专题01等腰三角形的定义、性质与判定(原卷版+解析)(重点突围)

专题01等腰三角形的定义、性质与判定【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一等腰三角形的定义】 1【考点二根据等边对等角求角度】 2【考点三根据三线合一求解】 5【考点四格点图中画等腰三角形】 7【考点五求与图形中任意两点构成等腰三角形】 10【考点六等腰三角形的性质与判定】 12【考点七等边三角形的性质与判定】 16【过关检测】 19【典型例题】【考点一等腰三角形的定义】例题：（2022春·江苏·八年级期中）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为_____．【答案】17【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【详解】解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；当7是腰时，则三角形的周长是．故答案为：17．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．【变式训练】1．（2022春·吉林·八年级期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为_____．【答案】12【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【详解】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，∵，∴此时不能组成三角形，②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，此时能组成三角形，∴周长．综上所述，这个等腰三角形的周长是12．故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键．2．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是______．【答案】或【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【详解】解：当是顶角时，的顶角度数是；当是底角时，则的顶角度数为；综上，的顶角度数是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，关键在于要分情况讨论．3．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为_____cm．【答案】23或19【分析】分9cm是腰长与底边长两种情况，再结合三角形的三边关系讨论求解．【详解】解：①若9cm是腰长，则三角形的三边分别为9cm、9cm、5cm，，能组成三角形，周长（cm），②若9cm是底边长，则三角形的三边分别为9cm、9cm、5cm，，能组成三角形，周长（cm）．综上所述，三角形的周长为23或19cm．故答案为：23或19．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．【考点二根据等边对等角求角度】例题：（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是______°．【答案】60【分析】根据三角形内角和求出，利用等边对等角求出答案．【详解】解：由题意得，在中，，，∴，∴，故答案为：60．【点睛】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角求角度，正确理解是解题的关键．【变式训练】1．（北京市朝阳区2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题）如图，在中，平分，则_____________．【答案】36【分析】设的度数为x，根据等腰三角形的性质得到由三角形外角性质得到，再由角平分线定义得出，再根据三角形内角和为，解出x即可．【详解】解：设的度数为x，，平分，，，解得：，．故答案为：36．【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形外角性质，解题的关键是能根据位置关系将各角的的大小表示出来．2．（2022春·全国·八年级期中）如图，在中，，，则的外角_____°．【答案】100【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，继而利用三角形外角性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为：100．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的定义，掌握等边对等角的性质是解题的关键．3．（2022春·上海虹口·八年级校考期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是____________．【答案】或##36°或90°【分析】分两种情况：当顶角是底角的2倍时和当底角是顶角的2倍时，根据三角形的内角和定理，列出方程，计算即可．【详解】解：当顶角是底角的2倍时，设顶角为，则底角为，∴，解得：，当底角是顶角的2倍时，设顶角为，则底角为，∴，解得：，综上所述，它的顶角的度数是或．故答案为：或【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的定义、解一元一次方程，解本题的关键在分情况讨论思想的应用．【考点三根据三线合一求解】例题：（2021春·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是______．【答案】【分析】过点作于，根据含度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．【详解】解：过点作于，，，，，，在等腰中，，．故答案为：．【点睛】此题考查了含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．【变式训练】1．（2022春·广西河池·八年级统考期中）如图，在中，，．若，则_____．【答案】6【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得即可．【详解】解：，，．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，就叫三线合一，熟练掌握和运用等腰三角形“三线合一”的性质是解决本题的关键．2．（2022春·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校阶段练习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则______．【答案】【分析】作于，如图，根据等腰三角形的性质得，在中由得到，则根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后计算即可．【详解】解：作于，如图，，，在中，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和含度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质．3．（2021春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，，点D在边上，且，若，，则的长为______．【答案】1【分析】过点A作于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出．由含30度角的直角三角形的性质求出，那么．【详解】解：如图，过点A作于E，又∵，，∴．在直角中，∵，，∴，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键．【考点四格点图中画等腰三角形】例题：（2022春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．(1)在图①中画出一个以为腰的等腰直角三角形；(2)在图②中画出一个以为底的等腰三角形，其面积为______．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析，．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可作图；（2）根据等腰三角形的性质即可作图，利用矩形面积减去三个小的直角三角形面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示：为所求（2）解：如图所示：为所求．【点睛】本题考查了三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的知识点．【变式训练】1．（2022春·福建莆田·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，已知点，点均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．(1)请在图①中，画出以AB为一边的等腰直角；(2)请在图②中，画出以AB为腰的等腰（必须是与上题形状不相同的三角形）；(3)请在图③中，画出以AB为底的等腰．【答案】(1)图形见解析(2)图形见解析(3)图形见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义，作出图形即可；（2）根据等腰三角形的定义，作出图形即可；（3）根据等腰三角形的定义，作出图形即可；【详解】（1）如图，为所求作的三角形；；（2）如图，为所求作的三角形；；（3）如图，为所求作的三角形．；【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【考点五求与图形中任意两点构成等腰三角形】例题：（2022春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（

