利用几何画板提高数学教学效益《几何画板》辅助高中数学教学案例

利用几何画板，提高数学教学效益——《几

何画板》辅助高中数学教学案例

20XX年第1期中学数学月刊?37?

利用几何画板，提高数学教学效益

《几何画板》辅助高中数学教学案例

王雄伟（福建省泉州第七中学362000）

《几何画板》作为一种新型的教学用具，在数

学教学中有着十分重要的作用.《几何画板》不仅

能帮助学生理解数学概念，解决数学问题,探索数

学知识，而且利用它可以改善认知环境，使数学对

象直观化,形象化.有利于教师化解教学难点，提

高教学效益，改进教学方法,深刻揭示数学思想方

法;有利于培养学生的空间想象能力，激发学生的

探索创新精神，充分体现了现代教学的思想.笔者

以一道习题为例，展示利用《几何画板》进行探

究，拓展的过程，以此提高数学教学效益.

厦门市20XX届高中毕

业班适应性考试数学（理

科）试卷第1O题:双曲线具

有光学性质:“从双曲线的

个焦点发出的光线经过

双曲线反射后，反射光线的

反向延长线都汇聚到双曲

线的另一个焦点由此可

I

图1

得如下结论:如图1,双曲线c:一告一l(n,b以0

>O)右支上的点P的切线z平分F.PF,其中

F,F是双曲线的左，右焦点.现过原点O作z的

平行线I交PF于M,则hiP一().

(A)口(B)6

(c)〜/口+b.(D)与点P的位置有关

很多学生在课内都做不出此题，大部分学生

是猜答案，或用特殊位置法得出结论.笔者要求学

生加以证明,但是很少有人能够较完整地证明此

题.如果用《几何画板》直接演示,将静态的题目

转化为让学生看得见，摸得着的动态图象，让学生

看清此题的变与不变，但该图象涉及到切线的画

法，若直接操作，又怕学生不明白为什么这样作图

就是切线,于是布置作业，让他们课后去研究和探

讨.通过课后讨论和思考，大部分学生主要提出以

下几个问题：

⑴双曲线具有光学性质:“从双曲线的一个

焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的

反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点”，为什

么?椭圆有类似性质吗?抛物线呢?能否用数学

知识加以证明？

(2)能用《几何画板》画出圆锥曲线的切线

吗?(平时我们常用《几何画板》研究一些轨迹问

题等)

(3)若都有这样的光学性质,此题能否变式

为椭圆或抛物线呢？

针对以上三种情况，我们通过讨论和查找相

关资料知道，椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发

出的光线经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭

圆的另一个焦点上;抛物线的光学性质:从抛物

线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光

线都平行于抛物线的轴.想要探究圆锥曲线的光

学性质，首先必须将这样一个光学实际问题转化

为数学问题,并进行论证.

首先定义圆锥曲线的切线与法线:设直线1

与曲线C交于P,Q两点,当直线Z连续变动时,P,

Q两点沿着曲线逐渐靠近，直到P,Q重合为一点

M,此时直线z称为曲线C在点M处的切线，过M

与直线£垂直的直线称为曲线C在点M处的法

线.

借助圆锥曲线的切线和法线，对问题进行以

下两种情况的转化并与学生一起证明：

(1)点P(x,y.)是椭圆+告一1上任一

点，则椭圆过该点的切线方程为一XoX+—1.

证明由b—1一事一6(1一/I①.n'口

当学士n时，过点P的切线斜率k一定存

在，且志一1一.对①式求导得2yy----z,

■0

1

所以愚===f;=,故切线方程为一.一

(z—z.)②.因为点P(x.,Y.)在椭圆

口Yo

+一1上，所以XZ十2—1

，代入②得+

1(3).

而当XL±a时,y「O,切线方程为X一土a,

?

38?中学数学月刊20XX年第1期

也满足③式，故+1是椭圆过点P(z.,

a—D—

Y.)的切线方程.

(2)椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭

圆在该点处的法线平分.

已知:如图2,椭圆C

2.2

的方程为+告一l,F,0

F分别是其左，右焦点,z

是过椭圆上一点P(.,

.y.)的切线Z为椭圆C在

点P处的法线，交轴于点

/f

/二二.

\

图2

D,设FPD—,FPD—J9,求证:a—.

证明由(1)知过点P的切线方程z为

+一1,£过点P且与切线Z垂直，则Z：。,),仃,

(Xo)「.y.(—1),所以法线z与轴交

于点D((詈).,0),故FD一C2.z.+c,FzD—c

C2

所以篇一.

又由焦半径公式，得PF—n+ex.,PF:一a

・,

所以一祭，所以PD是FPF的

平分线，故a—.

其他圆锥曲线的证明也都类似，都能成立.由

上面的严格证明,和在它的几何意义的指导下，就

可以轻松地用《几何画板》作出圆锥曲线的切线.

我们通过《几何画板》按如下步骤作出图形：

(1)先画出双曲线，并确定两个焦点F,F;

(2)在双曲线上任取一点P,作射线FP,

F2P;

(3)作出F:PD的角平分线PE;

(4)过P作PB上PE交轴于B,由双曲线

的光学性质可知PB即为过该点的双曲线切线；

(5)过0作OM//PB

交FP于M.如图3,度量出

MP的长度和OA的长度，

发现总相等，拖动P点的位

置，或改变双曲线的形状，

MP和OA的长度始终相

等.因此可判定答案是选项

A.

