2025届山东省新泰市新甫中学九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2025届山东省新泰市新甫中学九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cosB的值为（）A． B． C． D．2．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（）A．个 B．个 C．个 D．个3．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为()A．10 B．9 C．8 D．74．不等式组的解集是（）A． B． C． D．5．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=；④y=x1．x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（）A．1个 B．1个 C．3个 D．4个6．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S1＝S2＝S37．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是()A． B． C． D．8．如图在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．如图，在▱ABCD中，F为BC的中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接FF交DC于点G，则DG：CG＝（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．2：511．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．1012．中，，，，的值为（）A． B． C． D．2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为_____km.14．如图，，请补充—个条件：___________，使（只写一个答案即可）．15．若抛物线y＝2x2+6x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是_____．16．如图，正方形的边长为，在边上分别取点，，在边上分别取点，使．．．．．依次规律继续下去，则正方形的面积为__________．17．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是18．在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD'P，PD'的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．现有以下结论：①连接DD'，则AP垂直平分DD'；②四边形PMBN是菱形；③AD2＝DP•PC；④若AD＝2DP，则；其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）三、解答题（共78分）19．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于A，B两点，点A和点B的横坐标分别为1和﹣2，这两点的纵坐标之和为1．（1）求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；（2）当点C的坐标为（0，﹣1）时，求△ABC的面积．20．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为B（3，4）、A（﹣3，2）、C（1，0），正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格上画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，点C2的坐标是；（画出图形）（3）若M（a，b）为线段AC上任一点，写出点M的对应点M2的坐标．21．（8分）已知关于x的方程x2-(k-1)x+2k=0，若方程的一个根是–4，求另一个根及k22．（10分）如图，直线y＝x﹣2（k≠0）与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限内交于点B(3，b)，在第三象限内交于点C．（1）求双曲线的解析式；（2）直接写出不等式x﹣2＞的解集；（3）若OD∥AB，在第一象限交双曲线于点D，连接AD，求S△AOD．23．（10分）化简求值：，其中．24．（10分）如图，在中，点，分别在，上，，，.求四边形的面积.25．（12分）如图，中，，，为内部一点，且.(1)求证：；(2)求证：.26．如图1.正方形的边长为，点在上，且.如图2.将线段绕点逆时针旋转，设旋转角为，并以为边作正方形，连接试问随着线段的旋转，与有怎样的数量关系？说明理由；如图3，在的条件下，若点恰好落在线段上，求点走过的路径长(保留).

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算即可．【详解】由勾股定理得，，则，故选：B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2、B【分析】根据正方形的性质可得，然后利用SAS即可证出，根据全等三角形的性质可得：，根据直角三角形的性质和三角形的内角和，即可判断①；根据中线的定义即可判断②；设正方形的边长为，根据相似三角形的判定证出，列出比例式，即可判断③；过点作于，易证△AMN∽△AFB，列出比例式，利用勾股定理求出ME、MF和MB即可判断④．【详解】解：在正方形中，，，、分别为边，的中点，，在和中，，，，，，故①正确;是的中线，，，故②错误;设正方形的边长为，则，在中，，，，，，即，解得：，，，故③正确；如图，过点作于，∴∴△AMN∽△AFB∴，即，解得，，根据勾股定理，，，，故④正确.综上所述，正确的结论有①③④共3个故选：B．【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．3、D【解析】分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．4、D【分析】根据不等式的性质解不等式组即可.【详解】解：化简可得：因此可得故选D.【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.5、C【解析】解:当x<0时，①y=−x，③，④y随x的增大而减小；②y=x，y随x的增大而增大.故选C.6、D【分析】由于P1、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为．【详解】根据反比例函数的k的几何意义，△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O的面积相同，均为，所以S1=S2=S3，故选D．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．7、D【解析】试题分析：列表如下

