高考数学第一轮复习第三章　一元函数的导数及其应用讲义及试题

【标题】第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及运算1.了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数.1.平均变化率函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率可表示为f(x2)-f(x1)x2-x1，若Δx＝x2－x1，Δ提醒Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.2.导数的概念及其几何意义（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函数y＝（2）导数的几何意义：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）；（3）函数f（x）的导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为f（x）的导函数（简称导数），f'（x）＝limΔ提醒f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0.3.导数的运算（1）基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f（x）＝c（c为常数）f'（x）＝0f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝αxα－1f（x）＝sinxf'（x）＝cosxf（x）＝cosxf'（x）＝－sinxf（x）＝exf'（x）＝exf（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝axlnaf（x）＝lnxf'（x）＝1f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝1（2）导数的运算法则①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：（ⅰ）[f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）；（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）；（ⅲ）f(x)g(x)'＝f②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率. （）（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）. （）（3）函数y＝sinπ4的导数为y'＝cosπ4. （（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. （）答案：（1）×（2）×（3）×（4）√2.函数y＝xcosx－sinx的导数为 （）A.xsinxB.－xsinxC.xcosx D.－xcosx解析：By'＝x'cosx＋x（cosx）'－（sinx）'＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.3.已知函数f（x）的图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是 （）A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）B.0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）解析：C由导数的几何意义知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C.4.已知函数f（x）＝x（19＋lnx），若f'（x0）＝20，则x0＝.

解析：f'（x）＝19＋lnx＋x·1x＝20＋lnx，由f'（x0）＝20，得20＋lnx0＝20，则lnx0＝0，解得x0＝1答案：15.曲线y＝x3＋1在点（－1，a）处的切线方程为.

解析：因为（－1，a）在曲线y＝x3＋1上，所以a＝0.令f（x）＝x3＋1，则f'（x）＝3x2，f'（－1）＝3，即切线的斜率k＝3，所以切线的方程为y＝3（x＋1），即y＝3x＋3.答案：y＝3x＋31.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数.2.熟记以下结论：（1）1x'＝－1（2）1f(x)'＝－f'(x)（3）[af（x）±bg（x）]'＝af'（x）±bg'（x）.1.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝1002t+1，当t＝3时，水面下降的速度为 A.－20049cm/sB.200C.－10049cm/s D.100解析：B由结论2知，h'（t）＝-100(2t+1)'(2t+1)2＝-200(2t+1)2，所以h'（32.观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cosx）'＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝.

解析：由结论1，偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x）是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g（－x）＝－g（x）.答案：－g（x）导数的基本概念1.某旅游者爬山的高度h（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2h这一时刻的高度变化的速度是 （）A.500m/h B.1000m/hC.400m/h D.1200m/h解析：Ch'（t）＝－200t＋800，∴h'（2）＝－200×2＋800＝400（m/h）.2.函数f（x）＝2x2－3x，则limΔx→0A.－1 B.1C.2 D.－3解析：B由题意有f'（x）＝4x－3，由导数定义知f'（1）＝limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设f(4)-f(2)A.a＜f'（2）＜f'（4） B.f'（2）＜a＜f'（4）C.f'（4）＜f'（2）＜a D.f'（2）＜f'（4）＜a解析：B从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为f(4)-f(2)4-2＝a，所以f'（2｜练后悟通｜求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤（1）求平均变化率ΔyΔx（2）求瞬时变化率，即取极限limΔx→0Δy提醒函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.导数的运算1.下列求导运算正确的是 （）A.1lnx'＝x B.（x2ex）'＝2x＋C.（xcosx）'＝－sinx D.x-1x'＝解析：D对于A，1lnx'＝－1ln2x·（lnx）'＝－1xln2x；对于B，（x2ex）'＝（x2＋2x）ex；对于C，（xcosx）'＝cosx－xsinx2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝x2＋3xf'（2）＋lnx，则f（1）＝.

解析：∵f（x）＝x2＋3xf'（2）＋lnx，∴f'（x）＝2x＋3f'（2）＋1x.令x＝2，得f'（2）＝4＋3f'（2）＋12，则f'（2）＝－94.∴f（1）＝1＋3×1×-94答案：－233.求下列函数的导数：（1）y＝x（lnx＋cosx）；（2）y＝sinx（3）y＝xlnx；（4）y＝xsin2x+π解：（1）y'＝lnx＋cosx＋x1x-sinx＝lnx＋cosx－xsin（2）y'＝(cosx+1（3）y'＝12·1xlnx＋x·1x（4）∵y＝xsin2x+π2cos2x+π2＝12xsin（4x＋∴y'＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos｜练后悟通｜函数求导应遵循的原则（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混；（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.提醒当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.导数的几何意义及应用考向1求切线方程【例1】（1）（2021·全国甲卷）曲线y＝2x-1x+2在点（－1（2）（2022·新高考Ⅱ卷）曲线y＝ln｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为，.

解析（1）y'＝2x-1x+2'＝2(x+2)-(2x-1)(x+2)2＝5(x+2)2，∴y'︱x＝－1（2）先求当x＞0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0＝y0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为y＝1ex.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－1ex答案（1）y＝5x＋2（2）y＝1exy＝－1｜解题技法｜求曲线切线方程的步骤（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.提醒“过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点.考向2求切点坐标【例2】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是.

