高考数学总复习

高考数学总复习第一讲：函数与方程

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系

和规律.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽

象其数学特征，建立函数关系.

在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身

各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想.

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，

那么这个表达式就可看成是一个方程.•个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个

对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看

成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数

的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决.总之，在复习中要注意

领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题.在解题中，同时要注意

从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案.

一、例题分析

例1.已知F（x）=x"-xP在xd（O,l）时函数值为正数，试比较a,。的大小.

分析•：一般情况下，F（x）可以看成两个哥函数的差.已知函数值为正数，即f|（x）=xa的

图象在xd（O,l）上位于f2（x）=xP的图象的上方，这时为了判断幕指数a,。的大小，就需要讨

论a,0的值在（1,+00）上，或是在（0,1）上，或是在（0,1）内的常数，于是F（x）成

为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=a'（0va〈l）是减函数，又因为x%?）。，所以得

a<p.

例2.已知0<a<i,试比较°），淤）的大小.

分析：为比较a"与（a"）a的大小，将它们看成指数相同的两个幕，由于幕函数

/（x）=<a<1）在区间0+8]上是增函数，因此只须比较底数a与a&的大小，由于

指数函数丫=2*（0。<1）为减函数，且l>a,所以a<a",从而

比较a"与（a"）”的大小，也可以将它们看成底数相同（都是a“）的两个幕，于是可以利用

指数函数丁1）是减函数，由于l>a,得到aKa。）。.

由于a<a&,函数y=aX（0<a<l）是减函数，因此aXa。）。.

综上，>1>/）.

解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单.

]

例3.关于x的方程有实根，且根大于3,求实数a的范围.

分析：先将原方程化简为ax=3,但要注意（Rx<3且"1.现将a*看成以a为底的指数函

数，考虑底数a为何值时，函数值为3.如图（1）,过（3,3）点的指数函数的底a=垂,

1

现要求0<x<3时，ax=3,所以。仁(班，+8),又因为存1,在图⑴中，过(1,3)点的

指数函数的底a=3,所以。e6自3)1］(3,+8).

1l=z

若将a'=3变形为a=3)令x,现研究指数函数a=3‘，由0<x<l且存1,得

’'7且'如图⑵，很容易得到：ae6自3川(3,+8).

通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利.

例4.函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当xe［2,3］时，f(x)=x，则当

xG［-2,0］时，f(x)的解析式是().

(A)f(x)=x+4(B)f(x)=2-x

(C)f(x)=3-lx+ll(D)f(x)=3+lx+ll

解法一、：f(-2)=f(2)=2f(-l)=f(3)=3,...只有(A)、(C)可能正确.

又：f(0)=f(2)=2,(A)错,(C)对，选(C).

解法二、依题意，在区间［2,3］上，函数的图象是线段AB,

•••函数周期是2,

线段AB左移两个单位得［0,1］上的图象线段CD；再左移两个单位得L-2,1］上的

图象线段EF.

•••函数是偶函数，

，把线段CD沿y轴翻折到左边，得［-1,0］上的图象线段FC.

于是由直线的点斜式方程，得函数在［-2,0］上的解析式：

'*+2)+2Xe[-2,-1]

/⑶=<

-(x+1)+3xe(-1,0]

3+(x+l)Xe[-2,-1]

*幻=

即3-(x+l)xe(-1,0]

由于xG[-2,-1]时,x+lWO,xG(-1,0)时,x+l>0,所以y=3-lx+ll,

xe[-2,0].

解法三、当xG[-2,-l]时,x+4G[2,3],

•••函数周期是2,

2

.*.f(x+4)=f(x).

而f(x+4)=x+4,

时，f(x)=x+4=3+(x+l).

当xe[-l,O]时，-xG[O,l],

且-x+2C[2,3J.

•••函数是偶函数，周期又是2,

=/(-x)=/(-%+2)=-x+2=3-(x+1),

|3+(x+l)xe［-2,-1］

于是在［-2,0］上，p-&+l)xe(-l10］.

由于xG［-2,-1］时,x+l<0>xG(-l,0)时,x+l>0,

根据绝对值定义有xG［-2,0］时，f(x)=3-lx+ll.

本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题.

