信道编码第7章

第七章信道编码7.1引言7.2信道编码的基本原理7.3线性分组码7.4卷积码7.5其他几种常用的差错控制编码方法7.1引言差错控制的基本概念数字信号在传输过程中，由于信道不理想、加性噪声以及码间串扰等都会产生误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以采用差错控制技术。差错即是误码。差错控制的核心是抗干扰编码，简称差错编码。差错控制的目的是提高信号传输的可靠性。图7-1信道编码的数字通信模型差错控制的实质给信息码元增加冗余度，即增加一定数量的多余码元（称为监督码元或校验码元），由信息码元和监督码元共同组成一个码字，两者间满足一定的约束关系。如果在传输过程中受到干扰，某位码元发生了变化，就破坏了它们之间的约束关系。纠错码的分类（1）根据纠错码各码组信息码元和监督码元之间的函数关系，可分为线性码和非线性码。（2）根据信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可分为分组码和卷积码。（3）根据码的用途，可分为检错码和纠错码。7.2信道编码的基本原理所谓差错控制编码实际上就是在保持信息的位数不变的情况下，采用增加码长的方法来降低误码率。具体来说：码的检错和纠错能力是用信息量的冗余度来换取的。

由此可见，纠错编码之所以具有检错和纠错能力，是因为在信息码之外附加了监督码，监督码不载荷信息，它的作用是用来监督信息码在传输中有无差错，对接收端的用户来说是多余的，最终也不传送给用户，但它提高了传输的可靠性。但是，监督码的引入，降低了信道的传输效率。

一般来说，引入监督码越多，码的检错、纠错能力越强，但信道的传输效率下降也越多。研究的目标：寻找一种编码方法使所加的监督码元最少而检错、纠错能力又高，且便于实现。码重、码距以及检错纠错能力码重：对于二进制码组，码组中非0码元的数目，用W表示。码距：两个等长码组之间相应位取值不同的数目。最小码距：码组集合中各码组之间距离的最小值用表示。码组间最小距离越大，说明码字间最小差别越大，抗干扰能力越强，因此是极重要的参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。若检错能力用e、纠错能力用t表示，可以证明，检、纠能力与最小码距有如下关系：（1）为了能检测e个错码，要求最小码距

（2）为了能纠正t个错码，要求最小码距

（3）为了能纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距编码效率设编码后的码组长度、码组中所含信息码元以及监督码元的个数分别为n，k和r，三者间满足编码效率R为7.2.2信道编码的译码方法图7-1所示的信道编码的数字通信模型中，信道译码器根据一套译码规则，从接收到的码字给出与发送的信息序列最接近的估值序列。由于发送端与码字之间存在一一对应关系，这等价于译码器根据R产生一个C的估值序列。显然，当且仅当C=时，这时译码器正确译码。一、最大后验概率（MAP）译码二、最大似然（ML）译码三、最小汉明距离译码7.3线性分组码一个长为n的分组码，码字由两部分构成：信息码元（k位）和监督码元（r位），n=k+r，表示为（n，k）码。（n，k）码可以表示个状态，即可以有个码字，但其中只有个是许用码字，其余为禁用码。要从k个信息元中求出r个监督元，必须有r个独立的线性方程。根据不同的线性方程，可得到不同的（n，k）线性分组码。线性分组码的主要性质如下：（1）封闭性：线性分组码中任意两个码字之和仍是分组码中的一个码字；（2）线性分组码各码字之间的最小距离等于非零码的最小码重。例如，已知一（7，4）线性分组码，4个信息元和3个监督元之间的关系可以表示为1、监督矩阵H改写式所示（7，4）线性分组码的3个线性方程式写成矩阵形式并简记为或

式中

称为线性分组码的一致监督矩阵（或校验矩阵）

它决定了信息码元和监督码元之间的校验关系2、生成矩阵G改写为矩阵形式利用G可以产生码组C，即

7.3.2线性分组码的译码设发送端进入信道的码字

信道译码器接收到的n长的码字由于信道中存在干扰，R中的某些码元可能与C中对应码元的值不同，二进制序列中的错误即是“1”错成“0”或者“0”错成“1”，因此，如果把信道中的干扰也用二进制序列表示，则有错的值为“1”，无错的值为“0”，我们称E为信道的错误图样。接收码字R是发送的码字C与错误图样E模2相加的结果，可表示为