黑

白1

白2

黑

（黑，黑）

（白1，黑）

（白2，黑）

白1

（黑，白1）

（白1，白1）

（白2，白1）

白2

（黑，白2）

（白1，白2）

（白2，白2）

由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是．故答案选D．考点：用列表法求概率．8、C【分析】由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．【详解】解：A、∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9、B【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系10、B【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证△DEG∽△CFG，可得＝．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵F为BC的中点，∴CF＝BF＝BC＝AD，∵DE：AD＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝．故选：B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质.11、D【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6∴AB==10，故选D．考点：解直角三角形；12、C【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可．【详解】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，∴＝=，故选：C．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数是定义．二、填空题（每题4分，共24分）13、1＋1【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝1（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝1（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝1km，∴OB＝OD＋BD＝1＋1（km），故答案为：1＋1．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．14、∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE（填一个即可）．【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．【详解】∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．故答案为：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE(填一个即可)．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．15、【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】∵抛物线y=2x2+6x+m与x轴有两个交点，∴△=62﹣4×2m=36﹣8m＞0，∴m．故答案为：m．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键．16、【分析】利用勾股定理可得A1B12=a2，即正方形A1B1C1D1的面积，同理可求出正方形A2B2C2D2的面积，得出规律即可得答案．【详解】∵正方形ABCD的边长为a，，∴A1B12=A1B2+BB12==a2，A1B1=a，∴正方形A1B1C1D1的面积为a2，∵，∴A2B22==()2a2，∴正方形A2B2C2D2的面积为()2a2，……∴正方形的面积为()na2，故答案为：()na2【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键．17、y2=．【分析】根据，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．【详解】解：∵，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，S△AOB=1，∴△CBO面积为3，∴xy=6，∴y2的解析式是：y2=．故答案为：y2=．18、①②③【分析】根据折叠的性质得出AP垂直平分DD'，判断出①正确．过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2＝AG•GB，即AD2＝DP•PC判断出③正确；DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB，从而可知PM＝MB＝AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；判断出②正确；由于，可设DP＝1，AD＝2，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，从而求出GB＝PC＝4，AB＝AG+GB＝5，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF＝AF﹣AE＝AC﹣＝AC，从而可得，判断出④错误．【详解】解：∵将△ADP沿AP翻折得到△AD'P，∴AP垂直平分DD'，故①正确；解法一：过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴，∴PG2＝AG•GB，即AD2＝DP•PC；解法二：易证：△ADP∽△PCB，∴，由于AD＝CB，∴AD2＝DP•PC；故③正确；∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴PM＝MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；故②正确；由于，可设DP＝1，AD＝2，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，∵PG2＝AG•GB，∴4＝1•GB，∴GB＝PC＝4，AB＝AG+GB＝5，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴，∴又易证：△PCE∽△MAE，AM＝AB＝∴，∴，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣＝AC∴，故④错误，即：正确的有①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题是一道关于矩形折叠的综合题目，考查的知识点有折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，菱形的判定等，此题充分考查了学生对所学知识点的掌握情况以及综合利用能力，是一道很好的题目.三、解答题（共78分）19、（1），y=x+1；（2）2．【解析】试题分析：（1）根据两点纵坐标的和，可得b的值，根据自变量与函数的值得对关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．试题解析：解：（1）由题意，得：1+b+（﹣2）+b=1，解得b=1，一次函数的解析式为y=x+1，当x=1时，y=x+1=2，即A（1，2），将A点坐标代入，得=2，即k=2，反比例函数的解析式为；（2）当x=﹣2时，y=﹣1，即B（﹣2，﹣1）．BC=2，S△ABC=BC•（yA﹣yC）=×2×[2﹣（﹣1）]=2．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用纵坐标的和得出b的值是解（1）题关键；利用三角形的面积公式是解（2）的关键．20、（1）作图见解析，（1，-4）；（2）作图见解析，(2，2)；（3）(，)【分析】（1）将点A、B、C分别向下平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）根据（2）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C2的坐标．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，-4），故答案为：（1，-4）；（2）如图所示，△A2BC2即为所求，点C2的坐标是（2，2），故答案为：（2，2）；（3）若M（a，b）为线段AC上任一点，则点M的对应点M2的坐标为：（，）．故答案为：（，）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出图形变化后边长是解题关键．21、1，-2【解析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.【详解】解：【点睛】考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.22、（1）y＝；（2）﹣1＜x＜0或x＞3；（3）【分析】（1）把点B（3，b）代入y＝x﹣2，得到B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式；（2）解析式联立求得C的坐标，然后根据图象即可求得；（3）求得直线OD的解析式，然后解析式联立求得D的坐标，根据三角形面积公式求得即可．【详解】（1）∵点B（3，b）在直线y＝x﹣2（k≠0）上，∴b＝3﹣2＝1，∴B（3，1），∵双曲线y＝经过点B，∴k＝3×1＝3，∴双曲线的解析式为y＝；（2）解得或，∴C（﹣1，﹣3），由图象可知，不等式x﹣2＞的解集是﹣1＜x＜0或