—仪+2a-240在
xe{x|-14x41}恒成立,
12-a+2a-2<0i(il
故、2,解得故〃的取值范围为YO,£.
(-\Y+a+2a-2<03I3」
(3)国军:由办?+(o+2)x+1=d+分+2,得(。一I)/+2x-l=0,HP(a-l)x2=1-2x,
若方程在{x4<x43}有解,等价为07=匕巴=与_2=(1_1尸_]有解,
2x-xxx
2
*.*xG{x|—<x3),一£-»21,即一14(—I)—1<0,即一IKa—1<0,则0<。<1,
2x\_3Jx
即实数。的取值范围是[。/).
(高一上分段函数)设函数f(x)=-\::];“<°若/(〃〃))=1
则实数4=
【详解】设〃a)=w,则/(㈤=1,当时,显然一M=i无解,
当机<0时,由苏+2m+1=1得〃?=一2,/.f(^)=-2,
当a<0时,由/+2a+l=(4+1)220,/(〃)=-2无解,
当a20时,由—/=-2得a=>/2,综上a=V2.
故答案为:血.
(平移与伸缩变换)函数y=2「"的图像可看作是把函数y=2,经过以下哪种变换得到()
A.把函数y=2,向右平移一个单位
B.先把函数y=2,的图像关于x轴对称,然后把所得函数图像向左平移一个单位
C.先把函数y=2,的图像关于y轴对称,然后把所得函数图像向左平移一个单位
D.先把函数y=2'的图像关于V轴对称,然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的
2倍,横坐标不变
【详解】选项A:函数y=2*向右平移一个单位得到y=2一;
选项B:先把函数y=2'的图像关于x轴对称得到y=-2]然后向左平移一个单位得到
y=-2口
选项C:先把函数y=2'的图像关于了轴对称得到y=2-,然后向左平移一个单位得到
y=2<Jr+l>=2皿.
选项D:先把函数y=2,的图像关于V轴对称得到丁=2一」,然后把各点的纵坐标变为原来的
2倍,横坐标不变得到y=2x2、=2*
故选:D
(高一上指数函数综合)设函数/。)=(左-1)/+「3>0且"D是定义域为R的偶函数,
/(1)=|
(1)求。的值并用定义法证明/(x)在(。,+纥)上的单调性;
⑵若/W+2)—/(加—4)>0,求实数机的取值范围;
(3)若g(x)=m+,产-(2m+l)/(x)在[1,+8)上的最小值为-3,求m的值.
【详解】(1)[•由函数”力=依-1),+/是定义域为R的偶函数,
二满足/(x)=f(-x),
即(%-1)/+ax=ax+(k-\)ax,
-1=1,即z=2,
xx
.\f(x)=a+af
又f(1)=|,即a+/=|,
化简为:2/-5a+2=0,
解得:。=2或者〃=:,
2
:.f(x)=2x+Tx,
设方,电e(0,+<»)且芭,则
/(士)-/(幻
=2.+2-3-(2J2-&)
=2*-2X:+--------
2*,2过
-2X,
叼+-———
=2*-22内+为
xl
由王<々,得2、一2与<0
•.#0<Xj<x2,
.,/<1,即1-募>。,
•••〃37(々)=(2厂211-击卜0,
\/(X)在单调递增;
(2)/(力是R上的偶函数,
\/(勾在X«O,4W)单调递增,在X£(f,0)单调递减.
,.,/(/??+2)-/(m-4)>0,
即/(m+2)>/(m-4),
.,.|m+2|>|/n-4|,
两边平方得:+4+4〃?>+16-8〃z
解得:m>1,
实数〃?的取值范围为:(1,内);
(3)由(1)知,g(x)=a2x+a2x-(2/M+1)/(x)=22J+2-2x-(2/n+1)(2X+Tx)
将g(x)变形得:g(x)=22*+2-2x-(2/n+l)(2x+Tx)=(2r+Tx)?-(2w+l)(2r+2T)-2
令r=2*+2",因为xe[l,+8),由对勾函数的性质得
则原函数化为:y=r2-(2/n+l)z-2,/>|,
由题知,y=*-(2m+l)t-2在Ze■1,+e)上的最小值为-3,
函数y=”一(26+1"-2的对称轴为:r=-二(空D=〃?+g,
①当,〃+即加>2时,,""一"=(/〃+:)-(2〃?+l)[,〃+gJ-2=-3,
解得:加=-:3或加=1均不符合题意,舍去,
22
②当初+:=:,即加=2时,X„/„=f-T-5x--2=--^-3,不符合题意,
22I2J24
③当,〃+即0?<2时,为加=(1)—+—2=—3,
解得:机=子19符合题意,
所以加的值为治19.
【点睛】关键点睛:利用换元法,结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论是解题的关键.
(高一上奇偶性)若/(x)=lna++。是奇函数,则。=_____,b=____.
2-x
【详解】因为/W=lna+J—+》是奇函数,
2-x
所以其定义域关于原点对称,
由—30可得,(2-x)(2«+l-ar)^0,
所以%=如1=_2,解得“=:,
a4
所以函数的定义域为(f,-2)U(-2,2)U(2,+w),
因为/(x)在x=0处有定义,即f(0)=0,
所以1/+6=0,解得6=ln4,
4
故答案为:-了;In4
4
(高一上统计)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分
层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),
[30,40),L,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人,试估计总体中分数小于40的人数;
(2)试估计测评成绩的第三四分位数;
(3)已知样本中男生与女生的比例是3:1,男生样本的均值为70,方差为10,女生样本的均
值为80,方差为12,请计算出总体的方差.