例5.已知y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数,则a的取值范围是().

(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)［2,+oo］

分析：设t=2-ax,则y=1og；,t,

因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另

外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用.

解法一、由于存1,所以(C)是错误的.

又a=2时，真数为2-2x,于是对1,这和已知矛盾，所以(D)是错的.

当0<a<l时，t=2-ax是减函数，而y=k>gat也是减函数，

故y=loga(2-ax)是x的增函数,所以(A)是错的.

于是应选(B).

解法二、设t=2-ax,y=logat

由于a>0,所以t=2-ax是x的减函数，

因此,只有当a>l,y=logat是增函数时，y=1oga(2-ax)在［0,1］上才是减函数;

又x=l时,y=loga(2-a),

依题意，此时，函数有定义，故2-a>0

综上可知：1<a<2,

故应选(B).

.1-2x

/W=-——

例6.己知1+x,函数y=g(x)的图象与函数y=『(x+l)的图象关于y'=x对称,

则g(5)=

y=Lxx=-——{yk-2)

解法一、由1+x去分母，得丁+苫丁=1-2工，解出*,得丁+2

-X

1-x尸(X+1)

y-1-2)

=7W2+(x+l)3+x

故2+x于是

-X3—,解出、，1言(")

y=-----

设3+x,去分母得,

3

kk+ng(^)=T^.U#-1)

：.J(XI)的反函数l+x

-3x55

S(5)=7TT=_2

解法二、由尸厂(x+D,则加)=A/V+1)]

.•J3)=x+1,.•.x=/3)7

即广厂"x+D的反函数为y=/(x)-i

根据已知：=

g(5)=/(5)-1=^-^-1=-|

解法三、如图，f(x)和P(x)互为反函数，当『(X)的图象沿X轴负方向平移一个单位时，做

为“镜面”的另一侧的“象"f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此「(X+1)的图象与f(x)-l的

图象关于y=x对称.

故P(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-l,

g(5)=/(5)-l=-^

二2.

本解法从图象的运动变化中，探求出flx+1)的反函数，体现了数形结合的优势出

二、巩固练习

[-22]

(1)已知函数/(*)="+(2a-l)x-3在区间2'上的最大值为1,求她a的

值.

⑴解：忖在区〃a

上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得,

取3、，102a-1233

/(--)=1a=--------=-——e[-r-,2]

2,3,而顶点横坐标2a202最大值在顶点外取

得，故此解舍去.

33

«=-[--,2]

当最大值为f(2)时，f(2)=l,4，顶点在2应在区间右端点取得最大值，此解

合理.

4

72a-(2a-I)2-3±2^/2

----------------=1a=----------

当最大值在顶点处取得时，由4a，解得2,当

-3+372r3

a=---------[--,2]

2，此时，顶点不在区间2内，应舍去.

3T-3-3贬

a=一或---------

综上，42.

/(x)=--x2+—

(2)函数33的定义域是[a,b],值域也是[a,b],求a.b的值.2)

解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论.

当a<b4)时，f(x)为递增函数，有

-3-737,-3+737

a=---------,b=----------

解得，22,由于b>0,应舍去.

当0<a<b时，f(x)为递减函数,

7

+-力

3

7

+-4

3

有2

a=l

当a<O<b时，f(x)最大值在顶点处取得，故

值应在a处取得.(2)解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论.

/(a)—>+l=a

'127

/(Z>)=--b2+-=b

当a<bWO时，f(x)为递增函数，有I33,

-3-737,-3+737

a=---------,b=----------

解得，22,由于b>0,应舍去.

当0<a<b时，f(x)为递减函数，

5

/⑷=-jtJt2

7

+—=«

有3解得:a=l»b=2.

i=­/(i)=/(")=—^a

当a<Ovb时，f(x)最大值在顶点处取得，故3,327,所以最小

值应在a处取得.

/⑷=-#J-3士、历,全-3+质、

+—=aa=------------(舌----------)

3,解得：22

，-3-737

a=-----------

2

a=1

综上,3=2

y=kg2

(3)求函数X-2的最小值.解(3)分析：由于对数的底已明确是2,所

p.=------

以只须求x-2的最小值.

(3)解法-：：为-2,.\x>2.

