高中数学三角函数与解三角形真题（解析版）

专题04高中数学三角函数与解三角形真题

1.对任意闭区间I，用表示函数y=sinx在/上的最大值.若正数a满足叫。,名=2M[a,2a],则a的值为

【答案】?或竺？

o12

【解析】由图像分析得a=£或2a=詈.

2.已知x、y满足产+2cosy=1.则％—cosy的取值范围是。

【答案】[一1“5+1]

【解析】

由于二2=1-2cosye[一L3]故*e[一、氏v句.

由cosy=三三知万-cosy=1(x+I)2-1

因此，当t=一1时，r-cosy有最小值-1,此口寸,y可以啰；

当万=V?时，x-cosy有最大值、5+lit匕时，y可以取TT.

由；(X+1)2-1的值域为[-L+1],知万一cosy的取值范围是[一Lb+1]

20

故答案为：[―1,0+1]

3.设函数f(x)=sin空+cos空(keZ+).若对任意实数a,均有

{/(%)|a<x<a+1]=(f(x)|xeR],则k的最小值为.

【答案】16

【解析】

由条件知/'(X)=(sin*+cos?§-2sin*.cos27^

41.2kx122kx.3

=1—sin’——=-cos'—+一,

25454

当且仅当\=誓(me幻时，f(x)取到最大值.

根据条件，知任意一个长为1的开区间(a,a+1)至少包含一个最大值点.从而，下<1nk>5兀

反之，当时，任意一个开区间(a,a+l)均包含f(x)的一个完整周期，此时，

{f(.x)\a<x<a+1)={/(x)|xe/?］.

综上，k的最小值为［5m+1=16,其中，［川表示不超过实数x的最大整数.

4.若tane=cosa,贝U―-——I-cos4«=.

sina

【答案】2

【解析】由tana=cosa有前。=cosa,sine=cos2a,而sin2a+cos2a=1,求H【cosa=(负

cosa2

//—\2

十4

值舍去)，所以」一COS4Q=—+cosa=--------尸+I,5=2O

sinacosa_1+J512,

5.［2015］设3为正实数.若存在a、b(K<a<b<2K),使得sincoa+sin3b=2,则co的取值范围是.

【答案】3w［：,；］u3,+8)

【解析】

由siruoa+sin3b=2=sin3a=sin3b=1.

而⑷Q,sb］Uw兀23网，故已知条件等价于：存在整数仙l(k<0，使得

3-2也+三2抗+三2M.①

当®24时，区间［3兀,2®可的长度不小了4兀，故必存在k、2满足式①.

当0<®<4时，注意到，［a)n.2a)n\c(0,8兀).

故只要考虑如下几种情形:

(1)tO7T<-<—<2Ci)7tf此时，CU<且3>三，无解;

2224

(2)371<~~<23兀此时，<6)<

(3)3兀<—<—<2eon,此时，-<to<-=>—<to<4.

22424

综上，并注意到口之4也满足条件，知ju[.,+8).

故答案为：CU6[：jU崖’+C0)

6.在4月8。中，已知sia4=lOsinB-sinCcosA=lOcosB•cosC,贝UtarM=.

【答案】11

【解析】

由sinA-cosA=10(sinB-sinC-cosB-cosC)=-10cos(B+C)=lOcosA

=>sinA=llcosA=tag=11.

7.设4幺BC的内角乙4、乙B、4C的对边分别为a、b、c,且满足acosB-bcosA=建.则以竺二

5tans

【答案】4

【解析】

解法1有题设及余弦定理得

22222

-c^---Fa----^---D,--b----Fc---a——3na2T2=2

2ca2bc5

故里丝—siMcosb_a--2--8--

一、b2.2-2

tanssin^cos4o--rrr--ac2+^-a2

解法2如图4,过点C作CD垂足为D.则

acosB=DB,bcosA=AD.

由题设得DB-AD="又DB+DA=c,联立解得

解法3由射影定理得acosB+bcosA=c.

又acosB-bcosA=gc，与上式联立解得

D4..1utanA3inA-co3ffacosS

acosB=-c>bcosA=-c.故---=-------=：----=4.4

55taiWsin5cos4bcosA

8.满足;的所有正整数兀的和是.

【答案】33.

【解析】

由正弦函数的凸性，知当xc(oq)时，<sinx<x.

