2025届新高考数学冲刺精准复习离散型随机变量的分布列及数字特征

2025届新高考数学冲刺精准复习离散型随机变量的分布列及数字特征01课前自学02课堂导学目录【课时目标】了解离散型随机变量的概念，会求离散型随机变量的分

布列；理解离散型随机变量的均值、方差、标准差的意义，会用离散型

随机变量的均值、方差解决有关实际问题.【考情概述】离散型随机变量的分布列及数字特征是解决情境中的概

率问题的重要工具之一，常以解答题的形式进行考查，属于高频考点，

难度中等.

知识梳理1.随机变量（1）

随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一

的实数

X

（ω）与之对应，我们称

X

为随机变量.（2）

离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.（3）

随机变量的线性关系：若

X

是随机变量，

Y

＝

aX

＋

b

，

a

，

b

是常

数，则

Y

也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质（1）

一般地，设离散型随机变量

X

的可能取值为

x

1，

x

2，…，

xn

，我

们称

X

取每一个值

xi

的概率

P

（

X

＝

xi

）＝

pi

，

i

＝1，2，…，

n

为

X

的

概率分布列，简称分布列.以表格的形式表示如下：

X

x

1

x

2…

xn

P

p

1

p

2…

pn

（2）

离散型随机变量的分布列的性质①

pi

（

i

＝1，2，…，

n

）的取值范围是

⁠；②

p

1＋

p

2＋…＋

pn

＝

⁠.[0，1]

1

3.离散型随机变量的数字特征数字特征公式作用均值（期望）

E

（

X

）＝

⁠反映了离散型随机变量取值

的

⁠方差

D

（

X

）＝

⁠

⁠刻画了随机变量

X

与其均值

的

⁠标准差说明：（1）

随机变量的均值是常数；样本的平均数是变量，不确定.（2）

随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的

偏离程度，反映了随机变量的取值的离散程度.方差或标准差越小，随

机变量的取值越集中.

平均水平

E

（

X

））2

pi

偏离程度常用结论1.均值与方差的性质（1）

E

（

aX

＋

b

）＝

（

a

，

b

为常数）.（2）

D

（

aX

＋

b

）＝

（

a

，

b

为常数）.（3）

E

（

X

1＋

X

2）＝

⁠.2.均值与方差的关系

aE

（

X

）＋

b

a

2

D

（

X

）E

（

X

1）＋

E

（

X

2）回归课本1.判断：（1）

（RA选三P60练习第2（1）题改编）抛掷甲、乙2颗质地均匀的骰

子，“所得点数之和为3”表示1个样本点，即“一颗的点数为1，一颗

的点数为2”.

（

✕

）（2）

（RA选三P58性质改编）在离散型随机变量的分布列中，随机变

量取各个值时的概率之和可以小于1.

（

✕

）（3）

（RA选三P64性质改编）

随机变量的均值与样本的均值一定相同.

（

✕

）（4）

（RA选三P68定义改编）随机变量的方差越大，则随机变量的取

值越分散.

（

√

）✕✕✕√2.（RA选三P61习题7.2第4题改编）某位射箭运动员命中目标箭靶的环

数

X

的分布列如下表：

X

678910

P

0.050.150.25

a

b

如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是

（

C

）A.0.35B.0.20C.0.55D.0.8C3.（RA选三P71习题7.3第7题改编）甲、乙两种品牌的手表，它们的日

走时误差分别为

X

和

Y

（单位：s），其分布列如下表：甲品牌手表的日走时误差分布列

X

－101

P

0.10.80.1

Y

－101

P

0.150.70.15下列说法正确的是（

A

）A.甲种品牌手表的性能较好B.乙种品牌手表的性能较好C.两种品牌手表的性能一样好D.无法确定哪种品牌手表的性能较好A乙品牌手表的日走时误差分布列4.（多选）（RA选三P71习题7.3第3题改编）某种果树的产量

X

（单

位：千克）的分布列为

P

（

X

＝0）＝0.2，

P

（

X

＝3）＝

a

，

P

（

X

＝

6）＝

b

.已知

E

（

X

）＝3，则下列说法正确的是（

ABD

）A.

a

＝0.6B.

b

＝0.2C.

D

（

X

）＝12D.若每千克水果的利润为8元，则利润的期望为24元ABD5.（RA选三P71习题7.3第4题改编）在单项选择题中，每道题有四个选

项，其中仅有一个选项正确.从四个选项中随机选一个，选对的概率为

0.25.若选对得分

X

＝

，选错得分

Y

＝

⁠，则随机选择时，每

题得分的均值为0.

（答案不唯一）3

－1

（答案不唯一）

总结提炼

1.利用分布列中随机变量取各个值时的概率之和为1可求参数的值.2.注意检验，以保证随机变量取各个值时的概率均为非负数.考向2

数字特征的计算例2（1）

已知随机变量

X

的分布列如下表：

X

012

P

2

a

－

b

a

a

＋

b

则随着

b

的增大，下列说法正确的是（

B

）BA.