X

U=------2C八

设x-2,贝ijx-^x+2/4=0

由于该方程有实根，且实根大于2,

/-8/20

心>2

2

.2二2"+2">0

・•I解之，

当ji=8时，x=4,故等号能成立.

y=iog2(-^—)

因此x-2的最小值是3.

于是log2>0且x=4H寸，等号成立,

>0

解法二：：x-2,；.X>2

6

X2则"5交一2)+(六)+4"(x-2),号+4

〃二-二

设五一2

.•.心8且工-2,即x=4时，等号成立,

/.log2|i>3且x=4时,等号成立.

log2(—)

故X-2的最小值是3.

22

⑷已知a>O,a彳1,试求方程l°ga('-困=l°g&式*-°)有解时k的取值范围.4)

x-akQ

=<”-a*>0'x-ak>。①

解法一：原方程［(X-*»2=X2

a2(x-ak)2=x2-a1②

L

由②可得：2H=aQ+M)③,

当k=0时，③无解，原方程无解：

一。+1)a(l+k2)

----------->ak('/a>0)

当厚0时，③解为2k代入①式，2k

O痣7)/T)<0=左或0(后〈］

k

解法二：原方程Ologa(X-*Toga、户不

原方程有解，应方程组

y=x-ak

<C一F有解®>°)

y=-a，

即两曲线有交点，那么ak<-a或0<ak<a(a>0)

k<-l或0<k<l.

(5)设函数/(X)=&+l-ax(a>0)

7

(I)解不等式f(x)<l

(II)求a的取值范围,使f(x)在［0,+8］上是单调函数.

5)解(I),不等式f(xWl),即&+141+公

由此得：IW+ax即axK),其中常数a>0,

x2+1<(l+«x)2fx>0

x>0即（a?-1）x+2a>0

•••原不等式

(x|0<x<—

当0<a<l时，所给不等式解集为1-a

当a>l时，所给不等式解集为{xlxK)}.

(II)在区间［0,+8)上任取xg,使得x,<x2,

〃再)-/(叼)=M+i-粕+i-呐-马)

勺+町

旧+1+J君+1

(i)当论1时,

...《X；+1+Jx]+1

...Jx；+1+Jx］+1

又勺一々<0

:am

所以，当吟1时，函数f(x)在区间［0,+8)上是单调递减函数.

々=0，盯=-y

(ii)当0<a<l时，在[0,+8)上存在两点1"满足f(xi)=l,f(x2)=l,即

f(X1)=f(X2),...函数f(x)在区间［0,+8)上不是单调函数.

高考数学总复习第二讲：分类讨论

分类又称逻辑划分.分类讨论即是种数学思维方法，也是一种重要的解题策略，

常常能起到简化问题、解决问题的作用.

数字的解题过程，实质是一个变形过程，往往需要一些条件的限制，从而引起分类讨论.

分类讨论的关键问题就是：对咖个变量分类，如何分类.

分类的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求：

8

(1)保证各类对象即不重复又不遗漏.

(2)每次分类必须保持同一分类标准.

应用分类讨论解决数学问题的一步骤：

(1)确定讨论对象和需要分类的全集.(2)确定分类标准(3)确定分类方法(4)逐

项进行讨论(5)归纳小结

应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，

但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的一知量与未知量之间的

关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题

更简单.

一、例题分析

_sinx|cosx\tgX\ctgj\

例1：求函数求“砌提十厨心的值域.

分析：根据绝对值的定义

a(a>0)

=<0(a=0)

-a(a<0)

及题设中函数的表达式可知，要分别对绝对值号中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零，小

于零(不能为零)来讨论，以去掉绝对值号.而决定三角函数值正负的因素是角x所在的象

限，故按角x的终边所在的象限为分类标准，进行分类讨论：

解(1)角x在第一象限时，

_sinx+cosx+tgx+ctgx_彳

sinxcosxtgxctgx

(2)角x在第二象限时，

^=sinx+-cosx+JgL+-£/gx=1_1_1_1=_2

sinxcosx-tgxctgx

(3)角x在第三象限时，

sinx-cosxtgxctgx

y=--------+----------+—+=-l-l+l+l=0

-sinxcosxtgxctgx

(4)角x在第四象限时，

sinxcosxtgx-ctgx,,,,

y=--------+-------+—^―+——2-=-1+1-1-1=-2n

-sin%cosx-tgxctgx

综上所述：函数的值域{4,0,-2}

说明：数学中的概念有些是含有不同种类的，当题目涉及这样的概念时，必须按给出概

念的分类方式进行分类讨论，才能使解答完整无误.