MP2.26厘米

OA=226厘米

\

FJ./AV,,,

图3

笔者再引导学生用平儿知识加以详细证明,

得出如下两种证法：

证法1因为PB=~BPFz,所以

F1B一

旦M_一②.

Y.NNBH//MOt.U,所PF一百，

2

〃'O

以一OB③.

由②③得一OB④.

由①

得景-----

里二旦旦一一F1CH-OB——BF2一

BF2PF2PF2

PF一PFPFPF,

⑤.由④⑤可得PM—n,故选A.

证法2过F作F.F

〃z，因为z平分FPF,

即1—2,所以1===

3,2—4,故3—

4,所以PF—PF.又因

为()M是AFEF的中位

F7,

图4

线，所以F]M===MF—MP+PF,故FM-PF_-

F]M—PF2=MP.又因为F】M+MP—PF2=2a,

所以2Mp—2a,故MP—a.

通过证明，我们得出正确结论，学生体会到从

猜想到最终正确的结果,需要不断研究，同时也明

白圆锥曲线切线的作法，体验了成功的快乐.通过

对双曲线的研究，我们联想到椭圆,抛物线是不是

也有类似的结论,于是我们对题目进行如下变式:

变式1椭圆具有光学性质:“从椭圆的一个

焦点发出的光线经过椭圆反射后,反射光线汇聚

到椭圆的另一个焦点由此可猜想如下结论：

如图5椭圆C:

以

.2

+—l(n,b>O)右支

MP

上点P处的的切线z平OB

分FPF的外角淇

中F,F是椭圆的左，

\,\

0

451

图5

右焦点.现过原点0作z的平行线z交PF于M,

则』P—a.

通过《几何画板》作出图形：

⑴先画出椭圆，并确定两个焦点F,Fz;

(2)在椭圆上任取一点P,作射线FP,F.P;

⑶作出FPF的角平分线PC交z轴于

C;

(4)过点P作z上PC,由椭圆的光学性质可

知z即为过该点的椭圆的切线；

(5)过0作OM〃z交FP于M.

如图5,度量出MP的长度和OB的长度，发

20XX年第1期中学数学月刊?39?

高考数学第二轮复习的构建与思考

仲伟方(江苏省赣榆县教育局教研室222100)

1明确高考数学第二轮复习的指导思想

和任务目标

1.1指导思想

⑴巩固.把巩固“四基”放在首位，形成扎实

的基础（基础知识;基本技能;基本方法;基本经

验），强化知识的立体记忆.

（2）完善.进一步完善知识体系，着意于数学

思想，方法的明朗化.进一步认识和挖掘知识之间

相互交融后所产生的”生成性知识”，并强化其教

学.实现更高层次的系统化.

⑶综合.适当增强知识的联接点，题目的综

合性和灵活性.对重点，常考题型进一步强化解法

定模，强化基本思维模式，尽可能地形成思维模

块，促进思维的集约化，从而完成能力的”立体

化”，以达到适应“考能力”的要求

（4）提高.重视搭建提高能力的平台.

是要解决好”是什么（知识结论问题），为什

么（知识联系问题）,怎么用（能力表现问题）”等三

个层次的问题.使学生的分析问题，解决问题能力

得到提高；

二是要研究训练的方式.确保有“练”的时间；

确保“练”的实情性,层次性，递进性,针对性，解决

讲就懂，一做就错”的问题.

(5)有效."二轮看水平”概括了第二轮复习的

思路，目标和要求.具体地说：

是教师对《考试说明》，《考题》研究,理解，

操作到位明确”考什么”,“怎么考”.

二是讲解，练习检测等内容科学性,针对性

强，使模糊的清晰起来，缺陷的填补起来,杂乱的

条理起来，孤立的联系起来,让学生形成系统化，

条理化的知识框架.

三是训练与高考对路，不拔高,不降低，重在

基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方

法.不能以高考卷最后两题的难度组织复习.

现总相等，并且拖动P点的位置，或改变椭圆的形

状,MP和OB的长度始终相等.因此可判定猜想

成立.

再用平几知识加以证

明:如图6,过F作F.F〃

Z交PC于E,交PF于F,

则FP—PF.因为oM是

△FFF的中位线，所以

F1M===MF.又PF1+PF2

图6

2a,即F1M+MF+PF+PF2—2a,所以2MF

+2FP一2a,故MF4-FP—n,即PM一口.

变式2抛物线具有光学性质:”从抛物线的

焦点发出的光线经过抛物线反射后，反射光线平

行于抛物线的对称轴由此可猜想:如图7,抛物

线Y=2px(户>O)上有点P的切线交z轴于A,

过0作OM〃PA交PF于M,则OF===FM.

通过几何画板作出图形：

⑴先画出抛物线Y.—2,并确定焦点F;

(2)连结PF,过P作PD〃轴；

(3)作出FPD的角平分线PC交z轴于C;

(4)过点P作PA上

PC交z轴于A,由抛物线

的光学性质可知PA既为

过点P的抛物线的切线；

(5)过。作0M〃

PA交PF于M.

如图7,度量出OF

P

II

0=1.44膜米

FM:1.44礴，米

图7

的长度和FM的长度，发现总相等，并且拖动P点

的位