）个．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．【详解】解：如图所示：分三种情况：①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（

）个．A．5 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，综上所述，满足条件的点P有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．2．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【详解】解：如下图：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点C的个数有2个；当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，所以点C的个数为：2+1=3．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB为底和以AB为腰两种情况，并画出图形是解题关键．【考点六等腰三角形的性质与判定】例题：（2022春·江苏·八年级期末）如图，在中，，于点D．(1)若，求的度数；(2)若点E在边上，交的延长线于点F．求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到的度数即可；（2）根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．【详解】（1）解：∵于点D，∴，，又，∴；（2）∵于点D，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三线合一的性质，以及平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·广东广州·八年级校考期末）如图，，，．(1)求证：；(2)过点B作于点F交直线于点M，连接，判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)；理由见解析【分析】（1）根据，得出，根据，得出，证明，即可得出答案；（2）过点A作交的延长线于点N，求出，证明，得出，即可得出．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，，又∵，∴，∴．（2）解：；理由如下：过点A作交的延长线于点N，如图所示：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，余角的性质，垂线的定义，解题的关键是作出辅助线，证明．2．（北京市朝阳区2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题）在中，是边的中线，E是边上一点，交于点F．(1)如图①，判断的形状并证明；(2)如图②，，①补全图形；②用等式表示之间的数量关系并证明．【答案】(1)等腰三角形，理由见解析(2)①补全图形见解析，②，理由见解析．【分析】(1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形．(2)过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以．【详解】（1）等腰三角形．证明：∵，是边的中线，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴是等腰三角形．（2）①补全图形．②之间的数量关系是．证明：过点E作于点H．∵，是边的中线，，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．在中，，∴．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键．【考点七等边三角形的性质与判定】例题：（2022春·福建福州·八年级期末）如图，在中，，，．(1)求的长；(2)点D在的延长线上，点M在的平分线上，连接，且．①求证：是等边三角形；②的值是否为定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)6(2)①见解析；②6【分析】（1）首先求出，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出；（2）①作于点F，交的延长线于点G，首先得出，再证明，推出，进而得出，即可得出结论；②在上截取，连接，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，证明，得出，进而得出．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴的长是6．（2）①证明：如图1，作于点F，交的延长线于点G，∴，∵点M在的平分线上，°，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形．②解：的值为定值，如图2，在上截取，连接，∵，∴是等边三角形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴这个定值为6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线进行证明是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·广东广州·八年级校考期中）如图，已知P是等边中边上一点，(1)过点P作，求证：为等边三角形；(2)连接，以P为顶点作，交的外角平分线于点Q，连接，那么是什么特殊三角形？证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)是等边三角形，证明见解析【分析】（1）由是等边三角形得，再由得，即可证明结论成立；（2）证明，得，再由，即可证明为等边三角形．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴为等边三角形；（2）解：是等边三角形，理由如下：∵是等边三角形，为等边三角形，∴，，，∴，∴，∵，平分的外角，∴，∵，，∴∴，∴，∵，∴为等边三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、外角定义、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022春·全国·八年级期中）等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形底角的度数是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分两种情况讨论，当的角是底角时和当的角是顶角时，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是；当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理，可得底角是．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识，理解并掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．2．（2022·四川宜宾·模拟预测）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则三角形的周长为（）A．1 B．1 C．1或 D．1【答案】C【分析】分是腰长和底边两种情况讨论求解．【详解】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为，是底边时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为，综上所述，此三角形的周长是或．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．3．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，在中，，平分，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一即可知【详解】∵，∴是等腰三角形，且平分，∴，，∴，∴，故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键4．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，在中，，点是延长线上一点，且，已知，，则的面积为（

