(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练第4章数列单元综合提优专练(原卷版+解析)

第4章数列单元综合提优专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·高三月考）（），若是递减数列，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．(2023·上海·高三月考）著名的波那契列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列中的（）A．第2020项 B．第2021项 C．第2022项 D．第2023项3．(2023·上海·高三月考）已知数列的前项和为，若，，，则可能的不同取值的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．124．(2023·上海·高三月考）已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（）A．1147 B．1148 C． D．5．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．6．(2023·上海·高三月考）设，数列中，，,则A．当 B．当C．当 D．当7．(2023·上海·高三月考）记为不超过实数x的最大整数，例如：，设a为正整数，数列满足：，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5，3，2；②对数列都存在正整数k，当时，总有；③当时，；④对某个正整数k，若，则；其中的真命题个数为A．4 B．3 C．2 D．18．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，，若为周期数列，则的可能取到的数值有（）A．个 B．个 C．个 D．无数个二、填空题9．(2023·上海·高三月考）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为__.10．(2023·上海·高三月考）设数列满足，且，则数列前10项的和为__________11．(2023·上海·格致中学高二期末）若，且数列是严格递增数列或严格递减数列，则实数a的取值范围是______．12．(2023·上海市控江中学高一期末）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______.13．(2023·上海·高三月考）在数列中，，，记为数列的前项和，则___________.14．(2023·上海·高三月考）已知数列、满足：，，且，，若数列中不存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在的取值范围为___________.15．(2023·上海市控江中学高二期末）已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意恒成立，则________．三、解答题16．(2023·上海·格致中学高二期末）设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为．(1)若，，求数列的前n项和；(2)若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；(3)若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，17．(2023·上海·高三月考）在数列中，已知，（）．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；（3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．18．(2023·上海·高三月考）对于数列，定义设的前项和为.（1）设，写出；（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；（3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②.求所有满足条件的数列的个数.19．(2023·上海·高三月考）设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值，若不存在，请说明理由．20．(2023·上海·高三月考）已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.第4章数列单元综合提优专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·高三月考）（），若是递减数列，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】根据是递减数列，结合分段函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解详析】依题意数列是递减数列，且，所以，解得.所以实数的取值范围是.故选：D【名师指路】本小题主要考查数列的单调性，考查指数函数、一次函数的单调性，属于基础题.2．(2023·上海·高三月考）著名的波那契列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2021是斐波那契数列中的（）A．第2020项 B．第2021项 C．第2022项 D．第2023项【标准答案】C【思路指引】利用递推关系，将所求关系式中的“1”换为，再利用即可求得答案．【详解详析】因为，所以，故选：C．【名师指路】本题考查数列递推式，理解斐波那契数列，中递推关系的应用是关键，属于中档题．3．(2023·上海·高三月考）已知数列的前项和为，若，，，则可能的不同取值的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．12【标准答案】D【思路指引】依题意可知数列是以3为周期的数列，且，，两两不同，且前100项和与最后一位的取值有关，从而可得答案．【详解详析】∵，，，∴数列是以3为周期的数列，且，，两两不同，从0，1，2，3四个数中取3个，对应，，(其和与，，的顺序无关)共有种方法，又，前100项和与最后一位的取值有关，故有3种情况，故可能的不同取值的个数为个，故选：D.4．(2023·上海·高三月考）已知无穷数列满足，且，，若数列的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是的取值（）A．1147 B．1148 C． D．【标准答案】B【思路指引】当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值；当时，分别令，可求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的的取值.