例2,已知扇形的圆心角为60。，半径为5cm,求这个扇形的内接长方形的最大面积.图

解：如图一，内接长方形CDEF的面积为：S=EDEF,ED=OE-sin0=5sin6

9

EFOE

在中，运用正弦定理，得sin(60°-d)sin1200

EF=%sin(60°-④

S=^sindsin(60°-e)

s(200-600)-cos600]

73

如图二.取馥的中点M,连接OM分扇形为两个小扇形，在这二个小扇形中，各有

原内接长方形的一半，.••内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积的2倍.

即

S'=2，Si

_.不以30°-8)

=29'5ssme----------'5

sin150。

=5012sin8sin(30°-=50[cos(20°-30°)-cos30°]

S大=50(1-羊73

再比较s人与sm的大小

—^-50(1--)=—(7^-12)=—G/147-7144)>0

6266

—^(3cm2

综上，所求扇形的最大内接长方形的面枳为6

说明：本题是由图形的位置及形状不能确定引起的分类讨论，其原因在于扇形内接长方形

相对于扇形的位置不确定，故而求出两种位置下的面积而后判断最大为多少.

例3已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C,x2+y2=l,动点M到圆C的切线长与IMQI

的比等于常数入(X>0)求动点M的轨迹方程，说明它表示什么

曲线.

解如图，设直线MN切圆。于N,则动点M组成的集合是

P={M||MN|=^MQ|}(其中A>0)

圆半径IONI=1,IMNI2=IMOI2-IONI2=IMOI2-1

设点M的坐标为(x,y),则

10

J—+.2-[=_J(X_2)2+/

整理得：(£-1)(，+川-4福+(1+4玲=o

检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P,故这个方程为所求的轨迹方程.

5

X=一

当入=1时，方程化为4它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点

1+3入2

(火

当¥1时，方程化为

它表示圆，该圆圆心的坐标为,半径为

1+3尤

k2-1!

说明：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因

参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会

导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论为，求得问

题的结果.

例4已知a>l,解关于x的不等式：

21oga(x-l)>loga[l+a(x-2)]

O卜glx-D*>logJl+a(x-2)]

解：原不等式V-1>0

(x-1)2>}+a(x-2)

=<x-1>0

1+«(无-2)>0

x2-(2+o)x+2a>0(x-2)(x-a)>0①

②

x>2--x>2--③

aa

(i)当lVa<2时，山①得：xVa或x>2

a>2--,-<-<l1<2--<a<2

a又<2a：,a

II

<x2--<x<a或x>2►

.••解集为Ia」

x)3

A/一

(ii)当a=2时，山①得x#2,由③得2

r3'

iXX一且XH2h

解集为I2，

(iii)当a>2时，由①得，x<2或x>a

1<2-l<2

a

']'

<x2--<x<2或x>a►

解集为Ia」

说明：本题中参数a,在求解集过程中，不同的取值，影响解集，故而要分类讨论，这是

变形所需.

例5某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量

an?时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过an?时，除了付给同上的

基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费.已知每户每月的排污费不超过4元,

该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：

解：设每月用水量为xn?,支付费用为y元.

>=8+c(04x4a)

则(8+S(x-a)+c(x>a)

月份用水量(a?)水费(元)

189

21519

31315

由题意知0<c*,8+c<12.

故第2、3月份用水量15am3-13am3大于最低用水限量am3

7=15=(X=13

,和H

将卜=19卜=15分别代入丁=8+&(x-a)+c中，得

19=8+5(15-a)+c

得5=2;2a=c+19

'15=8+g3-a)+c

①

再分析1月份用水量是否超过最低限量an?

不妨设8>a,

x=8,4、

代入y=8+2(x+a)+c

将上1=9中，得

12

9=8+2(8-a)+c,

得2a=c+15②

Al月份用水量不超过最低限量.