【详解】⑴由频率分布直方图知,分数在[50,90)的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,
在样本中分数在[50,90)的人数为100x0.9=90(人),
在样本中分数在[40,90)的人数为95人,所以估计总体中分数在[40,90)的人数为
400x0.95=380(人),总体中分数小于40的人数为20人
(2)测试成绩从低到高排序,样本中分数在[40,70)的频率为0.4,
样本中分数在[40,80)的频率为0.8,则75%分位数在[70,80)之间,
所以估计测评成绩的75%分位数为70+10x先075—-074=70+8.75=78.75.
0.8-0.4
31
(3)总样本的均值为2x70+—x80=72.5,
44
所以总样本的方差为sJ=([10+(72.5-70)2]+;[12+(72.5-80)1=与
(高一上翻折变换与零点汨知函数f(x)=[詈24°「<&若f(a)=以b)=f(c)(a<b<c),
l-x,x>8,
则"c的取值可能是()
A.8.5B.10.5C.12.5D.14.5
【详解】画出小)=[型2琲°丁<8,的图象,如下所示:
因为F(a)=F0)=/(c),
故可得:log2a+log2b=0,解得ab=];
数形结合可知:ce(8,ll),
故必c«8,ll).
则满足该范围的选项是:AB.
(高一上概率)如图所示的电路由邑两个系统组成,其中M,N,P,Q,L是五个不同
的元件,若元件N,P,Q,乙出现故障的概率分别为!,!,则下列结论
23456
正确的是()
&S2
A.元件M,N均正常工作的概率为:B.系统B正常工作的概率为:
60
C.系统52正常工作的概率为上D.系统3,邑均正常工作的概率为g29
36
【分析】对于A,利用独立事件的概率公式求解即可,对于B,先求出系统却不能正常工作
的概率,然后利用对立事件的概率公式求解,对于C,先求出系统邑不能正常工作的概率,
然后利用对立事件的概率公式求解,对于D,利用独立事件的概率公式求解即可,
【详解】设事件4,B,C,D,E分别表示M,N,P,Q,L元件出现故障,则P(A)=g,
111——191
P(D)=-,P(E)=<所以元件均正常工作的概率为P(A)P(8)=;x:=;,
356233
A错误,
2I|5
系统》正常工作的概率为1—=q=B正确;
i11?9
系统反正常工作的概率为=l-3=",C错误;
563030
29529
系统S-1均正常工作的概率为=D正确.
30636
故选:BD.
(高一上单调性与奇偶性)已知定义域为[-5,5]的函数/*)的图像是一条连续不断的曲线,
且满足/(-x)+/(幻=0.若V0X2G(0,5],当占<%时,总有/⑷>外,则满足
内x2
(26一1)/(2机—1)4(m+4)/(优+4)的实数m的取值范围为()
A.[—1,1]B.[-1,5]
C.[-2,3]D.[-2,1]
【详解】令g(x)=#(x),xe[-5,5]
f(x)f(x)
因为我,天«0,5],当占<不时,总有即赴/(々)>先/(西),
%X2
即%,%«0,5],当的<X2时,总有g(囚)>g&),
所以g(x)在(0,5]上递增,又因为〃T)+5(X)=0,
所以g(-力=一"(-X)=M'(x)=g(X),xe[-5,5],
所以g(x)在[-5,5]上是偶函数,
又因为(2〃?-1)/(2加一1)4(6+4)/(加+4),
所以g(2加一l)《g(w+4),Bp^(|2m-l|)<g(|m+4|),
—5<2m-1<5-2<m<3
所以<一54m+445,Hp]-9</?t<l,
\lm-1|<\m+4|-l</n<5
解得一IKmKI,
所以实数机的取值范围为[-15.
故选:A.
(高一上分段函数)己知awR,函数〃力=1:一毋①若/[〃叨=1,则。之值为
[x^-ax,x>\
;②若不等式/(X)>/⑴对任意xeR都成立,则a的取值范围是
【详解】解:由题可知,山)=卜丁小二,
[X-ax,x>\
①当acl时,则f(a)=a2-a2=。,/[/(a)]=/(0)=a2=l,
解得:a=-l;
当aZl时,则/(")=/—黯=0,/[/(«)]=./(O)=a2=l,
解得:a=l;
综上得:a=±l.
②由题可知,=
由不等式/(x)Z/(l)对任意xwR都成立,
ci~-cix^.\—Clx2_cix—Cl
所以有<,怛成“且<,恒成“,
X<1X>1
一片一办之1一。]一必+。2+。-120
对于K恒成立时,即京怛成立,
-a<0
解得:a>l;
-a+a2-l+a>0
…\x2-ax>l-a-,Ja(x-1)Vf—1
对于《恒成u时,即恒成立,
%>1[x>l
当X=1时,明显成立,
当方>1时,aVx+1恒成立,又•••x21,x+122,解得:a<2;
综上得:14a42.
所以〃的取值范围是:[1,2]
故答案为:①±1;②口,2].
(高一上存在与任意)设〃x)=-x2-好+1,g(x)=-+;+”
(1)若〃x)在区间[1,2]上是单调函数,求a的取值范围;
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