【详解详析】①当时，若，则数列的各项为，此时数列为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有673项为0；若，则数列的各项为，此时数列为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有673项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第3项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有672项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第4项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有672项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第6项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有671项为0；依次类推，可知当，或时，数列的前2020项中有100项是0；②当时，若，则数列的各项为，此时数列从第7项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有671项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第9项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有670项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第10项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有670项为0；若，则数列的各项为，此时数列从第12项开始为周期数列，周期为3，由，可知数列的前2020项中有669项为0；依次类推，可知当，或时，数列的前2020项中有100项是0.综上所述，若数列的前2020项中有100项是0，则可取的值有.故选：B.【名师指路】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件探究数列的性质，利用赋值法分别令和，可分别求出数列的前2020项中0的个数，进而得出规律.考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.5．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【标准答案】B【思路指引】利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.【详解详析】由，可得出，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，即，所以，数列为单调递增数列，故，A错；在等式的两边同时除以可得，其中且，所以，，，，，累加得，所以，，则，故.故D错误；对于，所以，，，，，累加得，可得，则，所以，，故，.故选：B.【名师指路】结论点睛：几种常见的数列放缩公式：（1）；（2）；（3）.6．(2023·上海·高三月考）设，数列中，，,则A．当 B．当C．当 D．当【标准答案】A若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.【详解详析】若数列为常数列，则，由，可设方程选项A：时，，，，故此时不为常数列，，且，，则，故选项A正确；选项B：时，，，则该方程的解为，即当时，数列为常数列，，则，故选项B错误；选项C：时，，该方程的解为或，即当或时，数列为常数列，或，同样不满足，则选项C也错误；选项D：时，，该方程的解为，同理可知，此时的常数列也不能使，则选项D错误.故选：A.【名师指路】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.7．(2023·上海·高三月考）记为不超过实数x的最大整数，例如：，设a为正整数，数列满足：，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5，3，2；②对数列都存在正整数k，当时，总有；③当时，；④对某个正整数k，若，则；其中的真命题个数为A．4 B．3 C．2 D．1【标准答案】B对于①，根据递推关系，依次求得的值，由此判断①正确.对于②，利用特殊的的值，判断②错误.对于③，首先证得，然后利用基本不等式证得，由此证得.对于④，由推出，结合③中，得到.【详解详析】对于①：当时，，，故①正确；对于②：当时，，，恒等于；当时，，，当时，恒有；当时，，……，此时数列除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此不存在正整数k，使得时，总有，故②不正确；对于③：在中，当为正整数时，，；当不是正整数时，令，t为的小数部分，，，当时，，，所以.，故③正确；对于④：当时，，所以，化简得，即，由③知，所以，故④正确.故选：B【名师指路】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查基本不等式的运用，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.8．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，，若为周期数列，则的可能取到的数值有（）A．个 B．个 C．个 D．无数个【标准答案】B讨论出当分别取、、、、时，数列为周期数列，然后说明当时，分为正奇数和正偶数两种情况分析出数列不是周期数列，即可得解.【详解详析】已知数列满足，.①若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；②若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；③若，则，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；④若，则，，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；⑤若，则，，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列；⑥若，则，，，，以此类推，可知对任意的，，此时，为周期数列；⑦若，则，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列；⑧若，则，，，，，以此类推，可知对任意的且，，此时，不是周期数列.下面说明，当且时，数列不是周期数列.（1）当且时，由列举法可知，数列不是周期数列；（2）假设当且时，数列不是周期数列，那么当时.若为正偶数，则，则数列从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列不是周期数列；若为正奇数，则且为偶数，由上可知，数列从第二项开始不是周期数列，进而可知数列不是周期数列.综上所述，当且时，数列不是周期数列.因此，若为周期数列，则的取值集合为.故选：B.【名师指路】本题解题的关键是抓住“数列为周期数列”进行推导，对于的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．二、填空题9．(2023·上海·高三月考）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为__.