E

（

X

）增大，

D

（

X

）越来越大B.

E

（

X

）增大，

D

（

X

）先增大后减小C.

E

（

X

）减小，

D

（

X

）先减小后增大D.

E

（

X

）增大，

D

（

X

）先减小后增大（2）

（多选）（2022·菏泽模考）已知离散型随机变量

X

的分布列

如下表：

X

01234

P

q

0.40.10.20.2若离散型随机变量

Y

满足

Y

＝2

X

＋1，则下列结果正确的有

（ABC）ABCA.

q

＝0.1B.

E

（

X

）＝2C.

E

（

Y

）＝5D.

D

（

X

）＝1.4[拓展探究]设

E

（

X

）＝μ，

a

是不等于μ的常数，探究

X

相对于μ的偏离程度与

X

相

对于

a

的偏离程度的大小，并说明结论的意义.解：设随机变量

X

的所有可能取值为

x

1，

x

2，…，

xn

，对应的概率分

别为

p

1，

p

2，…，

pn

，则

X

相对于μ的偏离程度

D

1＝（

x

1－μ）2

p

1＋

（

x

2－μ）2

p

2＋…＋（

xn

－μ）2

pn

.因为μ≠

a

，不妨设μ＝

a

＋

t

（

t

≠0），所以

X

相对于

a

的偏离程度

D

2＝（

x

1－

a

）2

p

1＋（

x

2－

a

）2

p

2＋…＋

（

xn

－

a

）2

pn

＝（

x

1－μ＋

t

）2

p

1＋（

x

2－μ＋

t

）2

p

2＋…＋（

xn

－μ

＋

t

）2

pn

＝[（

x

1－μ）2

p

1＋（

x

2－μ）2

p

2＋…＋（

xn

－μ）2

pn

]＋[2

t

（

x

1－μ）

p

1＋2

t

（

x

2－μ）

p

2＋…＋2

t

（

xn

－μ）

pn

]＋[

t

2

p

1＋

t

2

p

2

＋…＋

t

2

pn

]＝

D

1＋2

t

[（

x

1－μ）

p

1＋（

x

2－μ）

p

2＋…＋（

xn

－μ）

pn

]＋

t

2＝

D

1＋2

t

[

x

1

p

1＋

x

2

p

2＋…＋

xnpn

－μ（

p

1＋

p

2＋…＋

pn

）]＋

t

2＝

D

1＋2

t

（μ－μ）＋

t

2＝

D

1＋

t

2＞

D

1.所以

X

相对于

a

的偏离程度大

于

X

相对于μ的偏离程度.这个结论的意义是说明了

X

相对于μ的偏离程

度（即

X

的方差）是

X

相对于任意常数

a

的偏离程度中最小的，从而说

明了方差能很好地反映一组数据的集中与离散程度.[对点训练]1.（2024·温州模考）已知离散型随机变量

X

的分布列如下表：

X

a

a

＋1

a

＋2

P

0.40.20.4则

D

（

X

）等于（

D

）A.0.4＋

a

B.0.8＋

a

C.0.4D.0.8D解：由分布列，可得

E

（

X

）＝0.4

a

＋0.2（

a

＋1）＋0.4（

a

＋2）＝

a

＋1，所以

D

（

X

）＝0.4（

a

－

a

－1）2＋0.2（

a

＋1－

a

－1）2＋0.4（

a

＋2－

a

－1）2＝0.8.考点二

情境问题中的分布列例3某地发现6名疑似病例中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定

该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感

染.拟采用两种方案检测：方案一：将这6名疑似病例的血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.方案二：将这6名疑似病例随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清

混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该

组中的每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，

则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.分别求出两种方案中检测次数的分布列.

X

12345

P

Y

23

P

Y

23P

总结提炼

离散型随机变量的分布列的求解步骤（1）

确定取值：明确随机变量的所有可能取值有哪些，以及每一个

取值所表示的意义.（2）

求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变

量所对应的概率.（3）

列表格：按规范形式写出分布列.（4）

检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.[对点训练]

（2）

两个回合后，用

X

表示A箱子中小球的个数，用

Y

表示B箱子中小

球的个数，求

X

－

Y

的分布列.

X

－

Y

－4－2024

P

X

7050－90

P

p

总结提炼

均值与方差的实际应用（1）

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了

随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变

量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均

值，若均值相同，再用方差来决定.（2）

D

（

X

）表示随机变量

X

对

E

（

X

）的偏离程度，

D

（

X

）越

大，表明偏离程度越大，说明

X

的取值越分散；反之，

D

（

X

）越

小，表明偏离程度越小，说明

X

的取值越集中.3.（2022·南通模考）某知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个

选项，并有多个选项符合题目要求.每题的评分标准