）A．7 B．14 C．21 D．28【答案】A【分析】过点A作于点E，根据，，得到，结合，得到，过点C作于点F，根据角的平分线的性质，得到，代入面积公式计算即可．【详解】如图，过点A作于点E，因为，，所以，因为，所以，过点C作于点F，根据角的平分线的性质，得到，所以，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，角的平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2022春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考阶段练习）如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案．【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有，以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有，其中是等边三角形，∴符合条件的点的个数有6个，故选D．【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键．6．（2022春·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）如图，已知中，平分交于点D，点E是边上的一点，且满足；过点D作交于点F，则图中等腰三角形的个数为（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】解：∵，∴是等腰三角形，是等腰三角形，∵平分，∴，∴，即是等腰三角形，∴，∴，即是等腰三角形，∵，∴，∴，即是等腰三角形，，即是等腰三角形，∵，∴，即是等腰三角形∵，∴，即是等腰三角形，故图中等腰三角形有8个，故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．二、填空题7．（2022春·浙江·八年级期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为__．【答案】或##或【分析】首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．【详解】本题分两种情况，①当角为顶角时，顶角的度数为，②当角为底角时，顶角的度数为；∴这个等腰三角形的顶角为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．8．（2022春·广东东莞·八年级东莞市厚街海月学校校考期中）一个等腰三角形的周长为，已知一边为3，则它的另两边长分别为________．【答案】6，6【分析】当等腰三角形的底边为3时，腰为：，根据，得满足三角形三边关系，当等腰三角形的腰为3时，底边为：，根据得不满足三角形三边关系，综上，即可得．【详解】解：当等腰三角形的底边为3时，腰为：，∵，，∴满足三角形三边关系，当等腰三角形的腰为3时，底边为：，∵，∴不满足三角形三边关系，综上，另两边长分别为6，6，故答案为：6，6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．9．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为___________．【答案】8【分析】分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．【详解】解：如图：分三种情况：当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，；当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，；当时，作的垂直平分线，交小正方形的格点为，，,；综上所述：是等腰三角形，则点的个数为8，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．10．（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为_____．【答案】10【分析】首先根据勾股定理求得斜边的长度，然后结合等腰三角形的性质来求的长度．【详解】解：如图，在中，，由勾股定理知：，∵，平分交于点，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．11．（2022春·八年级单元测试）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A坐标为，则________，若是以为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标为________．【答案】