【标准答案】45【思路指引】设an＝pn+q，由ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列可得rt＝s2以及q＝0，化简＝++，利用均值不等式以及n是正整数，即得解【详解详析】根据题意，数列{an}为等差数列，设an＝pn+q，若存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则有，即联立两式，变形可得p2rt＝p2s2，又由等差数列{an}的公差不为0，即p≠0，则有rt＝s2，可得pq（r+t）＝2pqs，又由r，s，t互不相等且rt＝s2，则r+t≠2s，必有q＝0，则an＝pn，所以S1＝a1＝p，Sn＝＝，故＝＝++，设f（n）＝++，则f（n）＝++≥2+＝2+，当且仅当n2＝1980时等号成立，此时n不是正整数，不符合题意，而44＜＜45，所以f（44）＝++＝45，f（45）＝＝45，则有f（45）＝f（44），即的最小值为45故答案为：45.10．(2023·上海·高三月考）设数列满足，且，则数列前10项的和为__________【标准答案】【思路指引】利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和法可求得数列前项的和.【详解详析】由题意可得，所以，，因此，数列前项的和为.故答案为：.11．(2023·上海·格致中学高二期末）若，且数列是严格递增数列或严格递减数列，则实数a的取值范围是______．【标准答案】【思路指引】根据数列递增和递减的定义求出实数a的取值范围.【详解详析】因为数列是严格递增数列或严格递减数列，所以.若数列是严格递增数列，则，即，即恒成立，故；若数列是严格递减数列，则，即，即恒成立，由，故；综上，实数a的取值范围是故答案为：12．(2023·上海市控江中学高一期末）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______.【标准答案】【思路指引】根据与的关系求通项公式即可.【详解详析】，即，当时，，，整理得，，将以上各式左右两边分别相乘得，又，所以，当时，符合，故数列的通项公式.故答案为：.13．(2023·上海·高三月考）在数列中，，，记为数列的前项和，则___________.【标准答案】【思路指引】当时，构造，再变形得，变形得，有，，再代入求，并利用数列的单调性，最后求极限.【详解详析】解：，可得，，又，两式相除可得，即，则，即有，，所以，由，，可得，且为递增数列，当时，，则，即有，所以.故答案为：.【名师指路】关键点点睛：本题的关键是递推公式的变形，，计算数列的前项和，利用裂项相消法求和.14．(2023·上海·高三月考）已知数列、满足：，，且，，若数列中不存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在的取值范围为___________.【标准答案】、、、、【思路指引】推导出数列是周期为的周期数列，计算得出数列、均是以为公差的等差数列，设，分、、三种情况讨论，分析数列的单调性，可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.【详解详析】对任意的，有，且，，，，，.设，则，所以，数列是以公差为的等差数列，设（其中为常数且），所以，，所以，数列均是以为公差的等差数列，（其中，，为中的一个常数）.当时，对任意的，有；当时，.①若，则对任意的，有，所以，数列为递减数列；②若，则对任意的，有，所以，数列为递增数列；故只需，可满足题意.因为，，，，，所以，，，，，，，解得，，，，.故答案为：、、、、【名师指路】关键点点睛：本题考查利用数列的周期性求首项的取值范围，解题的关键在于通过构造新数列，利用数列的单调性得出不等式求解.15．(2023·上海市控江中学高二期末）已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意恒成立，则________．【标准答案】66【思路指引】根据恒成立和严格递增可得，然后利用递推求出，的值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得，，然后可解.【详解详析】因为，且数列为严格递增数列，所以或，若，则（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因为，，，且数列为严格递增数列，，所以，，所以，所以故答案为：66三、解答题16．(2023·上海·格致中学高二期末）设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为．(1)若，，求数列的前n项和；(2)若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；(3)若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，【标准答案】(1)(2),证明见解析.(3)不存在，【思路指引】（1）数列为首项为公差为的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果；（2），，成等差数列，则+=2，根据等比数列求和公式计算可解得，进而计算可得，即可判断结果；（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，解方程组可得无解，则所有数对所构成的集合为.(1)，，数列是公比为q的等比数列，，数列为，数列为首项为公差为的等差数列，数列的前n项和.(2)，，成等差数列，+=2，当时,+=,2,不符题意舍去，当时，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整数，使得，，成等差数列，，，.(3)由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，,即，解得：方程组无解.即符合条件的不存在，所有数对所构成的集合为.17．(2023·上海·高三月考）在数列中，已知，（）．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；（3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．【标准答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析.【思路指引】（1）证明数列为等比数列，即转化变形方向为与的关系.首先分离与，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证；（2）先由(1)结论求出，再化简，根据分式形式，裂项求和得，求解不等式，估值可得整数的最小值；（3）假设存在正整数、、，使得、、成等差数列，得到、、的等量关系，根据整数性质，等式左偶右奇不可能成立．【详解详析】（1）证明：由，得，从而，，又，故数列为等比数列；（2）解：由(1)得，，故，所以，，令，则，解得，，.故使得的整数的最小值为10；（3）解：假设存在正整数、、满足题意，则，即，即两边同除以得，(*)由得，，；所以为奇数，而、均为偶数，故(*)式不能成立；即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列.【名师指路】数列常见裂项形式：（1）；（2）；（3）；（4）.18．(2023·上海·高三月考）对于数列，定义设的前项和为.（1）设，写出；（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；（3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②.求所有满足条件的数列的个数.【标准答案】（1），，，；（2）证明见解析；（3）.【思路指引】（1）根据题意代入可得答案；（2）必要性：有，，将两式作差，得；充分性：若对任意，有，则，可得证；（3）不妨假设中，有项，项，项，建立方程组，解之可得项中组，且满足，从而求得答案.【详解详析】解：（1）因为，，，，，根据题意可得，，，.