解析设A（m，n），则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝1m（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝1m（m＋e）.再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，答案（e，1）｜解题技法｜求切点坐标的思路已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.考向3求参数的值（范围）【例3】（1）曲线y＝2x在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，则实数a＝（2）（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

解析（1）由题意得，y'＝－2x2，则曲线y＝2x在点（2，1）处的切线的斜率k＝y'︱x＝2＝－222＝－12，又曲线y＝2x在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，所以－12a（2）因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）ex0），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'|x=x0＝（x0＋a＋1）ex0＝(x0+a)ex0x0，化简，得x02＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得答案（1）2（2）（－∞，－4）∪（0，＋∞）｜解题技法｜利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.提醒（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.考向4两曲线的公切线问题【例4】已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2＋ax（a∈R），若经过点A（0，－1）存在一条直线l与f（x）的图象和g（x）的图象都相切，则a＝ （）A.0 B.－1C.3 D.－1或3解析设直线l与f（x）的图象相切于点（x1，y1）.因为f（x）＝xlnx，所以f'（x）＝lnx＋1，y1＝f（x1）＝x1lnx1，则直线l的方程为y－y1＝（lnx1＋1）（x－x1），又点A（0，－1）在直线l上，所以－1－x1lnx1＝（lnx1＋1）·（0－x1），解得x1＝1，所以y1＝0，因此直线l的方程为y＝x－1.直线l与g（x）的图象相切，所以x2＋ax－x＋1＝0，Δ＝（a－1）2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.故选D.答案D｜解题技法｜破解两曲线公切线问题的基本方法（1）利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解；（2）分别设出公切线与两曲线的切点P1（x1，f（x1），P2（x2，g（x2）），则有f'（x1）＝g'（x2）＝g(x21.曲线y＝f（x）在点P（－1，f（－1））处的切线l如图所示，则f'（－1）＋f（－1）＝ （）A.2 B.1C.－2 D.－1解析：C因为切线l过点（－2，0）和（0，－2），所以f'（－1）＝0+2-2-0＝－1，所以切线l的方程为y＝－x－2，令x＝－1，则y＝－1，即f（－1）＝－1，所以f'（－1）＋f（－1）＝－1－1＝－22.若曲线y＝lnx＋x2＋1在点（1，2）处的切线与直线ax＋y－1＝0平行，则实数a的值为 （）A.－4B.－3C.4 D.3解析：B令f（x）＝lnx＋x2＋1，则f'（x）＝1x＋2x，f'（1）＝3.因为曲线在点（1，2）处的切线与直线ax＋y－1＝0平行，所以f'（1）＝－a＝3，所以a＝－3，故选B3.已知函数f（x）是奇函数且其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x－1，设函数g（x）＝f（x）－x2，则g（x）的图象在点（－1，g（－1））处的切线方程为（）A.y＝4x＋2B.y＝－4x－6C.y＝0 D.y＝－2解析：A由题意可得f（1）＝1，f'（1）＝2.由g（x）＝f（x）－x2得，g（－1）＝f（－1）－1＝－f（1）－1＝－2，g'（x）＝f'（x）－2x.因为y＝f（x）为奇函数，所以f（x）＝－f（－x），两边同时求导得f'（x）＝[－f（－x）]'＝－f'（－x）（－x）'＝f'（－x），则f'（－1）＝f'（1）＝2，所以g'（－1）＝f'（－1）－2×（－1）＝4，所以g（x）的图象在点（－1，g（－1））处的切线方程为y－（－2）＝4（x＋1），即y＝4x＋2，故选A.1.已知函数f（x）＝xsinx＋ax，且f'π2＝1，则a＝ （A.0B.1C.2 D.4解析：A因为f'（x）＝sinx＋xcosx＋a，且f'π2＝1，所以sinπ2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝02.（2023·山西测评）已知函数f（x）可导，则limΔx→0fA.f'（x） B.f'（2）C.f（x） D.f（2）解析：B因为函数f（x）可导，所以f'（x）＝limΔx→0f(x+Δ3.已知函数f（x）＝aex＋x的图象在点（0，a）处的切线过点（2，5），则a＝ （）A.－1 B.－2C.1 D.2解析：C依题意，f'（x）＝aex＋1，f'（0）＝a＋1，因为函数f（x）＝aex＋x的图象在点（0，a）处的切线过点（2，5），所以a＋1＝5-a2-0，解得a＝4.下列求导运算正确的是 （）A.x+3x'＝B.2sinxx2C.[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2D.（2x＋cosx）'＝2xln2－sinx解析：D对于A，x+3x'＝1－3x2，A不正确；对于B，2sinxx2'＝2cosx·x2-2x·2sinx(x2)2＝2xcosx-4sinxx3，B不正确；对于C，[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2·3＝9（3x＋55.已知函数f（x）＝x2+2x,x≤0,-x2+ax,A.6 B.－2C.－6 D.－8解析：Bf（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）.取x＞0，得x2－2x＝－（－x2＋ax），则a＝2.当x＞0时，f'（x）＝－2x＋2.∴f'（2）＝－2.6.已知P是曲线y＝－sinx（x∈[0，π]）上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当｜PQ｜取最小值时，点P的横坐标为 （）A.π4 B.C.2π3 D.解析：C如图所示，若使｜PQ｜取得最小值，则曲线y＝－sinx（x∈[0，π]）在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sinx求导得y'＝－cosx，令y'＝12，可得cosx＝－12，∵0≤x≤π，解得x＝2π3.7.若函数f（x）＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 （）A.（－∞，－6] B.（－∞，－6]∪[2，＋∞）C.[2，＋∞） D.（－∞，－6）∪（2，＋∞）解析：C直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f（x）上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f'（x）＝1x＋4x－a＝2在（0，＋∞）内有解，则a＝4x＋1x－2，x＞0.又4x＋1x≥24x·1x＝4，当且仅当x＝12时取“＝”.∴8.（多选）已知函数f（x）及其导函数f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是 （）A.f（x）＝x2 B.f（x）＝e－xC.f（x）＝lnx D.f（x）＝tanx解析：AC若f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f（x）＝e－x，则f'（x）＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f（x）＝lnx，则f'（x）＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象（图略），可得两函数的图象有一个交点，所以方程f（x）＝f'（x）存在实数解，故C符合要求；若f（x）＝tanx，则f'（x）＝sinxcosx'＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x9.（多选）若直线y＝12x＋b是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是 （A.f（x）＝1x B.f（x）＝xC.f（x）＝sinx D.f（x）＝ex解析：BCD直线y＝12x＋b的斜率k＝12，f（x）＝1x的导数为f'（x）＝－1x2，即切线的斜率小于0，故A不正确；f（x）＝x4的导数为f'（x）＝4x3，令4x3＝12，解得x＝12，故B正确；f（x）＝sinx的导数为f'（x）＝cosx，而cosx＝12有解，故C正确；f（x）＝ex的导数为f'（x）＝ex，令ex＝12，解得x＝－ln2，故D10.设f（x）＝ln（3－2x）＋cos2x，则f'（0）＝.