R＝CE例如：发送码字C=(10111000)接收码字R=(10010100)错误图样E=(00101100)校验子（或伴随式）如果则接收码字无错码，否则有错。结论：（1）校正子仅与错误图样有关，而与发送的具体码字无关（2）若，则判断没有错码出现，它表明接收的码字是一个许用码字，当然如果错码超过了纠错检错的能力，也无法检测出错码；若，则判有错码出现【例7-3-1】设线性分组码的监督矩阵为（1）确定线性分组码的n和k；（2）写出生成矩阵；（3）写出该码的全部码字；（4）说明检测错误的能力和纠错能力；（5）当接收端收到的码字为011100时，判断是否出错？（1）由监督矩阵得，n=6，r=k=3（2）

(3)000000，001011，010110，

100101，011101，101110，

110011，111000(4)最小码距为3，因此可以检测2位错误，能纠正1位错误。(5)判断该接收码字有错7.3.3汉明码汉明码是一种可以纠正单个随机错误的线性分组码。它有以下特点：码长最小码距信息码位纠错能力监督码位这里m为的正整数，给定m后，即可构造出具体的汉明码（n，k）。汉明码的监督矩阵有n列，m行，它的n列分别由除了全0之外的m位码组构成，每个码组只在某列中出现一次。不同的错误图样具有不同的校正子，对于纠一位错码的汉明码的监督矩阵，校正子就是H阵中与错误码元位置对应的各列[例7-3-2]已知（7，4）汉明码的生成矩阵为（1）写出典型形式的生成矩阵和监督矩阵；（2）写出全部的码字；（3）判断该码检错的能力、纠错的能力；（4）写出校验子与错码位置的对应关系；（5）如果接收码字R为(1011000)、(0111011)、(1100000)，试计算校验子，并进行译码。(1)(2)全部的许用码字为：0000000，0001011，0010110，0011101，0100111，0101100，0110001，01110101000101，1001110，1010011，1011000，1100010，1101001，1110100，1111111(3)最小码距为3，因此可以检测2位错误，能纠正1位错误。(4)判断该接收码字无错判断该接收码字有错由（7，4）汉明码的校验子与错码位置的对应关系可知，校验子为001代码错码位置为C0，故将收到的码字0111011，纠正为0111010的译码输出。判断该接收码字有错由（7，4）汉明码的校验子与错码位置的对应关系可知，校验子为001代码错码位置为C1，故将收到的码字1100000，纠正为1100010的译码输出。7.3.4循环码在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码。它除了具有线性分组码的一般特点外，还具有循环性：循环码中任一码字的码元循环移位（左移或右移）后仍是该码的一个码字。例如,（7，3）循环码的一个码组集为0000000，0010111，0101110，1011100，0111001，1110010，1100101，10010111、循环码的码多项式循环码可用多种方式进行描述。在代数编码理论中，通常用多项式去描述循环码，它把码字中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个n长的码字用一个次数不超过（n-1）的码多项式表示2、循环码的生成多项式与生成矩阵(n,k)循环码组集合中（全“0”码除外）幂次最低的多项式称为生成多项式。它是能整除且常数项为1的阶多项式，具有唯一性。的码重就是码组的最小码距。根据各码组集合中生成多项式的唯一性，可以构成生成矩阵循环码的生成矩阵多项式可以写成例：（7，3）循环码的生成多项式为，它是码组0010111的码多项式。（7，3）循环码的生成矩阵为3、循环码的编码方法（n，k）循环码的多项式可表示为为k位信息码多项式，是除以生成多项式的余式，代表监督码元，将其附加在信息码元之后即得循环码。[例7-3-3]已知（7，3）循环码的生成多项式，求信息位为（110）时的循环码。解：信息码多项式则码多项式为

即信息码（110）对应的（7，3）循环码为（1101001）4、循环码的译码方法接收到的码组是否能被生成多项式整除作为判断传输当中是否发生错误的依据当传输中未发生错误时，接收的码组与发送的码组相同，则接收的码组必能被整除，余项为0若传输中发生了错误，不能被整除，余项不为0循环码的译码可以分三步进行：（1）将接收码组多项式除以特征多项式，得到伴随多项式；（2）由确定错误图样；（3）与进行模2加，纠正错误。[例7-3-4]（7,4）循环码生成多项式为（1）求错误图样与校验子之间的对应关系。（2）根据纠错检验表，如