又...y=8+c

9=8+c,c=1

a=10,b=2,c=l

说明：本题为实际应用问题，在解题过程中，隐含着分类讨论：a>8,a=8,a<8,根据条件，逐

一讨论，使问题得以解决.

例6设a>0,且时1，解关于x的不等式：

忸心才7卜腕尸-2|<2

解：原不等式0|21%钎2卜辰“钎2|<2

当OVa<l时，

'x)a

原不等式O(D1(2-210gax)+Qog2X-2)<2,

a\x<ar

或(][),(21ogaX-2)+(log&X-2)<2

(0<x<a

2

或(III)VX-2)-(logaX-2)<2

a<x<―r-

解不等式组(I),得“；

解不等式组(II),得a?<x<a

解不等式组(HI),无解.

r]、

ixa2<x<—>

原不等式的解集为l。

当a>l时，

原不等式=

0<x<a,

(I).(2-21og&x)+(log「2)<2;

a<x<,a2

或(H).(21ogaX-2)+Qoga-2)<2;

x>a2

或(IH)<21°g0X-2)-Q°gaX-2)〈2;

13

—7<x<a；

解不等式组(I),得a

解不等式组(H),得a<x<a2；

不等式(III)无解

<X—y<X</►

二原不等式的解集是I&」

说明：本题在对a进行分类的过程中，又对x进行分类，以丢掉绝对值符号，是多次分类:

例7设°<，<1,比较卜ga。-为)1与gga(l+，)|的大小

分析：本题可用比差法，但要对a进行分类讨论，而用商比较法，可以不再进行分类讨论,

解起来简单了.

解丫0。<1

|18式1一初

|符1+*。-切=-1"1+式1-功

A|loga(l+x)|

1+Xo

log1+x--=log1+x-~~j-=1Togi+*(i))1

1-X1-X

A|logfl(l-x)|>|loga(l+x)|

说明：分类讨论的目的是为了解决问题，但要视情况而定，若能不分类即可把问题解决

就不要分类讨论

二、习题练习

.1.已知不共面的三条直线a、b、c,a〃b〃c,过a作平面a,使b、c到a的距离相等,

则满足条件的平面&有()

(A)1个(B)2个(04个(D)无数个

2.函数与它的反函数是同一函数的充要条件是()

(A)a=l,b=0(B)a=-l,b=0

(C)a=±1,b=0(D)a=l,b=0或a=-l,b£R

3.已知k是常数，若双曲线上—52-的焦距与k值R无关，则k的取值范围是

()

(A)-2<k<2(B)k>5

(C)-2<k<0(D)0<k<2

4.已知数列｛aj前n次之和Sn满足l°g2⑸+D="】，贝ija产.

5.直线m过点P(-2,1),点A(-1,-2)到直线m的距离等于1,则直线m的方程为

14

6.根据实数k的不同取值，讨论直线y=k（x+l）与双曲线

,-画=4的公共点个数.

7.已知数列㈤｝和函数工⑸=%无+。2/+…+玛］，当n为正偶数时，工（-1）=n

当n为正奇数时，<（7）=-M.求｛aj的通项公式.

8.设a>O,a=l,解关于x的不等式.

log（l--）>1

ax

入习题解答

1.B）提示：两种情况：过a与b、c所确定平面平行，或过a与b、c所确定平面相交.

2.选（D）,提示：/（x）=ax+S的反函数为aa,依题意

,1b-

ax+b=-x--b-t

aa：.a由①得a=±l,当a=l时，b=0»当a=-l时,b£R.

3.选（C）提示：表示双曲线，贝心一5）（2-因）<0,当上>°时,2<上<5,此时,

上-5<0,则2-1知-（上-5）=7-2小，不合题意，当心0时，一2<仁0,此时，上-5<0,

则2T幻一叱-分=7,与卜无关.