解析：因为f'（x）＝－23-2x－2sin2x，所以f'（答案：－211.如图，y＝f（x）是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），则曲线g（x）在x＝3处的切线方程为.

解析：由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处的切线斜率等于－13，即f'（3）＝－13.又g（x）＝xf（x），所以g'（x）＝f（x）＋xf'（x），g'（3）＝f（3）＋3f'（3），由题图可知f（3）＝1，所以g（3）＝3f（3）＝3，g'（3）＝1＋3×-13＝0，则曲线g（x）在x＝3处的切线方程为y－答案：y－3＝012.设函数f（x）＝alnx＋bx3的图象在点（1，－1）处的切线经过点（0，1），则a＋b的值为.

解析：依题意得f'（x）＝ax＋3bx2，于是有f(1)=-1,f'(1答案：013.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c（x）＝4015100-x（80＜x＜100），那么净化到纯净度为解析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c（x）＝4015100-x（80＜x＜100），所以c'（x）＝4015(100-x)2，所以c'（90）＝答案：40.1514.若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝.

解析：y＝ex的导数为y'＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝1，则曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.设y＝x＋1与y＝lnx＋b相切的切点为（m，m＋1）.又y'＝1x，则1m＝1，解得m＝1.所以切点坐标为（1，2），则2＝b＋ln1，得b＝答案：215.（多选）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）A.y＝cosx B.y＝lnxC.y＝ex D.y＝x2解析：AD由题意y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1.对于A，因为f'（x）＝－sinx，存在x1＝π2，x2＝－π2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于B，因为f'（x）＝1x＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于C，因为f'（x）＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于D，因为f'（x）＝2x，存在x1＝1，x2＝－14，使得f'（x1）f'（x2）＝4x1x2＝－1.故选16.已知函数f（x）＝x＋a2x.若曲线y＝f（x）存在两条过点（2，0）的切线，则a的取值范围是解析：f（x）＝x＋a2x，f'（x）＝1－a2x2，设切点坐标为x0,x0+a2x0，则切线方程为y－x0－a2x0＝1-a2x02（x－x0）.由切线过点（2，0），可得－x0－a2x0＝1-a2x02（2－x0），整理得2x02＋ax0－a＝0.因为曲线y＝f（x）存在两条过点（2，0）的切线，所以方程有两个不等实根，即答案：{a｜a＜－8或a＞0}17.已知函数f（x）＝x－1＋aex（a∈R，（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）相切，求直线l的方程.解：（1）f'（x）＝1－aex，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f'（1）＝1－ae＝0，解得a（2）当a＝1时，f（x）＝x－1＋1ex，f'（x）＝1－设切点为（x0，y0），∵f（x0）＝x0－1＋1ex0＝kx0－1f'（x0）＝1－1ex0＝k①＋②得x0＝kx0－1＋k，即（k－1）（x0＋1）＝0.若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴直线l的方程为y＝（1－e）x－1.18.已知函数f（x）＝x2－lnx.（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）在函数f（x）＝x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间12解：（1）由题意可得f（1）＝1，且f'（x）＝2x－1x，所以f'（1）＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×（x－1），即y＝x（2）存在.假设存在两点满足题意，设切点坐标为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2∈12,1，不妨设x1＜x2，结合题意和（1）中求得的导函数解析式可得2x1-1x12x2-1x2＝－1，又函数f'（x）＝故－1≤2x1－1x1＜2x2－1x据此有2解得x1＝12，x2＝1x故存在两点12,ln2+14，（1第二节导数与函数的单调性1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.函数的单调性与导数的关系函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，则：（1）若f'（x）＞0，则f（x）在区间（a，b）内是单调递增函数；（2）若f'（x）＜0，则f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数；（3）若恒有f'（x）＝0，则f（x）在区间（a，b）内是常数函数.提醒讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0. （）（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性. （）（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定单调递增. （）答案：（1）×（2）√（3）×2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是 （）A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增B.在区间（1，3）上f（x）单调递减C.在区间（4，5）上f（x）单调递增D.在区间（3，5）上f（x）单调递增解析：C在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单调递增.3.函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为.解析：由y＝4x2＋1x（x≠0），得y'＝8x－1x2，令y'＞0，即8x－1x2＞0，解得x＞12，∴函数y＝4x答案：11.若函数f（x）在区间（a，b）上递增，则f'（x）≥0，所以“f'（x）＞0在（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上单调递增”的充分不必要条件.2.可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是∀x∈（a，b），f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零.1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有 （）A.f（x）＝x4B.f（x）＝x－sinxC.f（x）＝xex D.f（x）＝ex－e－x－2x解析：BD由f（x）＝x4得f'（x）＝4x3，当x＞0时，f'（x）＝4x3＞0，则f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＝4x3＜0，则f（x）单调递减，故A不满足题意；由f（x）＝x－sinx得f'（x）＝1－cosx≥0，显然f'（x）不恒为零，由结论2知f（x）＝x－sinx在R上单调递增，故B满足题意；由f（x）＝xex得f'（x）＝（1＋x）ex，当x＞－1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，故C不满足题意；由f（x）＝ex－e－x－2x得f'（x）＝ex＋e－x－2≥2ex·e-x－2＝0，当且仅当x＝0时等号成立，显然f'（x）不恒为零，由结论2知f（x）＝ex－e－x－2x在R上单调递增，故D满足题意.2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是.