故sinsin—>—x-=

sin—<-<-,sin->-x-=

101039n93

因此，满足三<sin三<三的正整数n的所有值分别为10、11、12,其和为33.

4n3

9.若cos5j-sin50<7(sin30-cos30)(0G[0,2TT)),则6的取值范围为.

【答案】信苧)

【解析】

题设不等式等价于7sin汨+sin50>7cos30+cos50.

设f(x)=7x3+x5,所以f'(*)=21x2+5x4>0，

所以f(%)=7炉+*5是(-8,+s)上的增函数，所以,sin0>cos0.

故2E+5<8<2ibr+三("eZ).

由夕e[0,2TT].知8的取值范围是信乎).

故答案为:(r?)

10.已知函数了=(acos2%—3)sinx的最小值为一3.则实数a的取值范围是.

【答案】-1<a<12

【解析】

令sinx=t.于是，原函数化为g(t)=[a(l-t)3-3]t

由g(t)在[-1,1]内的最小值为-3得at(l—t)2+3(1—t)>0>即(1—t)[at(l+t)+3]>0.故

a(t2+1)>-3.①

当t=0,-L时，式①总成立；

当0<t=1时，0<t2+t<2；

当一l<t<0时，一：wt2+t<o.

从而，一三Waw12.

2

11.在"BC中，BC=a,CA=b,A8=c.若人是a与c的等比中项，且s山4是s%(3-A)与s%C的等差中项,

求cosB的值.

【答案】三芋

【解析】由题意改=序，

2siru4=sin(B-A)+sinC=sin(B—4)+sin(B+4)=2sinBcos4

整理即sinB-tanA.

对ac=〃利用正弦定理并结合三项的等差数列得sirUsinC=sin2B=吗.

CO32A

即sin4=sinCcos2A

于是tanX=sinCcos?!=sinB=sin(A+C)=siii4cosC+cos^sinC.

EPsin/lcosC=0,C=7.

22

sinB=tanA=cotB=sin£,cosB=sinB=1-cosB.

令8sB=X，则产+工-1=0,解得COSB=X=

2

12.已知函数f(x)=asinx—jcos2第+Q—其中，QER,且aH0.

(1)若对任意XER都有f(x)M0,求a的取值范围.

(2)若a之2,且存在无£R,使fCOwO,求Q的取值范围.

【答案】(1)(0」](2)[2,3]

【解析】

(1)f(x)=sin2x+asinx+Q—

令t=sinx(-l<t<1).则g(t)=产+Qt+Q—

5(—1)=1--<0,

由题设知402

p(l)=1+2a--<0.

CL

解得a的取值范围为(0」].

(2)因为QN2,所以，一三£T.故9(t)min=9(-1)=1

Zu

从而，/&)疝11=1-，由题设知1一；±0・

解得0<a<3.故a的取值范围是[2,3].

1.已知a,夕e(宁，兀)，cos(a+S)=：，得sin(a+£)=-g,cos(a—：)=—春所以cos(£+：)=

【答案】一工

【解析】

cos(6+：)=cos(a+S)sin(a—；)=一氏

2.在ZkABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则s山/A的最小值为.

【答案】■

49

【解析】

由48+AC=7ABxAC<-,

4

又。5xACsin-l=4=>sin乙4>-,AB=AC=三时取等号.

2492

3.设的y6R满足x-6A-4〃一y+12=0,则x的取值范围为.

【答案】14一2回三万三14+2/U

【解析】

由二一6疗-4dx_y+12=0=(Jt_y-2)2+(^/y-3)2=1.

令Jx-y-2=cos0,

yfy—3=sind=>x=(2+cos®)2+(3+sin0)2=14+V52sin(0+<p)(sin(p=卷),

所以14-2y/13<x<14+2V13.

4.计算cos卫cos—cos旧的值为______.

777

【答案】-

S

【解析】

记S=cos—cos—cos—,则

777

A■7t7127T41Ta•27T27r47Tr■4IT47T•87(7Tp*r-■i厂1

—5•8sin二=8sHi二・cosjcos—cos—=4sm—•cos—cos—=2sm—cos—=sm—=-sin二,所以,S=

777777777777S

5.函数y=|cos%|-cos2x(xeR)的值域是.

