高中数学概率知识点总结和典例

事件与概率

（一）基础知识梳理：1.事件的概念：

（1）事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做

事件。一般用大写字母A,B,C,,表示。

III川

川♦*川*

0.

在一定条件下，一定会发生的事件。）必然事件:

（2

在一定条件下，一定不会发生的事件（3）不可能

事件：

必然事件和不可能事件统称为确定事件。4)确定

事件：(在一定条件下，可能发生也可能不发生

的事件。)随机事件：(5

随机事件的概率：2.n次试验，观察某一事件

A是否出现，称n次试(1)频数与频率：在相同

的条件下重复nA出现的比例A为事件A出现

的频数，称事件验中事件A出现的次数n(A)fA

为事件nAFI出现的频率。

(2)概率：在相同的条件下，大量重复进行同一

试验时，事件A发生的频率会在某个常数附近摆

动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。我们

把这个常数叫做随机事件A的概率，记作。P(A)

，随机事件的概率为，不可能事件的概率为概率的

性质：必然事件的概率为3.0

10

,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极

端情形P(A)1

和事件B至少有一个发生。B的和记作A+B,

表示事件A4.事件的和的意义：事件A、

在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两

个事件叫做互斥事件。5.互斥事件：

不发生”构B不发生”以及“B发生而A当A、B

为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而互(A、B

A+B成的，因此当A和B互斥时，事件的概率满足

加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)斥).

一般地：如果事件A,A,,A中的任何两个都

是互斥的，那么就说事件,A彼，A,An21n21A)

P(A=此A,A,,A彼互斥，那么如此

互斥果事件Ann2112o)P(A)P(A)P(A

n2l6.对立事件：事件A和事件B必有一个发

生的互斥事件.A、B对立，即事件A、B

A、B中必然有一个发生这时

P(A+B)=P(A)+P(B)=1即不可能同时发生，

但

P(A+)=P(A)+P()=1AA

当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有

时计算它的对立事件的概率则要容A

易些，为此有P(A)=1-P()A

7.事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事

件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的

集合的交集是空集.事件A的对立事件所含结

果的集合正是全集U中由事件A

A所含结果组成集合的补集，即AU=U,An

=对立事件一定是互斥事件，但互斥事AA件不一

定是对立事件

（二）典型例题分析：

例1.将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正

面向上恰有5次是（）

A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无

法确定2个球，那么互斥而不对立的两个事件

是个红球和2个白球的口袋内任取2例.从装有

2（）B1个白球，都是白球A.至少有个红球1.至

少有1个白球，至少有

D2个白球1C.恰有个白球，恰有个白球，都是红

球.至少有1.甲、乙两名围棋选手在一次比赛

中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高例3%,

和5

1

棋的概率为59%,则乙胜的概率为

例4.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机

抽取1张，那么抽到红心（事件A）的概率为

,取到方片（事件B）的概率是

.取到红色牌（事件C）的概率是

.D）的概率是,取到黑色牌（事

件（三）基础训练：1.下列说法正确的是（）

A.任一事件的概率总在（0,1）内B.不可能

事件概率不一定为0

D1C.必然事件的概率一定是.以上均不对

80%,则下面解释正确的是（）2.某地气象局预

报说：明天本地降雨概率为

A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不

下雨B.明天本地下雨的机会是80%C.明天本地

有80%的时间下雨，20%的时间不下雨D.以上

说法均不正确

3.下面事件：①若a、beR,则a-b=b-a；

②某人买彩票中奖；

③6+3>10；

④抛一枚硬币出现正面向上.其中必然事件有（）

A.①B.②C.③④D.①②

4.盒中有9个小球，分别标有1,2,3,,,9,

从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是

.预计整箱中有，10个是坏的100个

灯泡进行测试，发现5.箱子中有2000个灯泡，

随机选择

个________

坏灯泡。

.对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如

下表所示：6

100050050100200300抽取台数

优等品数9504799219228546则估计该厂生

产的电冰箱优等品的概率为，事件4张纸牌随

机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1

张7.把红、黑、蓝、白

广甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是((B)(A)

对立事件不可能事件

互斥但不对立事件(D)以上答案都不对

(C)，其中8.从1,2,,,9中任取2个数

个个是奇数；②至少有1个是奇数和2个都是

奇数；③至少有11①恰有1个是偶数和恰

有.是奇数和2个都是偶数；个是偶数个是奇

数和至少有1④至少有1(),是对立事件的

是上述事件中

③(C)①(B)②④(A)①③(D)

则，个红球一个袋子中有9.5个大小相同的球,

其中有3个黑球与2,如果从中任取两个球()

恰好取到两个同色球的概率是

(D)(C)(B)(A)

10.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5

的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点

数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率

为()

(A)(B)(C)(D)

(四)巩固练习：1.把红、黑、蓝、白4张

纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分

得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红

牌”是()A.对立事件B.不可能事件C.互

斥但不对立事件D.以上答案都不对

2.下列四个命题中错误命题的个数是()

2

(1)对立事件一定是互斥事件(2)若A,B是互

斥事件，则P(A)+P(B)<1

(3)若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P

(B)+P(C)=1

(4)事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,

B是对立事件A.OB.1C.2D.33.抛掷一

枚质地均匀的骰子，事件A表示“所得点数是1、2”,

事件B表示“所得点数

±

大于4"，贝1」P(A+B)=.