解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），∴a≤3，即a的最大值是3.答案：3证明（判断）函数的单调性【例1】（1）（2022·北京高考·节选）已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；（2）已知函数f（x）＝lnx－a（x＋1），讨论函数f（x）的单调性.解（1）g（x）＝f'（x）＝exln(则g'（x）＝exln(设h（x）＝ln（1＋x）＋21+x－1(1+x)2，则h'（x）＝11+x－2(1+x)2故h（x）在[0，＋∞）上单调递增，故h（x）≥h（0）＝1＞0，因此g'（x）＞0对任意的x∈[0，＋∞）恒成立，故g（x）在[0，＋∞）上单调递增.（2）由题意得，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x－a＝1当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增.当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1a；令f'（x）＜0，解得x＞1∴f（x）在0,1a上单调递增，在综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在0,1a上单调递增，在｜解题技法｜讨论函数f（x）单调性的步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.提醒研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.已知函数f（x）＝x2+mx+1ex（m≥0），其中解：由题得f'（x）＝－x2+(当m＝0，即1－m＝1时，f'（x）＝－(x-1)2ex≤0，f当m＞0，即1－m＜1时，令f'（x）＜0得x＜1－m或x＞1，令f'（x）＞0得1－m＜x＜1，∴f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上单调递增.综上，当m＝0时，f（x）在R上单调递减，当m＞0时，f（x）在R上单调递减；f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上单调递增.求函数的单调区间【例2】已知函数f（x）＝aex－2－x，其中a∈R，e为自然对数的底数，求函数f（x）的单调区间.解由题可得函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝aex－1，当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f'（x）＝aex-1a，令f'（x）＝0，可得x＝－当x＜－lna时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞－lna时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为R，无单调递增区间；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－lna），单调递增区间为（－lna，＋∞）.｜解题技法｜利用导数求函数单调区间的方法（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间；（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.提醒若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.1.函数f（x）＝x＋3x＋2lnx的单调递减区间是（A.（－3，1） B.（0，1）C.（－1，3） D.（0，3）解析：B法一：令f'（x）＝1－3x2＋2x＜0（x＞0），得0＜x＜1，故所求函数的单调递减区间为（0，1）.法二：由题意知x＞0，故排除A、C选项；又f（1）＝4＜f（2）＝72＋2ln2，故排除D选项.故选B2.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间是.

解析：f'（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f'（x）＝xcosx＞0（x∈（－π，π）），解得－π＜x＜－π2或0＜x＜π2，故函数f（x）的单调递增区间是-π答案：-π,-函数单调性的简单应用考向1比较大小【例3】设定义在R上的函数f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＞x恒成立，则 （）A.f（1）＜f（－1） B.f（1）＞f（－1）C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜ D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜解析设g（x）＝12[（f（x））2－x2]，则g'（x）＝12[2f（x）f'（x）－2x]＝f（x）f'（x）－x＞0恒成立，所以g（x）在定义域内单调递增，所以g（1）＞g（－1），即12[（f（1））2－1]＞12[（f（－1））2－1]，解得（f（1））2＞（f（－1））2，即｜f（1）｜＞｜f（－1答案D｜解题技法｜利用导数比较大小的策略利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.考向2解不等式【例4】已知偶函数f（x）在R上存在导函数f'（x），当x＞0时，f(x)x＞－f'（x），且f（2）＝1，则不等式（x2－x）f（x2－x）＞2的解集为A.（－∞，－2）∪（1，＋∞）B.（2，＋∞）C.（－∞，－1）∪（2，＋∞）D.（－1，2）解析令g（x）＝xf（x），由于f（x）为偶函数，则g（x）为奇函数，所以g'（x）＝f（x）＋xf'（x）.因为当x＞0时，f(x)x＞－f'（x），即f(x)+xf'(x)x＞0，所以f（x）＋xf'（x）＞0，即g'（x）＞0.所以当x＞0时，g（x）在（0，＋∞）上单调递增.因为g（x）在R上为奇函数且在R上具有导函数，所以g（x）在R内单调递增.因为f（2）＝1，所以g（2）＝2f（2）＝2，又（x2－x）f（x2－x）＞2等价于g（x2－x）＞g（2），所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，答案C｜解题技法｜与抽象函数有关的不等式问题，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数.一般地，在不等式中如果同时含有f（x）与f'（x），常需要通过构造含f（x）与另一函数的积（或商）的新函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.考向3已知函数单调性求参数【例5】已知函数f（x）＝lnx－12ax2－2x（a≠0（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.解（1）f（x）＝lnx－12ax2－2x，x∈（0，＋∞所以f'（x）＝1x－ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间所以当x∈（0，＋∞）时，1x－ax－2＜0有解即a＞1x2－2设G（x）＝1x2－所以只要a＞G（x）min即可.而G（x）＝1x-1所以G（x）min＝－1.所以a＞－1.即a的取值范围是（－1，＋∞）.（2）由f（x）在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，f'（x）＝1x－ax－2≤0恒成立即a≥1x2－2所以a≥G（x）max，而G（x）＝1x-1因为x∈[1，4]，所以1x所以G（x）max＝－716（此时x＝4所以a≥－716，即a的取值范围是-｜解题技法｜已知单调性求解参数范围的步骤（1）对含参数的函数f（x）求导，得到f'（x）；（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f'（x）≥0恒成立；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；（3）验证参数范围中取等号时，是否恒有f'（x）＝0.若f'（x）＝0恒成立，则函数f（x）在（a，b）上为常数函数，舍去此参数值.1.已知函数f（x）＝xsinx，x∈R，则fπ5，f（1），f-π3的大小关系为 A.f-π3＞f（1）＞B.f（1）＞f-π3＞C.fπ5＞f（1）＞fD.f-π3＞fπ5＞f解析：A因为f（x）＝xsinx，所以f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsinx＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以f-π3＝fπ3.又当x∈0,π2时，f'（x）＝sinx＋xcosx＞0，所以函数f（x）在0,π2上是增函数，所以fπ5＜f（1）＜fπ3，即f-2.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cosx，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（）A.（－∞，1） B.-∞,C.13,+∞ D.（解析：D根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cosx，此时有f'（x）＝ex＋sinx＞0，则f（x）在[0，＋∞）上为增函数，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1）＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）.3.已知函数f（x）＝－12x2－3x＋4lnx在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是.解析：由题意，f（x）＝－12x2－3x＋4lnx的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－x－3＋4x＝－x2+3x-4x，当f'（x）＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不单调，且（t，t＋2）⊆（0，＋∞），∴t答案：[0，1）微专题5构造法解f（x）与f'（x）共存问题高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给出函数f（x）及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，该类试题具有一定的难度，下面总结了几种常见类型及解题方法.一、利用f（x）与xn构造函数【例1】（1）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是；