【答案】［0,*

【解析】

y=|cosx|-cos2x=-2|cosx|2+|cos.r|+1=-2(|cos.r|--)2+因为0<|cosx|<1,所以0<y<-.

49S

故答案为：［0,3

6.如图，在△AB。中，点C在AO上，乙4BC=L/.DBC=AB=CD=\.则AC=____.

26

【答案】x=V2

【解析】

在△A3。中，——=—r―nsinD=、(其中AD=x)①

smi20*sinD2(x+l)

在ABC。中，匹-=—5—=正二=2=sinD=9三②

sinDsin30*sinD2

由①②得=(x+l)vx2-1=V3=>x4+2x3-2x-4=0

2(x+l)="2：-二

=(x+2)(/-2)=0,因为x+2>0,/.X3=2.即x=\2.

故答案为：x=V2

7.若边长为6的正AABC的三个顶点到平面a的距离分别为1,2,3,则AABC的重心G到平面a的距离

为.

【答案】｛0,:,2)

【解析】

(1)当AABC的三个顶点在平面a的同侧时，由公式d=汕但求得重心G到平面a的距离为2.

3

(2)当AA8C的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面a的异侧时，求得重心G到平面«的距离分别为

0,

3'3

故答案为：｛(),7,712)

8.函数y=2(5-x)sinnx-1(0<x<10)的所有零点之和等于.

【答案】60

【解析】

函数y=2(5-X)sinnr-1(0Mx=10)的零点即为方程2(5—x)sinnx在区间［0,10］上的解0函数y=2siiwtx

的图像与函数y=£的图像在区间［0,10］上的交点的横坐标.因为函数y=2sinu的图像与函数y=£的图

像均关于点(5,0)对称，且在区间［0,10］上共有12个交点(6组对称点).每组对称点的横坐标之和为10,

即这12个点横坐标之和为60.

所以函数y=2(5—x)sinn—I(0SW10)的所有零点之和等于60.

故答案为：60

9.在AABC中，siMA+sin2c=20i8siMB,则3M+tsnGtan"=

tanA+tanB+tanC

【答案】总

【解析】

因为sin"+sin2c=2018sin2S

所以M+。2=2018&2

注意到：tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

故［taiiA+tanGtanTb

tanA+tan^+tanC

(tanA+tanC)tan2B/11\

tanA-tanB-tanC-\tanA+tanC/

ginF!__b2(2ac_

sinA-sinCcosBacx^+c2-62/20ieb2-b22017

故答案为：惑

10.设468。的内角48,。所对的边分别为＜1,匕"，且4-C==a,瓦c成等差数列，则cosB=________.

2

【答案】;

【解析】

分析：根据三角形内角和定理及其关系，用/C表示NA与/B：根据a,b,c成等差，得到2b=a+c,利

用正弦定理实现边角转化。得到关于NC的等式：由cosB=cos仔-2C)=sin2c即可得到最后的值。

详解：A+B+C=n;A-C

所以A=孑+C,B=--2C

同取正弦值，得sinA=sin俘+C)=cosC

n

sinB=sin(y—2C)=cos2C

因为Q,b,c成等差，所以2b=a+c,由正弦定理，边化角

2cos2c=cosC+sinC,根据倍角公式展开

2(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cosC+sinC

所以cosC-sin。=2,等式两边同时平方得

2

2

(cosC-sinC)=4-，化4简2sinCcosC4=-，即sin2c=-

而cosB=cos(7-2C)=sin2C=:

点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌

握各个式子的相互转化，属于难题。

11.设4ABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且A-C=?.a,b,c成等差数列，则cosB=.

【答案】7

【解析】

分析：根据三角形内角和定理及其关系，用NC表示NA与NB；根据a,b,c成等差，得到2b=a+c,利

用正弦定理实现边角转化。得到关于NC的等式；由cosB=cos(J-2C)=sin2c即可得到最后的值。

详解：A+B+C=n-,A-C=-

2

所以A=与+C,B=--2C

同取正弦值，得sinA=sin俘+C)=cosC

n

sinB=sin(y—2C)=cos2C

因为Q,b,c成等差，所以2b=a+c,由正弦定理，边化角

2cos2c=cosC+sinC,根据倍角公式展开

2(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cosC+sinC

所以cosC-sin。=2,等式两边同时平方得

2

2

(cosC-sinC)=4-，化4简2sinCcosC4=-，即sin2c=-

而cosB=cos(7-2C)=sin2C=:

点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌

握各个式子的相互转化，属于难题。

12.设dABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且A-C=Za,瓦c成等差数列，则cosB=_______.