4.某射手射击1次射中10环，9环，8环，7环

的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,贝屏

名射手射击1次，射中10环或9环的概率为

,至多射中6环的概率.

5.在10件产品中有8件1级品，2件2级品，从

中任取3件，记“3件都是1级品”为事件A,

则A的对立事件是

6.袋中有12个小球，分别为红球，黑球、黄球、

绿球，从中任取1球，得到红球的概率15是，则

得到绿球的概率是得到黑球或黄

球的概率是

123

第02讲古典概型（一）基础知识梳理：

1.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一

个结果，称为一个基本事件基本事件是试验中不

能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个

特点：

都可以表示成基本事））任何事件（除不可能事

件1）任何两个基本事件是互斥的；（2（件的

和。

个，而且所有结果都是等可能的，如果一次试验

中可能出现的结果有n2.等可能性事件：这种事

件叫等可能性事件

3.古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概

率模型称为古典概型。

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

4.古典概型的概率计算公式：对于古典概型，若

试验的所有基本事件数为n,随机事件Amo包

含的基本事件数为m,那么事件A的概率定义为

P（A）

n（二）典型例题分析：

例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是

从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。

如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确

的答案。假设考生不会做，他随机地选择一个答案,

问他答对的概率是.

瓶，取到已过保质期的饮料的概瓶已过了保质期。

从中任取26瓶饮料中，有2例2.在率是

.3.例将一枚质地均匀的硬币连掷三

次，观察落地后的情形

1）写出这个试验的所有的基本事件；（）“出

现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了

哪几个基本事件？（2

（3）求事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝

上”的概率。

每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字例4.）,

621,,3,4,5

（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；

次，求向上的数之和为26的概率；（II）连

续抛掷（三）基础训练：

1.下列试验中，是古典概型的是（）

.种下一粒种子观察它是否发芽A

B.从规格直径为（2500.6）mm的一批合格产

品中任意抽一根，测量其直径dC.抛一枚硬币，

观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶

3

2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中

的概率为（）211CA..B.D.1

2331

，他连续测试两次，则恰有1次获得通过的概

3.某学生通过计算初级水平测试的概率为2

率为.4.甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪

刀、布）。则平局的概率为,甲赢的概

率为。

5.一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5个小球，

随即的选取两个小球，根据下列条件求两个小球上

的数字之和为偶数的概率。（1）小球的选取是

无放回的；（2）小球的选取是有放回的。

6.现有一批产品共有6件，其中5件为正品,1

件为次品.

（1）如果从中取出1件，然后放回，再取1件,

求连续2次取出的都是正品的概率；（2）如果

从中一次取2件，求2件都是正品的概率.

7.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1

个，从中任取1个，有放回地抽取3次。求：

（1）3次全是红球的概率（2）3次颜色全相同的

概率（3）3次颜色不全相同的概率

（四）巩固练习：1.袋中有5个球，其中3个

红球，2个白球，现每次取一个，无放回地抽取两

次，则第二次取到红球的概率是O3313

D.B.C.A

54210

2.在一次数学测验中，某同学有两个单选题（即

四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，

则这两道单选题都答对的概率为（）

1111.B.DCA..

24816

3.甲，乙两人随意入住2间空房，则甲乙两人

各住1间房的概率是（）111A.B..CD.无

法确定

342

4.4本不同的语文书,3本不同的数学书,从

中任意取出2本，能取出数学书的概率是

5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为

点P的坐标，则点P（m,n）落在圆22Xy16内

的概率是.

