高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练35　综合法、分析法、反证法

课时规范练35综合法、分析法、反证法1.已知a>5,求证:a-证明:要证a-只需证a-只需证(a-5+a)2<(只需证2a-5+2a2-5a<2a-5只需证a2只需证a2-5a<a2-5a+6,只需证0<6,显然成立,所以a-52.用合适的方法证明:(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.证明:(1)综合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)反证法:假设a不是偶数,即a是奇数,不妨设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶数.3.已知α∈(0,π),试用分析法和综合法分别推证下列命题:2sin2α≤sinα证明:(方法1分析法)要证2sin2α≤sinα1-cosα成立,只需证4sinαcos∵α∈(0,π),∴sinα>0,∴只需证4cosα≤11∵1-cosα>0,∴只需证4cosα(1-cosα)≤1,即4cos2α-4cosα+1≥0,只需证(2cosα-1)2≥0,显然成立.命题得证.(方法2综合法)sinα1-cosα-2sin2α=sinα11-cosα∵α∈(0,π),∴-1<cosα<1,0<sinα<1,∴(1-2cosα)2sinα1-cos∴2sin2α≤sinα4.(2021上海松江实验高级中学月考)(1)证明:|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,并求等号成立时x的取值范围.(2)求证:6是无理数.证明:(1)对于不等式|x-3|-|x-5|≥-2,当x≤3时,左边=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.当3<x<5时,左边=x-3+(x-5)=2x-8>-2,不等式成立.当x≥5时,左边=x-3-(x-5)=2>-2.所以|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,等号成立时x∈(-∞,3].(2)假设6是有理数,则6=mn,其中m,则m=6n,两边平方得m2=6n,所以m为偶数,设m=2k,k∈Z,则4k2=6n,2k2=3n,所以n为偶数,与“m,n是互质的整数”矛盾,所以假设不成立.所以6是无理数.5.(2021青海海东模拟)(1)用分析法证明:若x>1,则3x2+1x2>3x+1x>(2)用反证法证明:若a<e2,则函数f(x)=ax2-4ex(x>0)无零点.证明:(1)因为x>1,所以要证3x2+1x2>3x+只需证3x4+1>3x3+x,即证3x3(x-1)>x-1,所以只需证3x3>1.因为x>1,所以3x3>3>1,故3x2+1x2>3x+1令t=x>1,则3x+1x>3x+1x等价于3t2+1t又因为已证明3x2+1x2>3x+1x,所以3t2+1t2故3x2+1x2>3x+1x>(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x>0)有零点,则方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=4exx2在(0,+设g(x)=4exx2(x>0),g'(x)=当0<x<2时,g'(x)<0;当x>2时,g'(x)>0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因为a<e2,所以a=4exx2在(0,+显然矛盾,故假设不成立,即原命题得证.6.(2021安徽黄山模拟)列三角形数表假设第n行的第二个数为an(n≥2,n∈N+).(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;(2)求证:数列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的连续三项不可能构成等差数列.(1)解:由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N+),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=(n-2)(n-1+2)2又a2=2也满足上式,∴an=n2-n+22(n≥2,n(2)证明:(反证法)假设{an}中存在连续三项构成等差数列,可设