2

【答案】7

【解析】

分析：根据三角形内角和定理及其关系，用NC表示NA与NB；根据a,b,c成等差，得到2b=a+c,利

用正弦定理实现边角转化。得到关于NC的等式；由cosB=cos(J-2C)=sin2c即可得到最后的值。

详解：A+B+C=n-,A-C=-

2

所以A=与+C,B=--2C

同取正弦值，得sinA=sin(j+C)=cosC

n

sinB=sin(y—2C)=cos2C

因为Q,b,c成等差，所以2b=a+c,由正弦定理，边化角

2cos2c=cosC+sinC,根据倍角公式展开

2(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cosC+sinC

所以cosC-sin。=2,等式两边同时平方得

2

(cosC-sinC)2=-，化简2sinCcosC=-，即sin2c=-

444

而cosB=cos(7-2C)=sin2C=:

点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌

握各个式子的相互转化，属于难题。

13.函数y=2(5—x)sinm-1(0<%<10)的所有零点之和等于.

【答案】60

【解析】

函数y=2(5-x)sinux-1(0<x<10)的零点，即为方程2(5-x)sin7r.r-1=0在区间［0,10］上的解.等价

于函数y=Zsinm的图象与函数y=£的图象，在区间［0,10］上的交点的横坐标.因为函数y=2simrx的图象

与函数y=9-的图象，均关于点(5,0)对称，且在区间［0,10］上共有12个交点(6组对称点)，每组对称点的

横坐标之和为10,即这12个点横坐标之和为60.所以函数y=2(5-x)sin^-l(0<x<10)的所有零点之

和等于60.

14.设sinx+cosx=则sin?久+cos3x=.

【答案】£

【解析】

由sinx+cosx=二n1+2sinx-cosx=二=sinx•cosx=一±=sin3x+cos3x

=(sinx+cosx)(sin2x-sinx-cosx+cos2%)

15.函数/*(%)=|sin2x+sin3x+sin4x|的最小正周期二.

【答案】27r

【解析】

/(x)=|1+28sxi・Isin3xb其中口+2cosx|的最小正周期是|sin3川的最小正周期是]

故答案为：27r

16.函数f(x)=sinx+2|s»nx|,xW[0,2n]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是

【答案】l<k<3

【解析】

r(x)=[作出其图像，可只有两个交点时k的范围为I<k<3.

(—Sinxtx6[7T,ZJTJ.

故答案为：1<%<3

17.已知AABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c,且a、c、成等比数列，则

【答案】?

【解析】

因为A、B、C成等差数列，2B=A+C,3B=A+B+C=180B,因此B=60。.

又因为a、c、3b成等比数列，所以c=qa,b=回卫

V34

由正弦定理3=2a_qa

3in44sin6Ocgin(lMT)’

整理得sin4=亲,ycosA=j-太，(q-2)[3q3+5q2+4+(q-2)2]=0.

所以q=2,siiU=；,A=30。，C=90°.

故%i8c==ab="a2，所以以"山=生

zzz

故答案为：—

2

18.如图，在△ABO中，点C在AD上，zjiBC=-,Z.DBC=AB=CD=\,则AC=

26

【答案】X=钝

【解析】

^.LABD中，.“°=-^―=>sin。=,、'、(其中AD=x)①

sinl20-sinD2(xfl)

在△SCO中，=i^i=2=sinD②

sinDsin30*sinD2

由①②得一^==(x+l)Vx2-1==x4+2x3-2x-4=0

2(x+l)2''

=(x+2)(炉-2)=0,因为x+2>0,B|Jr=X[2.

故答案为：x=V2

19.若对任意的66[。，可，不等式4+2sin0cos0-asin8—acosd<0恒成立，则实数Q的最小值为

【答案】4

【解析】

设:r=sind+cos0=，2sin(8+》贝！)

2sin0cos0=x2-1.

当夕“0,4时，可得1WXM在.

不等式4+2sindcos0-asind-acosd<0,B|J%2-ax+3<0,所以

a>x+X-.

当1MxM2时，函数/(x)=x+：单调递减，可得

a>/(I)=1+3=4.