（2）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是.

解析（1）构造F（x）＝f(x)x2，则F'（x）＝f'(x)·x-2f(x)x3，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知（2）构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.答案（1）（－1，0）∪（0，1）（2）（－∞，－4）∪（0，4）点评利用f（x）与xn构造函数：①出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；②出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f(设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为.

解析：构造F（x）＝f(x)x，则F'（x）＝f'(x)·x-f(x)x2，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，可以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递增.根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知f（答案：（－∞，－1）∪（1，＋∞）二、利用f（x）与ex构造函数【例2】（1）已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且满足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）·e2－2x，则下列判断一定正确的是（）A.f（1）＜f（0） B.f（2）＞e2f（0）C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0）（2）若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）－2f（x）＞0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞e2x的解集为.

解析（1）构造F（x）＝f(x)ex，则F'（x）＝exf'(x)-exf(x)e2x＝f'(x)-f(x)ex，由（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，则x＞1时F'（x）＞0，F（x）在（1，＋∞）上单调递增.当x＜1时F'（x）＜0，F（x）在（－∞，1）上单调递减.又由f（2－x）＝f（x）e2－2x⇔F（2－x）＝F（x）⇒F（x）关于x＝1对称（2）构造F（x）＝f(x)e2x，＝f'(x)-2f(x)e2x，函数f（x）满足f'（x）－2f（x）＞0，则F'（x）＞0，F（x）在R上单调递增.又∵f（0）＝1，则F（0）＝1，f（x）＞e2x⇔f(x)e2答案（1）C（2）（0，＋∞）点评利用f（x）与ex构造函数：①出现f'（x）－nf（x）的形式，构造函数F（x）＝f(x)enx；②出现f'（x）＋nf（x）的形式，构造函数F（x）＝f（f（x）为定义在R上的可导函数，且f'（x）＞f（x），对任意正实数a，下列式子一定成立的是 （）A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）C.f（a）＜f(0)ea D.解析：B令g（x）＝f(x)ex，则g'（x）＝f'(x)ex-f(x)ex(ex)2＝f'(x)-f(x)ex＞0.∴g（x）在R三、利用f（x）与sinx，cosx构造函数【例3】（多选）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈0,π2满足f'（x）·cosx＋f（x）·sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的是 A.2f-π3＜B.2f-π3＞C.f（0）＜2f-D.fπ6＜3f解析∵偶函数y＝f（x）对于任意的x∈0,π2满足f'（x）·cosx＋f（x）·sinx＞0，且f'（x）·cosx＋f（x）·sinx＝f'（x）·cosx－f（x）·（cosx）'，∴可构造函数g（x）＝f(x)cosx，则g'（x）＝f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x＞0，∴g（x）为偶函数且在0,π2上单调递增，∴g-π3＝gπ3＝fπ3cosπ3＝2fπ3，g-π4＝gπ4＝fπ4cosπ4＝2fπ4，gπ6＝fπ6cosπ6＝233fπ6，由函数单调性可知gπ6＜答案BCD点评利用f（x）与sinx，cosx构造函数的常见类型：①由条件f'（x）sinx＋f（x）cosx，一般构造函数F（x）＝f（x）sinx；②由条件f'（x）cosx－f（x）sinx，一般构造函数F（x）＝f（x）cosx；③由条件f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x，一般构造函数已知函数f（x）定义在0,π2上，f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f'（x）tanx成立，又知fπ6＝12，则关于x的不等式f（x）＞sin解析：∵f（x）＜f'（x）tanx，∴f'（x）sinx－f（x）cosx＞0，令g（x）＝f(x)sinx，∴g'（x）＝f'(x)sinx-f(x)cosxsin2x＞0，∴g（x）在0,π2答案：π四、构造具体函数关系式【例4】若lnx－lny＜1lnx－1lny（x＞1，y＞1），则A.ey－x＞1 B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1解析依题意，lnx－1lnx＜lny－1lny，令f（t）＝t－1t（t≠0）.