2024年内蒙古自治区包头市第四十五中学中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年内蒙古自治区包头市第四十五中学中考数学三模试卷一、选择题1．的相反数为（）A．﹣3 B．3 C． D．﹣92．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（）A．2 B．﹣1 C．0 D．14．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣2，4） C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）5．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差6．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 D．200[1+x+（1+x）2]＝10007．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（）A．1 B． C．2 D．8．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝10．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（）A．无论x取何值，y2总是负数 B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小 D．四边形AECD为正方形二、填空题11．计算的结果为．12．如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为．13．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是．14．若关于x的分式方程无解，则m＝．15．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下4个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③AG＝；④S△BGF＝．在以上4个结论中正确的有．三、解答题17．（1）计算：．（2）解方程：．18．如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“﹣3”、“﹣1”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．（1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为；（2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作x，第二次转出的数字记作y，点Q的坐标记作（x，y）．用树状图或列表法求转动两次后得到的点Q落在第四象限的概率．19．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB＝400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732）20．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？21．如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．（1）求证：∠OCA＝∠ADC；（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．22．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，将线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，点F的对应点是点G，连接FG．（1）如图①，当点G在边CD上，且DG＝2，AF＝3时，求EF；（2）如图②，若E是AD的中点，EG与CD相交于点H，连接FH，求证：FE平分∠AFH；（3）如图③，若点F和点B重合，EG、FC分别交CD于点M、N，连接DG．求证：NG2＝MN•ND．23．如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线在第三象限图象上的点，且∠PAB＝∠OCB，求P点的坐标；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．的相反数为（）A．﹣3 B．3 C． D．﹣9【解答】解：＝3的相反数为：﹣3．故选：A．2．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．3．已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（）A．2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：∵2x﹣a＞﹣3的解集在数轴上为：x＞﹣2，则2x＞a﹣3，即x＞，故＝﹣2，解得：a＝﹣1．故选：B．4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣2，4） C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）【解答】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，∴点C对应点C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）．故选：D．5．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【解答】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数，故选：B．6．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 D．200[1+x+（1+x）2]＝1000【解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，又∵第一季度的总营业额共1000万元，∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选：C．7．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（）A．1 B． C．2 D．【解答】解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠ABC，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴CE•CB＝CD•CA，∵AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．故选：B．8．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0＝1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：当a＝0，b＝﹣1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a＝﹣2，b＝﹣1；若a＞1，则（a﹣1）0＝1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0＝1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a﹣1）0＝1，则a≠1；两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题．故选：D．9．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【解答】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8，令x＝0，则y＝﹣4，∴B（8，0），G（0，﹣4），∴OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF，BE＝CF，∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，∴△OBG∽△FBC，∴＝，∴设CF＝a，BF＝2a，∴AE＝2a，BE＝a，∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），∴A（6，4），∴k＝4×6＝24，∴反比例函数表达式为y＝，故选：D．10．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（）A．无论x取何值，y2总是负数 B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小 D．四边形AECD为正方形【解答】解：A、∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，∴无论x取何值，y2总是负数；故不符合题意；B、∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），∴当x＝1时，y＝﹣2，即﹣2＝a（1+1）2+2，解得：a＝﹣1；∴y1＝﹣（x+1）2+2，∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故不符合题意；C、∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；故符合题意；D、设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，解得：x＝﹣3或x＝1，∴点A（﹣3，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，解得：x＝3或x＝1，∴点C（3，﹣2），∴AF＝CF＝3，AC＝6，当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，∴DE＝6，DF＝EF＝3，∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形．