5

【分析】过A作轴于H，根据勾股定理求出的长，再分别讨论、的各种情况，即可得出答案．【详解】解：过A作轴于H，则，在中，；设点B的坐标为，①若，∵，∴，则点；②若，即，∴，则点；∴符合条件的B点的坐标为：．故答案为：5；．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，关键是掌握为等腰三角形时，那么任意一组邻边可为腰，注意分情况讨论．12．（2022春·河南平顶山·八年级校联考期中）如图，B、C、D在同一直线上，，，于O，，P为线段上一个动点，点P从点D向终点B运动（不包括D、B），当为等腰三角形时，的长为______．【答案】3或或13【分析】根据勾股定理求出，进而求出和的长，分三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵，∴，在中，，∴，∵，∴，当时，，当时，，在中，，即，解得，，则，当时，，综上所述，是等腰三角形时，线段DP的长度为3或或13．故答案为：3或或13．【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．三、解答题13．（2022春·江苏·八年级期末）如图，在中，，，平分，交于点D，E为中点．(1)求证：是等腰三角形；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)54°【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，进而根据等腰三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【详解】（1）∵，∴．∵平分，∴，，∴，即是等腰三角形；（2）∵点E是的中点，∴，∴，∴．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解题的关键．14．（2022春·吉林长春·八年级统考期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．(1)在图①中以线段为一腰画一个等腰锐角三角形；(2)在图②中以线段CD为底画一个等腰直角三角形；(3)在图③中画等腰钝角三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；（3）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可．【详解】（1）解：如图1中，或即为所求作，由勾股定理可知：，由图可知：，，即或都是满足条件的等腰三角形；（2）解：如图②中，或即为所求作，由图知：，，，或都是满足条件的等腰直角三角形；（3）解：如图③中，为所求作，如图：，且，是等腰钝角三角形．【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．（2022春·河南周口·八年级校联考期中）如图，在中，，D，E分别在上，．(1)求证：是等腰三角形；(2)延长至点F，使，连接，判定的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形，见解析【分析】（1）先证明是等腰三角形，再根据证明即可；（2）先根据是等腰三角形得到四边形是等腰梯形，进而得到，，再根据证明，进而可得出是等腰三角形．【详解】（1）∵，∴是等腰三角形，∵，∴是等腰三角形．（2）∵，∴，∵是等腰三角形，∴四边形是等腰梯形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确找准等量关系是解题的关键．16．（2021春·陕西安康·八年级统考期末）已知在中，的平分线交于点D，．(1)如图1，求证：是等腰三角形；(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证，根据等角对等边可得，即可证明是等腰三角形；（2）先根据，平分，可证，进而得出；作于点G，根据等腰三角形三线合一可得，再证，根据含30度角的直角三角形的性质可得，即可求出的长．【详解】（1）证明：平分，，，，，，是等腰三角形；（2）解：，，，平分，，，，如图，作于点G，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识点．17．（北京市海淀区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷）已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．【答案】(1)；(2)见解析；(3)与相等或互补【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得，由即可求出的度数；（2）作根据AAS证明≌,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补．【详解】（1）解：中，，且=,

