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文档简介

微专题3定值问题[2024·安徽淮北二模]已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点和椭圆C2：＝1(a>b>0)的右焦点F重合，过点F随意作直线l分别交抛物线C1于M，N，交椭圆C2于P，Q.当l垂直于x轴时|MN|＝4，|PQ|＝3.(1)求C1和C2的方程；(2)是否存在常数m，使为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．技法领悟圆锥曲线中定值问题的解题策略(1)从特别情形起先，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)接受推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．[巩固训练3][2024·河北唐山三模]已知双曲线E：－y2＝1(a>0)，左、右顶点分别为A1，A2，经过右焦点F垂直于x轴的直线与E相交于A，B两点，且|AB|＝1.(1)求E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝a2相切，且与双曲线左、右两支分别交于P1，P2两点，记直线P1A1的斜率为k1，P2A2的斜率为k2，那么k1·k2是否为定值？并说明理由．微专题3定值问题提分题[例3](1)解析：由已知可得，l的方程为x＝，代入抛物线方程可得，y2＝p2，解得y＝±p，所以|MN|＝2p.由题意知2p＝4，得p＝2，所以，抛物线方程是y2＝4x.所以直线l的方程为x＝1，焦点F(1，0)，所以c＝1.将直线l的方程x＝1代入椭圆方程可得，y2＝，解得y＝±，所以|PQ|＝.由已知可得，，解得，所以，椭圆的方程为＝1.(2)解析：假设存在常数m，使为定值．设直线l的方程为：x＝ny＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，消x化简得y2－4ny－4＝0.则Δ＝16n2＋16>0恒成立，且，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4(n2＋1)．设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，联立方程，消x化简得(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0.则Δ＝144(n2＋1)>0恒成立，且，所以|PQ|＝|y3－y4|＝＝＝.所以，＝＝.因为为定值，所以有＝，所以m＝－3.所以假设成立．所以存在常数m＝－3，使为定值－.[巩固训练3](1)解析：设F(c，0)，把x＝c代入到E的方程，得－y2＝1，即y＝±，因为|AB|＝1，所以＝1，即a＝2，则双曲线E的方程为－y2＝1.(2)解析：k1·k2为定值，理由如下：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1<0，x2>0，.因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝4相切，所以＝2，即m2＝4(1＋k2)，联立，消去y并整理得(1－4k2)x2－8mkx－(4m2＋4)＝0，所以，因为x1<0，x2>0，x1x2＝<0，即4k2－1<0

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