则f'（t）＝1＋1t2＞0，∴f（t）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增；又x＞1，y＞1，得lnx＞0，lny＞0，又lnx－1lnx＜lny－1lny.则f（lnx）＜f（lny）.又f（t）在（0，＋∞）上单调递增.则lnx＜lny，∴1＜x＜y，即y－x＞0，∴ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又y－x－答案A点评不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.已知α，β∈-π2,π2，且αsinα－βsinβ＞0A.α＞β B.α2＞β2C.α＜β D.α＋β＞0解析：B构造函数f（x）＝xsinx，则f'（x）＝sinx＋xcosx.当x∈0,π2时，f'（x）≥0，f（x）是增函数，当x∈-π2,0时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，又f（x）为偶函数，∴αsinα－βsinβ＞0⇔αsinα＞βsinβ⇔f（α）＞f（β）⇔f（｜α｜）＞f（｜β｜）⇔｜α｜＞｜β｜⇔α21.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是 （）解析：D利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的减区间，验证只有D符合.2.若函数f（x）＝13x3－32x2＋ax＋4的单调减区间是[－1，4]，则a＝ （A.－4B.－1C.1 D.4解析：A易知f'（x）＝x2－3x＋a，由题意知f'（x）≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.3.已知x∈（0，π），则函数f（x）＝excosx的单调递增区间为 （）A.0,π2 C.0,π4 解析：C∵f（x）＝excosx，∴f'（x）＝ex（cosx－sinx），令f'（x）＞0，即cosx－sinx＞0，∵x∈（0，π），∴0＜x＜π4，故函数f（x）的单调递增区间是0,π44.若函数f（x）＝ex＋ax－12x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 （A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－∞，0）解析：C函数f（x）的定义域是R，则f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C.5.已知定义在R上的连续可导函数f（x），当x≠0时，有xf'（x）＜0，则下列各项正确的是 （）A.f（－1）＋f（2）＞2f（0）B.f（－1）＋f（2）＝2f（0）C.f（－1）＋f（2）＜2f（0）D.f（－1）＋f（2）与2f（0）大小关系不确定解析：C由题意得，x＜0时，f（x）是增函数，x＞0时，f（x）是减函数，∴x＝0是函数f（x）的极大值点，也是最大值点，∴f（－1）＜f（0），f（2）＜f（0），两式相加得，f（－1）＋f（2）＜2f（0），故选C.6.（多选）如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有x1f(x1)-x2f(x2)x1A.f（x）＝ex B.f（x）＝x2C.f（x）＝lnx D.f（x）＝sinx解析：ACD依题意，函数g（x）＝xf（x）为定义域上的增函数.对于A，g（x）＝xex，g'（x）＝（x＋1）ex，当x∈（－∞，－1）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（－∞，－1）上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g（x）＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g（x）＝xlnx，g'（x）＝1＋lnx，当x∈0,1e时，g'（x）＜0，故C中函数不是“F函数”；对于D，g（x）＝xsinx，g'（x）＝sinx＋xcosx，当x∈-π2,0时，g'（x）＜0，7.函数f（x）＝xln（－x）的单调递减区间是.

解析：函数f（x）＝xln（－x）的定义域为（－∞，0），f'（x）＝ln（－x）＋1，令f'（x）≤0，解得－1e≤x＜0，所以函数f（x）的单调递减区间是-答案：-8.已知a＞0，若f（x）＝xeax，则函数f（x）的单调递增区间是.

解析：由f（x）＝xeax，得f'（x）＝（1＋ax）eax，因为a＞0，所以令f'（x）＝（1＋ax）eax＞0，解得x＞－1a，所以函数f（x）的单调递增区间为-答案：-9.使得“当a＞0时，函数f（x）＝4lnx－ax在区间（0，1）上不单调”为真命题的a的一个取值是.