．（2）如图，过点作于E点，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如图，作于，于，∵与的面积相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如图，作于，作垂直于的延长线于．则．∵，，∴，∵与的面积相等，∴．∴≌．∴．，∴，综上，与相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．18．（2022春·江苏·八年级期中）在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点．(1)如图1，当，时．和有怎样的位置关系，为什么？若，，求线段的长．(2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数．【答案】(1)，见解析；(2)的值为【分析】（1）由折叠可知，，由平行可知，，根据三角形内角和得到，再由，利用等量代换可求，即可求解；设，则，在Rt中，，解得：，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，解得：，即可求解；（2）设，则，当时，；当时，当时，，不符合题意，舍去；当时，，；当时，，；当时此时，，不成立；当时，此时不成立；当时，此时不成立；当时，当时，此时不成立；当时，；当时，此时不成立．【详解】（1）解：，理由如下：由折叠可知，，，，，，，，，，；设，则，由折叠可知，，在Rt中，，，解得：，，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，，解得：，即；（2）解：，设，则，由折叠可知，，当时，是直角三角形则是等腰三角形，，；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，，，当时，，此时，不符合题意，舍去；当时，，此时，所以；当时，，此时，所以；当时此时，，不成立；当时，是直角三角形，此时不能是等腰三角形，否则与边没有交点；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以；此时，与题意不符合，不成立；当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以，当时，，此时，不成立；当时，，此时，所以；当时，，此时，不成立．综上所述，的值为．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．19．（2022春·全国·八年级期末）等边三角形中，点为线段上一动点，点与、不重合，点在的延长线上，且．试确定与的数量关系．【特例研究】(1)如图①，当点为的中点时，请判断线段与的数量关系：（填“”“”或“”，并说明理由；【一般探索】(2)如图②，当点为边上任意一点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系；若成立，请说明理由．【拓展应用】(3)在等边三角形中，点在的延长线上，点在的延长线上，且，，，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)当点为上任意一点时，（1）中的结论成立，理由见解析(3)【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可．（2）过作交于，证明是等边三角形，即可证明．（3）过作交的延长线于，证明是等边三角形，即可证明．【详解】（1），理由如下：为等边三角形，点为的中点，，平分，，，，，，，，，，故答案为：．（2）当点为上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：如图②，过作交于，是等边三角形，，，，，即，是等边三角形，，，，，，，，在和中，，，，．（3）如图③，过作交的延长线于，则为等边三角形，，，，，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．专题01等腰三角形的定义、性质与判定【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一等腰三角形的定义】 1【考点二根据等边对等角求角度】 2【考点三根据三线合一求解】 5【考点四格点图中画等腰三角形】 7【考点五求与图形中任意两点构成等腰三角形】 10【考点六等腰三角形的性质与判定】 12【考点七等边三角形的性质与判定】 16【过关检测】 19【典型例题】【考点一等腰三角形的定义】例题：（2022春·江苏·八年级期中）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为_____．【变式训练】1．（2022春·吉林·八年级期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为_____．2．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是______．3．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为_____cm．【考点二根据等边对等角求角度】例题：（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是______°．【变式训练】1．（北京市朝阳区2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题）如图，在中，平分，则_____________．2．（2022春·全国·八年级期中）如图，在中，，，则的外角_____°．3．（2022春·上海虹口·八年级校考期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是____________．【考点三根据三线合一求解】例题：（2021春·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是______．【变式训练】1．（2022春·广西河池·八年级统考期中）如图，在中，，．若，则_____．2．（2022春·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校阶段练习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则______．3．（2021春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，，点D在边上，且，若，，则的长为______．【考点四格点图中画等腰三角形】例题：（2022春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．(1)在图①中画出一个以为腰的等腰直角三角形；(2)在图②中画出一个以为底的等腰三角形，其面积为______．【变式训练】1．（2022春·福建莆田·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，已知点，点均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．(1)请在图①中，画出以AB为一边的等腰直角；(2)请在图②中，画出以AB为腰的等腰（必须是与上题形状不相同的三角形）；(3)请在图③中，画出以AB为底的等腰．【考点五求与图形中任意两点构成等腰三角形】例题：（2022春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（

）个．A． B． C． D．【变式训练】1．（2022春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（

）个．A．5 B．6 C．8 D．92．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【考点六等腰三角形的性质与判定】例题：（2022春·江苏·八年级期末）如图，在中，，于点D．(1)若，求的度数；(2)若点E在边上，交的延长线于点F．求证：．【变式训练】1．（2022春·广东广州·八年级校考期末）如图，，，．(1)求证：；(2)过点B作于点F交直线于点M，连接，判断与的位置关系，并说明理由．2．（北京市朝阳区2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题）在中，是边的中线，E是边上一点，交于点F．(1)如图①，判断的形状并证明；(2)如图②，，①补全图形；②用等式表示之间的数量关系并证明．【考点七等边三角形的性质与判定】例题：（2022春·福建福州·八年级期末）如图，在中，，，．(1)求的长；(2)点D在的延长线上，点M在的平分线上，连接，且．①求证：是等边三角形；②的值是否为定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．【变式训练】1．（2022春·广东广州·八年级校考期中）如图，已知P是等边中边上一点，(1)过点P作，求证：为等边三角形；(2)连接，以P为顶点作，交的外角平分线于点Q，连接，那么是什么特殊三角形？证明你的结论．【过关检测】一、选择题1．（2022春·全国·八年级期中）等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形底角的度数是（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·四川宜宾·模拟预测）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则三角形的周长为（）A．1 B．1 C．1或 D．13．（2022春·河北邯郸·八