6.高一（1）班数学兴趣小组有男生和女生各3

名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则恰有

一名参赛学生是男生的概率是;至少有

一名参赛学生是男生的概率是。

袋中有B2；3张写有；106B7.有A,两个口袋，

A袋中有张卡片，其中1张写有；2张写有

张卡片，求：1两个袋中各取…从张写有；张写

有；张写有张卡片，其中5201122.AB

4

(1)取出的2张卡片都写有。的概率；(2)取

出的2张卡片数字之和为2的概率。

第03讲随机数与几何概型

（一）基础知识梳理：

1.几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件

区域的长度（面积或体积）成正比，则称这样的概率模型为几

何概型。

2.几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试

验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果

的发生具有等可能性。

3.几何概型事件的概率计算公式：构成事件A的区域长

度（面积或体积）

P（A）实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

（二）典型例题分析：

例1.如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方

形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分

别为2cm,4cm,6cm,某人在在3m外向此板投

镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可

重投，问：）投中小圆内的概率是多少？1（

）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少？2

（（3）投中大圆之外的概率是多少？

例2.在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方

格的大桌面上投

硬币，若硬币刚巧落在任何一个方格的范围内不与

方格线重叠），便可获奖。如果硬币的直径为2cm,

而方格的边长为5cm,随机投掷一个硬币，获奖

的概率有多大？

（三）基础训练：

1.在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机

取出2mL水样放到显微镜下观察，则发

现草履虫的概率是（）A.0.5B.0.4C.0.004D.不

能确定

2.有一半径为4的圆，现将一枚直径为2的硬

币投向其中（硬币与圆面有公共点就算是

有效试验，硬币完全落在圆外的不计），则硬币完全

落入圆内的概率为（）

4949D.B..C.A

9162525

3.一轮船停靠在某港口，只有在该港口涨潮时

才能出港，已知该港口每天涨潮的时间

是早晨5:00到7:00和下午5:00到7:00,则

该船在一昼夜内可以出港的概率

为.

4.一海豚在水池中自由游弋，水池是半径为

20m的圆，海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率是

5.取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图所

示，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内

概率是O

6.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,

假定它们在一昼夜的时间段中随

机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时

必须等待的概率。

(三)巩固练习：

1.如下图，设M是半径为R的圆周上一定点，

在圆周上等可能地任

取一点N,连接MN,则弦MN的长超过2R的

概率为()1111B.DC..A.

5432

2.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想

听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率

是o3.在长为12cm的线段AB

上任取一点M,并以线段AM为边作正方形，试

求正方形面积介22于到81之间的概率是

________________________o36cmcm

4.如图所示，取一根长度为3m的绳子，拉直后在

任意位置剪断，那么剪得的两段绳子

的长度都不小于1m的概率是.

3cm1的面积之比大于ABCP在^ABC内任取

一点，求^ABP与△§.时的概率为

2

6.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A,

B除外)，将线段AB分成三条线段，

(1)若分成三条线段的长度均为正整数，求这三条线

段可以构成三角形的概率；

(2)若分成三条线段的长度均为正实数，求这三条线

段可以构成三角形的概率；

概率练习卷

1,2,3,4,5,6.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个

面分别标有数字1),设甲、乙所抛

yxxyi,则满足复数、的实部大于虚部的概率是()掷骰

子朝上的面的点数分别为1157DA.B.c..

612123

从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个

数是另一个的两倍的概率为2.S

PBCABP△SaABC的面积不小上任取一点的，则的边

在面积为的概率是()于3.

31321

.D.CA.B.

33446

f

£

0x2,D,在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的

距，表示平面区域为设不等式组4.

0y2

离大于2的概率是()4)(D2)A)(B)C((

4642

从{1,2,3,4,5}a,从{1,2,3}b,则b>a的概率是()中随机选

取一个数为中随机选取一个数为5.24(A)C)(31(D)(B)

5555

1袋中共有6个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取

两个除了颜色外完全相同的球，其中有6.

球，两球颜色为一白一黑的概率等于)(4231)(D(A)

(B))(C

5555

(六个面上分别标以1,2,3,4,5,6).连续抛掷2次,

则2次向上的数之和每次抛掷一枚骰子7.的概率为10

不小于

8.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则

以这三条线段为边可以构成三角形的概

率是O

a,再由乙猜甲刚才所想的数字，记为，甲、乙两人玩猜数字

游戏把乙猜的，先由甲心中想一个数字9.

ab1a,b1,2,3,4,5,6b，就称甲乙“心有灵犀”其中

数字记为，，若.现任意找两人玩这

个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

().4271.A.C.DB.

99189

2的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则

该两点间的距离为10.从边长为1

2

的概率是O

11.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，5杯,

其颜色完全公司准备了两种不同的饮料共

3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一

品尝后，从5杯饮料相同，并且其中的

中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；

若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合

两种饮料没有鉴别能力A和B格。假设此人对

(1)求此人被评为优秀的概率

(2)求此人被评为良好及以上的概率

12.11.在区间［-1,2］上随即取一个数X,则x£［0,1］的概率

为。

13.ABCD为长方形，AB=2,BC=1,。为AB的中点，

在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O

1的概率为()的距离大于

11)((B)D)(C)(A

4488

7

14.如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄

豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可

以估计出椭圆的面积约为

（）.

7.6816.3217.32CB..A8.68.D.

15.下图的矩形，长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300

颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以

估计出阴影部分的面积为.

22C:x12,y25.l:4x3y直线16已知圆