解析：∵f（x）＝4lnx－ax，∴f'（x）＝4x－a＝4-axx，∵函数f（x）＝4lnx－ax在区间（0，1）上不单调，∴4－ax＝0在区间（0，1）上有解，∵a＞0，∴x＝4a∈（0，1答案：5（答案不唯一，只要是大于4的实数均可）10.已知函数f（x）＝x2＋alnx.（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数g（x）＝f（x）＋2x在[1，＋∞）上单调，求实数a解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），当a＝－2时，f'（x）＝2x－2x＝2由f'（x）＜0得0＜x＜1，故f（x）的单调递减区间是（0，1）.（2）由题意得g'（x）＝2x＋ax－2①若g（x）为[1，＋∞）上的单调增函数，则g'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥2x－2x2在[1，＋∞）上恒成立设φ（x）＝2x－2x2，x∈[1，＋∞易知φ（x）在[1，＋∞）上单调递减，∴在[1，＋∞）上，φ（x）max＝φ（1）＝0，∴a≥0.②若g（x）为[1，＋∞）上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，易知其不可能成立，不符合题意.综上，实数a的取值范围是[0，＋∞）.11.设函数f'（x）是奇函数f（x）（x≠0）的导函数，f（－1）＝－1.当x＞0时，f'（x）＞1，则使得f（x）＞x成立的x的取值范围是 （）A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.（－1，0）∪（0，1）解析：B由f'（x）＞1（x＞0），可得f'（x）－1＞0，令g（x）＝f（x）－x，则g'（x）＝f'（x）－1＞0，故g（x）在（0，＋∞）上单调递增.因为f（－1）＝－1，所以g（－1）＝f（－1）＋1＝0，又因为f（x）为奇函数，所以g（x）＝f（x）－x为奇函数，所以g（1）＝0，且在区间（－∞，0）上g（x）单调递增.所以使得f（x）＞x，即g（x）＞0成立的x的取值范围是（－1，0）∪（1，＋∞）.故选B.12.（多选）下面比较大小正确的有 （）A.ln22＞1e B.3ln4C.πe＞lnπ D.3＜解析：BC根据题意可构造函数f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1-lnxx2，由于函数y＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，且lne＝1，从而当0＜x≤e时，f'（x）≥0，则函数f（x）＝lnxx在（0，e]上单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，则函数f（x）＝lnxx在（e，＋∞）上单调递减，又0＜2＜e＜3＜π＜4，所以f（2）＜f（e），f（e）＞f（3）＞f（π）＞f（4），即ln22＜lnee，ln33＞ln44，lnee＞lnππ，lnee＞ln33，故ln22＜lnee＝1e，选项A错；3ln4＜4ln313.如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数，且函数y＝f(x)x在区间I上是减函数，那么称函数y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f（x）＝12x2－x＋32是区间I解析：因为函数f（x）＝12x2－x＋32的对称轴为x＝1，所以函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，又当x≥1时，f(x)x＝12x－1＋32x，令g（x）＝12x－1＋32x（x≥1），则g'（x）＝12－32x2＝x2-32x2，由g'（x）≤0得1≤x≤3，即函数f(x)x＝12答案：[1，3]14.已知函数f（x）＝ax－（a＋1）lnx－1x，讨论函数f（x解：因为f（x）＝ax－（a＋1）lnx－1x，所以f'（x）＝a－a+1x＋1x2＝ax2当a≤0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；当0＜a＜1时，令f'（x）＞0，得0＜x＜1或x＞1a，令f'（x）＜0，得1＜x＜1a，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在1,1a上单调递减当a＝1时，f'（x）＝(x-1)2x2≥0恒成立，所以f（x）在当a＞1时，令f'（x）＞0，得0＜x＜1a或x＞1，令f'（x）＜0，得1a＜x＜1，所以f（x）在0,1a上单调递增，在1a,1上单调递减，综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；当0＜a＜1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在1,1a上单调递减，在当a＝1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在0,1a上单调递增，在1a,1上单调递减，在（15.已知两个不等的正实数x，y满足lnxy＝x-yxy，则下列结论一定正确的是A.x＋y＝1 B.xy＝1C.x＋y＞2 D.x＋y＞3解析：C由lnxy＝x-yxy，得lnx－lny＝1y－1x，即lnx＋1x＝lny＋1y.设s＝f（t）＝lnt＋1t（t＞0），则f'（t）＝1t－1t2＝t-1t2，当0＜t＜1时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减，当t＞1时，f'（t）＞0，函数f（t）单调递增，所以f（t）min＝f（1）＝1，当t→0时，f（t）→＋∞，当t→＋∞时，f（t）→＋∞，作出函数f（t）的大致图象，如图所示.f（x）＝f（y），由图知，x，y一个大于1，一个小于1，不妨设x＜1＜y，则点（y，f（y））到直线x＝1的距离大于点（x，f（x））到直线x＝1的距离，所以x＋16.已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·f'(x)+m2在区间（解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝a(当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，＋∞）；当a＜0时，f（x）的递增区间为（1，＋∞），递减区间为（0，1）；当a＝0时，f（x）为常函数.（2）由（1）及题意得f'（2）＝－a2＝1，即a＝－2∴f（x）＝－2lnx＋2x－3，f'（x）＝2x∴g（x）＝x3＋m2+2x2－2∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，即g'（x）在区间（t，3）上有变号零点.由于g'（0）＝－2，∴g由g'（t）＜0，即3t2＋（m＋4）t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立，由于g'（0）＜0，故只要g'（1）＜0且g'（2）＜0，即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；由g'（3）＞0，即m＞－373∴－373＜m＜－9即实数m的取值范围是-37第三节导数与函数的极值、最值1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.1.函数的极值与导数条件f'（x0）＝0x0附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0x0附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0图象形如山峰形如山谷极值f（x0）为极大值f（x0）为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点提醒f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.2.函数的最值与导数（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值；（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数的极大值不一定比极小值大. （）（2）闭区间上的连续函数必有最值. （）（3）函数的极大值一定是函数的最大值. （）（4）开区间上的单调连续函数无最值. （）（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区间（a，b）内不单调. （）答案：（1）√（2）√（3）×（4）√（5）√2.（多选）已知函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列判断正确的是 （）A.函数y＝f（x）在区间-3B.当x＝－2时，函数y＝f（x）取得极小值C.函数y＝f（x）在区间（－2，2）上单调递增D.当x＝3时，函数y＝f（x）有极小值解析：BC对于A，函数y＝f（x）在区间-3,-12上有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f（x）取得极小值，故B正确；对于C，当x∈（－2，2）时，恒有f'（x）＞0，则函数y＝f（x）在区间（－2，2）上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f'（x）≠0，3.（2022·全国甲卷）当x＝1时，函数f（x）＝alnx＋bx取得最大值－2，则f'（2）＝ （A.－1B.－12C.12D解析：B由题意知，f（1）＝aln1＋b＝b＝－2.求导得f'（x）＝ax－bx2（x＞0），因为f（x）的定义域为（0，＋∞），所以易得f'（1）＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝a2－b4＝－4.函数g（x）＝－x2的极值点是，函数f（x）＝（x－1）3的极值点（填“存在”或“不存在”）.