故实数a的最小值为4.

20.设G为2L4BC的重心，若BGl.CG,BC=网,则AB+AC的最大值为.

【答案】2V5

【解析】

设BC的中点为D,因为BG1CG,故4BCG是直角三角形，所以GD=；BC=合.

22

又因为G为4ABe的重心，所以AD=3GD=/.

由三角形的中线长公式可得月。2=^2AB2+2AC2-BC2),所以

AB2+AC2=2AD2+^BC2=2■律了+1(V2)2=10.

所以AB+AC<2『亭二=2蜴，当且仅当AB=AC时等号成立.

故A8+AC的最大值为2遍.

21.在AABC中，/A、/B、NC的对边长分别为a、b、c.命题p：zB+々C=2乙4,且b+c=2a；命题q：44BC

为正三角形.则命题P是命题q的0条件.

A.充分必要

B.充分但不必要

C.必要但不充分

D.既不充分又不必要

【答案】A

【解析】

若命题q成立，显然，命题p成立.

若命题p成立，则/A=60。.

由余弦定理知a?=b2+c2—be：

故4(抗+c2—be)=Q+c)?=(b—c)?=0=b=c.

从而，AABC为正三角形，即命题q成立.综上，命题p是命题q的充分必要条件.

22.设A、B、C为抛物线y=42上不同的点，R为^ABC外接圆的半径.求R的取值范围.

【答案】R>-

2

【解析】

对于任意的a>0,取月(a,a2),B(-a,a2).O(0,0)MAOAB外接圆的圆心在y轴上，设为C(O,b).

由于OA的垂直平分线为y—?=一：(x-；)

令x=0,得b=-+—

22

故4OAB的外接圆的半径可取遍区间G，+8)上的所有值.

设A、B、C为抛物线y=犬上不同的点R为AABC外接圆的半径,(a,b)为其圆心则

(x—a)*2*+(%2—&)2-R2=0.①

有三个不同的实根.因此，必有四个实根,设其为乙、%必、为

整理方程①得

r4+(1-26)x2-2"+a?+»-R2=o

=*1+万2+彳2+八=0

+■+x|+x^+2^XjXj=0

i句

又，x(Xj=l-2b<0=b>f

=x|+x|+%3+XJ

>4,冠+x-+x；+xj=4JIX/2&X/

=4y/\a2+b2-R2\

=>4b2-4fe+l>4(a2+b2-R2)

,,11

=>Rn2-a2+->b>

42

=>7?2>a24-i=>/?>-.

42

23.在非等腰AABC中，“、4、4c的对边分别为a、b、c,且满足

(2c-b)cosC=(2b-c)cosB.

(1)求乙4的大小;

(2)若a=4,求AABC面积的取值范围.

【答案】(1)60。；(2)5c(0,473)

【解析】

(1)注意到(2c-&)cosC=(2b-c)cosB

=(2sinC-sinB)cosC=(2sinB-sinC)cosB

=sin2C-sin2F=sin(B-C)

n2cos(C+B)-sin(C-B)=sin(B-C)

又因为AABC不是等腰三角形，所以，sin(B-C)*0.

则cos(C+B)=-；nNC+zB=120°

2

=乙4=60°.

⑵由正弦定理得-L=—=—=-?z

siaAsm^sine<2

88

=b=—sinB,c=—sinC

V3V3

11

=>S=-bsia4=—sinB•sinC

2

=—sinBsin(1200-B)

=psin(2B-3(T)+F

又ZBe(0,120°).故5e(0,4、序).

.R71

xsm——Fycos—°

24.设x、y均为非零实数，且满足-----——*=tan」.

7t.7120

xcos——ysin—

5-5

(I)求上的值;

X

(II)在AA8C中，若tanC=2,求sin2A+2cosB的最大值.

3

【答案】（1）1；（II）-.

2

7Ty

tan—I—Q

【解析】（I）先对己知条件左右两边同除以X,得至I」——^=tan—,再令2=tan。，即可得到

20

1I-Idll——%

x5

TT97rv

tan（6>+-）=tan—,从而得到。的表达式，进而可求出上的值；（II）由（I）可求出C的值，从而可得到

520x

（A+8）的值，用8表示A,代入到sin2A+28sB中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角

函数的有界性可求出最值.

试题分析：（I）由已知得％5