故不符合题意．故选：C．二、填空题11．计算的结果为．【解答】解：＝×＝．故答案为：．12．如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为8．【解答】解：设多边形的一个外角的度数是x°，列方程，得3x+x＝180，解得：x＝45，多边形的边数为：360°÷45°＝8．故答案为：8．13．如图，同时自由转动转盘，配成紫色的概率是．【解答】解：根据两个转盘的特点，画树状图如下（第2个转盘中红色占50%，相当于2个红色，记为红1、红2）：共有12种等可能的结果，其中红色与蓝色可配成紫色，有3种结果，∴可配成紫色的概率是＝．故答案为：．14．若关于x的分式方程无解，则m＝﹣4或6或1．【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2），解得m＝6．（2）x＝2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2），解得m＝﹣4．（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），化简得：（m﹣1）x＝﹣10．当m＝1时，整式方程无解．综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解．15．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为2或6．【解答】解：分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形，∵∠ACB＝90°，AB＝10，sinA＝，∴BC＝AB×＝10×＝2，∴B'C＝2，AC＝＝4，∴AB'＝AC﹣B'C＝﹣2＝2；②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，同理可得，B'C＝2，AC＝4，∴AB'＝AC+B'C＝+2＝6；综上所述，点A与点B'的距离为2或6．故答案为：2或6．16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下4个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③AG＝；④S△BGF＝．在以上4个结论中正确的有①②④．【解答】解：由折叠得：△DCE≌△DFE，∴DF＝DC，∠DFE＝∠DCE，EC＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°，∴∠A＝∠DFG＝90°，AD＝DF，∵DG＝DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG＝FG，∴AG+EC＝FG+EF＝GE，故①正确；∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE，∴BE＝EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC，∠EBF＝∠EFB，∵∠ECF+∠EFC+∠EBF+∠EFB＝180°，∴∠EFC+∠EFB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BF⊥CF，故②正确；设AG＝x，则BG＝6﹣x，由Rt△ADG≌Rt△FDG得：AG＝FG，∵点E是BC边上的中点，∴EF＝CE＝BE＝3，在Rt△BEG中，根据勾股定理得：BG2+BE2＝EG2，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2，AG＝2，故③不正确，∴BG＝4，∴GB＝2AG，∴S△BEG＝BE•BG＝×3×4＝6，∵△BEF和△BEG等高，∴＝＝，则＝，∴S△BGF＝×6＝，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题17．（1）计算：．（2）解方程：．【解答】解：（1）原式＝1+（）﹣1﹣|﹣|+2＝1+﹣+2＝3；（2）原方程去分母得：x＝4x﹣2+3，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，2x﹣1≠0，故原方程的解为x＝﹣．18．如图，可以自由转动的转盘被它的半径分成了五个完全相同的扇形区域，分别标有数字“﹣3”、“﹣1”、“0”、“2”、“4”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．（1）转动转盘一次，则转出的数字是偶数的概率为；（2）转动转盘两次，第一次转出的数字记作x，第二次转出的数字记作y，点Q的坐标记作（x，y）．用树状图或列表法求转动两次后得到的点Q落在第四象限的概率．【解答】解：（1）转动一次有5种等可能情况，出现数字是偶数有3种情况，则转出的数字是偶数的概率为，故答案为：；（2）由题意，列表如下：第一次第二次﹣3﹣1024﹣3（﹣3，﹣3）（﹣1，﹣3）（0，﹣3）（2，﹣3）（4，﹣3）﹣1（﹣3，﹣1）（﹣1，﹣1）（0，﹣1）（2，﹣1）（4，﹣1）0（﹣3，0）（﹣1，0）（0，0）（2，0）（4，0）2（﹣3，2）（﹣1，2）（0，2）（2，2）（4，2）4（﹣3，4）（﹣1，4）（0，4）（2，4）（4，4）共有25种等可能的情况数，其中点Q落在第四象限有4种，则点Q落在第四象限的概率是．19．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB＝400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732）【解答】解：过A作AD⊥MN于点D设AD＝x，∵∠ABD＝45°，∴设BD＝x，∵∠AMD＝30°，∴＝，∴＝，∴x＝546.372，∴AD＞500．∴不会穿过居民区．20．某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是1600元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？【解答】解：（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元故答案为1600（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70（Ⅰ）当0＜x＜30时w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）＝﹣2x2+100x+1200＝﹣2（x﹣25）2+2450∴当x＝25时，w最大值＝2450（Ⅱ）当30≤x≤50时，w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800∵w随x的增大而减小∴当x＝30时，w最大值＝2400∴w＝，第25天的利润最大，最大利润为2450元②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400，解得x1＝20，x2＝30∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天（Ⅱ）当30＜x≤50时，由①可知当天利润均低于2400元综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．21．如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．（1）求证：∠OCA＝∠ADC；（2）若AD＝2，tanB＝，求OC的长．【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，∵CO＝OA，∴∠OCA＝45°，∴∠ADC＝∠AOC＝45°，∴∠OCA＝∠ADC；（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝AD＝，∵tanB＝＝，∴BE＝3AE＝3，∴AB＝＝＝2，在Rt△ABF中，tanB＝＝，∴AF＝AB＝，∵OC∥AB，∴∠OCF＝∠B，∴tan∠OCF＝＝，设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r﹣，∴3（r﹣）＝r，解得r＝，∴OC＝．22．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，将线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，点F的对应点是点G，连接FG．（1）如图①，当点G在边CD上，且DG＝2，AF＝3时，求EF；（2）如图②，若E是AD的中点，EG与CD相交于点H，连接FH，求证：FE平分∠AFH；（3）如图③，若点F和点B重合，EG、FC分别交CD于点M、N，连接DG．求证：NG2＝MN•ND．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∵线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG，∴∠CEF＝90°，EF＝EG，∴∠AEF+∠DEG＝90°，∴∠AFE＝∠DEG，∴△AEF≌△DGE（AAS），∴AE＝DG＝2，∴EF＝；（2）证明：如图1，延长HE交BA的延长线于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠QAE＝∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠Q＝∠DHE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△AEQ≌△DEH（AAS），∴EQ＝EH，∵∠FEG＝90°，∴FE⊥QH，∴FH＝FQ，∴