解析：结合函数图象可知g（x）＝－x2的极值点是x＝0.因为f'（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0无变号零点，故函数f（x）＝（x－1）3不存在极值点.答案：x＝0不存在5.（2023·安阳一模）函数f（x）＝x3－3x2＋1的极小值为.

解析：f'（x）＝3x2－6x，令f'（x）＝3x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝2.易知当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＞0.故f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝8－12＋1＝－3.答案：－31.若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无极值.2.若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值.3.若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点.1.函数f（x）＝12x2＋lnx－2x的极值点的个数是（A.0 B.1C.2 D.无数解析：A函数定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝x＋1x－2＝x2-2x+1x＝(x-1)2x≥0，即f（2.函数f（x）＝xlnx在1e,e上的最大值是解析：由f（x）＝xlnx，得f'（x）＝lnx＋1，令f'（x）＝0，得x＝1e，当1e≤x≤e时，f'（x）≥0，所以f（x）在1e,e上单调递增，由结论2可知f（x）的最大值为f（e）＝eln答案：e3.若函数f（x）＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最小值为4，则m＝.解析：f'（x）＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，3]时，f'（x）＞0，所以f（x）在[0，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增.所以f（2）为f（x）在[0，3]上的极小值，由结论3可知也是最小值，即m＝283答案：28函数的极值问题考向1由图象判断函数的极值【例1】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（x－1）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 （）A.函数f（x）有极大值f（－3）和f（3）B.函数f（x）有极小值f（－3）和f（3）C.函数f（x）有极小值f（3）和极大值f（－3）D.函数f（x）有极小值f（－3）和极大值f（3）解析结合题目所给图象进行分段分析，当x＜－3时，x－1＜0，得f'（x）＜0；当－3＜x＜1时，x－1＜0，得f'（x）＞0；当1＜x＜3时，x－1＞0，得f'（x）＞0；当x＞3时，x－1＞0，得f'（x）＜0.根据极值点的定义可知，当x＝－3时，f（x）取得极小值f（－3），当x＝3时，f（x）取得极大值f（3），x＝1的左右两边导函数值都大于零，因此不是原函数的极值点，故选D.答案D｜解题技法｜由图象判断函数y＝f（x）的极值，要抓住两点：（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.考向2求函数的极值（极值点）【例2】已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）.（1）当a＝12时，求f（x（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.解（1）当a＝12时，f（x）＝lnx－12x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝1x－1令f'（x）＝0，得x＝2，于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，2）2（2，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗ln2－1↘故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln2－1，无极小值.（2）由（1）知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x－a＝1-axx（当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，则函数在（0，＋∞）上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a＞0时，若x∈0,1a，则f'（x若x∈1a,+∞，则f'（故函数在x＝1a处有极大值综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为x＝1a｜解题技法｜利用导数求函数极值（极值点）的一般流程考向3已知函数的极值求参数【例3】（1）（2023·南宁模拟）函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b＝ （）A.－7B.0C.－7或0 D.－15或6（2）已知函数f（x）＝x2－4x＋alnx有两个极值点，则实数a的取值范围为 （）A.（－∞，2] B.（－∞，2）C.（0，2] D.（0，2）解析（1）由题意知，函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，可得f'（x）＝3x2＋2ax＋b，因为f（x）在x＝1处取得极值10，可得f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,检验知，当a＝－3，b＝3时，可得f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，此时函数f（x）单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a＝4，b＝－11时，可得f'（x）＝3x2＋8x－11＝（3x＋11）（x－1），当x＜－113或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－113＜x＜（2）函数f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝2x－4＋ax＝2x2-4x+ax.因为函数f（x）有两个极值点，所以方程f'（x）＝0有两个正根，所以方程2x2－4x＋a＝0有两个正根x1，x2，所以Δ=16答案（1）A（2）D｜解题技法｜已知函数极值点或极值求参数的2个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.提醒若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数.1.（2023·周口一模）函数f（x）＝2x－xlnx的极值是 （）A.1e B.C.e D.e2解析：C因为f'（x）＝2－（lnx＋1）＝1－lnx，当f'（x）＞0时，解得0＜x＜e；当f'（x）＜0时，解得x＞e，所以x＝e时，f（x）取到极大值，f（x）极大值＝f（e）＝e.故选C.2.已知函数f（x）＝x2+x-aex在x＝1处取得极值，则解析：求导得f'（x）＝-x2+x+a+1ex，由已知得f'（1）＝0，所以a＝－1，则f（x）＝x2+x+1ex，f'（x）＝x-x2ex.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，1）时，f'（x）＞答案：13.函数f（x）＝x（lnx－ax）（a∈R，x＞0）在区间1e,e上存在极大值，则实数a的取值范围是解析：f'（x）＝1＋lnx－2ax＝x1+lnxx-2a，x∈1e,e，设g（x）＝1+lnxx，x∈1e,e，则g'（x）＝－lnxx2，令g'（x）＞0，解得1e＜x＜1，即g（x）在1e,1上单调递增；令g'（x）＜0，解得1＜x＜e，即g（x）在（1，e）上单调递减.所以g（x）max＝g（1）＝1，又答案：1函数的最值问题【例4】已知函数f（x）＝1-xx2+a，若f（x）在x＝－解因为f（x）＝1-所以f'（x）＝-(x2+由题意可得f'（－1）＝3-a(1+a)2＝故