山东省临沂第十五中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年山东省临沂十五中八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a＝2，b＝2，c＝3 D．a＝1，b＝2，c＝2．（3分）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）下列运算正确的是（）A．＝±5 B．＝﹣2 C．﹣＝ D．6＝4．（3分）如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1＝30，S2＝40，则S3等于（）A．60 B．40 C．50 D．705．（3分）已知是整数，正整数n的最小值为（）A．96 B．6 C．24 D．26．（3分）使代数式+有意义的整数x有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A． B． C． D．8．（3分）若，则代数式x2﹣6x﹣9的值为（）A．2022 B．2004 C．﹣2004 D．﹣20229．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B． C．﹣1 D．10．（3分）化简x，正确的是（）A． B． C．﹣ D．﹣11．（3分）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m12．（3分）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．513．（3分）若a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝（+）2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定14．（3分）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式+的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小．请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每题3分，共18分）15．（3分）直角三角形的两边长分别是3cm、5cm，则第三边长cm．16．（3分）如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．17．（3分）若实数x，y满足，则yx的值为．18．（3分）如图，有一连串直角三角形，已知第一个直角三角形OA1A2是等腰直角三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝⋯＝A8A9＝1，则OA9＝．19．（3分）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为．20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．三、解答题21．（15分）计算：（1）．（2）（4+）（4﹣）．22．（8分）如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D'处，AE是折痕．已知AB＝6cm，BC＝10cm，求CE的长．23．（11分）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？24．（12分）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：【问题解决】（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝，b＝．（均用含m、n的式子表示）（2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．【拓展延伸】（3）化简＝．25．（14分）阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝．例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN＝＝．【直接应用】（1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离；（2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB＝，OB与x轴正半轴的夹角是45°．①求点B的坐标；②试判断△ABO的形状．

2023-2024学年山东省临沂十五中八年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴90°+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝90°，∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；C、∵a2+b2＝22+22＝8，c2＝32＝9，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故C符合题意；D、a2+b2＝12+22＝5，c2＝（）2＝5，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；故选：C．2．【分析】直接利用最简二次根式的定义得出答案．【解答】解：①，②＝，③＝2，④＝，⑤中，最简二次根式有：①⑤共2个．故选：B．3．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝5，不符合题意；B、原式＝2，不符合题意；C、原式＝3﹣2＝，符合题意；D、原式＝3，不符合题意，故选：C．4．【分析】根据勾股定理和半圆的面积公式，知S3＝S1+S2．【解答】解：∵S1＝，S2＝，S3＝，又BC2+AC2＝AB2，∴S3＝S1+S2＝70．故选：D．5．【分析】根据96＝42×6n，若是整数，则96n一定是一个完全平方数，即可求解．【解答】解：96＝42×6n，则是整数，则正整数n的最小值6．故选：B．6．【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意，得x+3＞0且4﹣3x≥0，解得﹣3＜x≤，整数有﹣2，﹣1，0，1，故选：B．7．【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．【解答】解：如图，由勾股定理得AC＝＝．∵BC×2＝AC•BD，即×2×2＝×BD∴BD＝．故选：C．8．【分析】由已知等式求出x﹣3的值，原式配方变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝3﹣，∴x﹣3＝﹣，则原式＝x2﹣6x+9﹣18＝（x﹣3）2﹣18＝2022﹣18＝2004．故选：B．9．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．【解答】解：AC＝，则AM＝，∵A点表示﹣1，∴M点表示﹣1，故选：A．10．【分析】首先根据二次根式被开方数为非负数分析x的取值范围，再把x化为﹣，根据二次根式的乘法进行计算即可．【解答】解：∵﹣＞0，∴x＜0，∴x＝﹣•＝﹣，故选：C．11．【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A．12．【分析】原式变形为，由已知易得m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，原式＝＝＝＝3．故选：C．13．【分析】利用平方差公式、完全平方公式将a、b化简后再比较大小即可．【解答】解：∵a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|＝3﹣1+﹣1＝1+，b＝（+）2﹣＝5+2﹣2＝5，又∵1+＜5，∴a＜b，故选：B．14．【分析】仿照例题，求出AB＝＝＝5，即可求解；【解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x，∴AE＝1+2＝3，BE＝4，∴AB＝＝＝5，∴代数式的最小值是5．故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）15．【分析】分为两种情况，①当3cm和5cm都是直角边时；②当3cm为直角边和5cm为斜边时；根据勾股定理求出即可．【解答】解：①当3cm和5cm都是直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：第三边为＝（cm）；②当3cm为直角边和5cm为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得：第三边为＝4（cm）．故答案为：4或．16．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．【解答】解：如图，连接AC．根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝，∵（）2+（）2＝（）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°．故答案为：45°．17．【分析】根据二次根式有意义的条件求得x＝2，则y＝﹣，然后代入求值．【解答】解：根据题意知，．解得x＝2，所以y＝﹣，所以yx＝（﹣）2＝2．故答案为：2．18．【分析】根据勾股定理，先求出OA2，再利用OA2求出OA3，一直到OA9．【解答】解：∵有一连串直角三角形，第一个直角三角形OA1A2是等腰直角三角形，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝⋯＝A8A9＝1，∴OA2＝＝，OA3＝＝，…，OA8＝＝＝2，∴OA9＝＝＝3，故答案为：3．19．【分析】将容器的侧面展开，建立点A关于CE的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：将圆柱的侧面展开，EC为上底面圆周长的一半，作点A关于CE的对称点A′，连接A′B交EC于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF，即AF+BF＝A′F+BF＝A′B＝25m，延长BC，过A′作A′D⊥BC于点D，∵AE＝A′E＝DC＝4cm，∴BD＝20cm，Rt△A′BD中，由勾股定理可得A′D＝＝＝15cm，则该圆柱底面周长为30cm．故答案为：30cm．20．【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，∴CM＝，即PC+PQ的最小值为．故答案为．三、解答题21．【分析】（1）先算零指数幂和乘除，再合并同类二次公式即可；（2）先用完全平方，平方差公式展开，再合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣4××1＝2﹣＝；（2）原式＝9+12+20﹣（16﹣5）＝9+12+20﹣11＝18+12．22．【分析】由四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，BC＝10cm，即可求得AD与AB的长，又由折叠的性质，即可得AD′＝AD，然后在Rt△ABD′中，利用勾股定理求得BD′的长，即可得CD′的长，然后设CE＝xcm，在Rt△D′CE中，由勾股定理即可得方程：（6﹣x）2＝22+x2，解此方程即可求得CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10cm，DC＝AB＝6cm，又∵△AD′E是由△ADE折叠得到，∴AD′＝AD＝10cm，D′E＝DE，在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝8cm，∴CD′＝2cm，设CE＝xcm，则D′E＝DE＝（6﹣x）cm，在Rt△D′CE中，D′E2＝EC2+D′C2，即（6﹣x）2＝22+x2，解得x＝，即CE＝cm．23．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，∴着火点C受洒水影响；（2）当EC＝