（3,n=1

%》22龌：山+1）=阀+L得力=3且凡=2川-1，当吟2时,

Mi一$*-1=2*,若％=L则%=2,

3,n=1

=<

.2",«>2

••、

5.4x+3y+5=0,或x=-2提示：直线m的斜率不存在时，方程为x=・l,满足条件，当

…3

斜率存在时，设其方程为y-l=k（x+2）,由点到直线的距离公式，可得3

ry=总+1）

6.解：由卜7/=4消去丫整理得（1-4/）/_肽2钎4/-4=0

,X,2c=±—=±—（X+1）

当1-4归=0时，2,此时直线2分别与双曲线的渐近线平行，

它仍分别与双曲线的一支交于一点

15

当1-4/x0时，△=16(1-3必)

^=±—j^=±—(x+1)

...当3时，直线3分别与双曲线只有一个公共点;

-迫<上<走且小

当332时，直线与双曲线有两个公共点；

k<-直或k>走

当33时，直线与双曲线无交点.

7.解当n为正偶数时，

fn(7)=_/+与-%-----%+ax=n

此时n-1为为正奇数，则-%+"3+4----=工-1（7）=-（«-1）

.一（%一1）+々及=加.an=2«-1

当n为正奇数时，（n>l）

工,（7）=Pi+町/+4--+^-1-%=

此时n-1为为正偶数，则-%+一。3+4-…+%=a(7)=%7

A(»-l)-a„=-«,解得%=2«-1

而当n=l时，由已知得的=<(7)=-%=-1.•.%=1

故数列W的通项公式为即=2%-1

OlogKl--）>loga

8.解：原不等式X

O<a<10tO<l-a<l,—>1

当1-a

O0<1--<a

原不等式x

fx_i

——>0卜<0,或工>1

oL*、Q」1

（1一以）x-l0<x<----

-―-——<01-以

x

16

<X1<X<---►

・・・原不等式的解集是I;

当以>1时,1一以<0

-1、(1-a)x-1..

<»-——-——>0

原不等式xx

1

%------[

O―<0<»—-<x<0

x1-a

‘1'

<x-----<x<0}

...原不等式的解集为I1-",

高考数学总复习第三讲：数形结合

一、专题概述一什么是数形结合的思想

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想.

恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系.”“数”和“形”是数学中两个

最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、

大小、位置密切相关的数量关系：反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映

和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象

思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在

研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,

化难为易，化抽象为直观.

数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形

的结合等.

二、例题分析

17

1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.

观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互

位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程.

y=sin（2x+—

例1.函数2的图象的一条对称轴方程是：

元九•冗•5

x=一一x=--x=——x=

（A）2（B）4（C）8（D）4

分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答

案，如果对函数y1n（尔十°）的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲

线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将

__允_冗汽5__iA^2n

2484代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：2,其

中只有-1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）

2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.

观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时、仅画图示“意''是不够的，还必

须反映出图形中的数量关系.

例2.问：圆/+y2+2芯+4^-3=°上到直线x+y+l=°的距离为我的点共有几

个？

分析由平面几何知：到定直线L：x+h+l=°的距离为五的点的轨迹是平行L的两

条直线.因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数.

将圆方程变形为：（/I）?+0+2）2=8,知其圆心是c（1_2）,半径r=2、.，而圆心

到定直线L的距离为72,由此判定平行于直线L且距离为72的两条直线中，一条通过圆

心C,另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）

18

握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成,

相互转化.

2

例3.判定下列图中，哪个是表示函数y=犬图象.

析由V=产=3而，可知函数y=X，是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、

0<-<1I

（C）,又3，沙=*的图象应当是上凸的，（在第I象限，函

2

数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数丁=一图象.

例4.如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛

满液体，经过3分钟注完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是

圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图

象表示只可能是（）.

分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B）,下落时间t

越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以

只可能是（D）.

例5.若复数z满足匕-1-』八/，且"gz-1,则在复平面上对应点的图形面积是多

少？

分析满足匕-IT"应的复数Z对应点的图形是：以C（l,l）为圆心，金为半径的圆面，

,冗

argz2一

该圆面与4图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到NAOC=45。）

—^G/2）2+—72-~--72^sin—=-1

因此所求图形的面积为：222222

4.灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性.

在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，

复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法.通过联想找到数与形之间

的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性

的重要手段.

C,2c,（3。

例6.已知C<0,试比较2的大小.

分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在

y=x,y=2x,y=&）*

同一坐标系中，画出三个函数：2的图象位于y

C>2c<（-）c

轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系