人教版初升高数学初升高数学衔接讲义第12讲函数的奇偶性(学生版+解析)

第12讲函数的奇偶性奇函数、偶函数的定义奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.奇函数、偶函数的性质奇函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于原点对称；③若定义域内包含0，则；④.偶函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于轴对称；③.用定义证明函数奇偶性的步骤：①求定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步;②化简的解析式.③求，判断与的关系.若，则为奇函数；若，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数.判断函数奇偶的方法定义法；图像法；性质法:①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为0)为奇函数.(性质法里面需要注意定义域)函数的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数下列说法正确的是()A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数的定义域为，且，则是奇函数设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是()A.是偶函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数已知函数是奇函数，则________．函数，若对任意实数都有，求证：为奇函数．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________．已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．若函数是偶函数，且定义域为，则__________，__________．已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为__________．定义在上且满足，且时，，则不等式的解集为__________．设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求实数的取值范围．函数是定义在区间上的奇函数，且．确定函数的解析式；用定义证明：在区间上是增函数；解不等式：．

跟踪训练已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于()A．3 B．2 C． D．下面五个命题中，正确命题的个数是()①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数图像一定过原点；③偶函数图像一定关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是；⑤偶函数与轴若有交点，则交点横坐标之和为0.A.2 B.3 C.4 D.5对于定义在上的任意奇函数，都有()A.B.C.D.若函数为偶函数，则() B． C． D．函数的图像关于()A.轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为()A.B.C.D.已知函数，则下列结论正确的是()A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是()A.增函数且最小值是B.增函数且最大值是C.减函数且最大值是D.减函数且最小值是若函数是偶函数，则的递减区间是.若函数在上是奇函数,则的解析式为________.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．若函数是奇函数，则实数的值为______．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解集是．已知，则．已知函数的定义域是，且满足，,如果对于，都有.求；解不等式.判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).已知奇函数是定义在上的减函数，求不等式的解集.已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集．若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式．第12讲函数的奇偶性奇函数、偶函数的定义奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.奇函数、偶函数的性质奇函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于原点对称；③若定义域内包含0，则；④.偶函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于轴对称；③.用定义证明函数奇偶性的步骤：①求定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步;②化简的解析式.③求，判断与的关系.若，则为奇函数；若，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数.判断函数奇偶的方法定义法；图像法；性质法:①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为0)为奇函数.(性质法里面需要注意定义域)函数的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，选C.下列说法正确的是()A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数的定义域为，且，则是奇函数【答案】B设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】是奇函数，可作出如下在的图象，由图象可知的解集为.判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)非奇非偶函数；(2)既奇又偶函数；(3)偶函数；(4)奇函数.【解析】(1)的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数；(2)中有，解得，且，为既奇又偶函数；(3)定义域为，且，为偶函数；(4)函数定义域为，且，当时，，此时；当时，，此时，综上可知，为奇函数.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是()A.是偶函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数【答案】D已知函数是奇函数，则________．【答案】2【解析】当时，，是奇函数，，解得.函数，若对任意实数都有，求证：为奇函数．【证明】令得，则，令，依题意得，即，又定义域为，为奇函数．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________．【答案】【解析】当时，，是定义在上的偶函数，.已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．【答案】【解析】分别是上的奇函数和偶函数，，又，则，即，联立解得.若函数是偶函数，且定义域为，则__________，__________．【答案】【解析】依题意得且恒成立，解得且恒成立，则.已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为__________．【答案】【解析】奇函数在上是增函数，在上是增函数，又，，由得或，解得或，的解集为.定义在上且满足，且时，，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】依题意，令得，，任取且，则，，在上单调递增，不等式转化为且，，解得，故解集为.设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】是定义在区间上的偶函数，可化为，又时，单调递减，，解得，故的取值范围为.函数是定义在区间上的奇函数，且．确定函数的解析式；用定义证明：在区间上是增函数；解不等式：．【答案】(1)；(2)见解析；(3).【解析】(1)依题意得，解得，；(2)任取且，则，且，，，即，在区间上是增函数(3)可化为，则，解得.

跟踪训练已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于()A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】依题意，选D.下面五个命题中，正确命题的个数是()①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数图像一定过原点；③偶函数图像一定关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是；⑤偶函数与轴若有交点，则交点横坐标之和为0.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】①错误，③正确：偶函数的图像关于轴对称，但不一定与轴相交；②错误：奇函数图像关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点；④错误：若既是奇函数，又是偶函数，则且，则，但不一定，只要定义域关于原点对称即可；⑤正确.故正确命题个数是2，选A.对于定义在上的任意奇函数，都有()A.B.C.D.【答案】D【解析】对于定义在上的任意奇函数，都有，则，故选D.若函数为偶函数，则() B． C． D．【答案】C【解析】依题意得，即，，解得，选C.函数的图像关于()A.轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称【答案】C【解析】定义域为，且，是奇函数，图象关于原点对称，选C.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为()A.B.C.D.【答案】B【解析】是定义在上的奇函数，且当时，，则时，，此时，，故选B.已知函数，则下列结论正确的是()A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】定义域为，且，是奇函数，当时，，在上递减，在递增；当时，，在上递减，在递增，综上，递减区间是，选C.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是()A.增函数且最小值是B.增函数且最大值是C.减函数且最大值是D.减函数且最小值是【答案】A【解析】奇函数在区间上是增函数且最大值为，则在上也是增函数，，在区间上由最小值，选A.若函数是偶函数，则的递减区间是.【答案】【解析】依题意，解得，，的递减区间是.若函数在上是奇函数,则的解析式为________.【答案】【解析】在上是奇函数，，解得，.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．【答案】【解析】偶函数在上是增函数，，即.若函数是奇函数，则实数的值为______．【答案】1【解析】函数是奇函数，时，，则，.设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解集是．【答案】【解析】奇函数图象关于原点对称，作出在的图象如下：由得，由图可知，的解集为.已知，则．【答案】【解析】由已知得，则.已知函数的定义域是，且满足，,如果对于，都有.求；解不等式.【答案】(1)0；(2).【解析】(1)令，得，；(2)依题意，，，由对于，都有，可知在单调递减，由得，，解得，故解集为.判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)奇函数；(2)非奇非偶函数；(3)奇函数；