(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题01等差数列及其通项公式重难点专练(原卷版+解析)

专题01等差数列及其通项公式重难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市七宝中学高三期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长2．(2023·上海·高一月考）已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是（）A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列3．(2023·上海闵行·高一期末）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（）．A．若数列的前项和（，，为常数）则数列为等差数列；B．若数列的前项和，则数列为等差数列：C．数列是等差数列，为前项和，则，，，…仍为等差数列；D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列．4．(2023·上海·高三月考）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）A． B． C． D．5．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．(2023·上海·高三月考）抛物线上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点到焦点的距离关系是A．成等差数列，不成等比数列 B．成等比数列，不成等差数列C．成等差数列，又成等比数列 D．不成等差数列，又不成等比数列7．(2023·上海·高三月考）数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数，使得为等差数列；②存在实数，使得为等比数列；③若存在使得，则实数唯一.A．① B．①② C．①③ D．①②③8．(2023·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2021个数字为（）A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对9．(2023·上海·高三月考）已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（）A． B． C． D．10．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题11．(2023·上海·复旦附中高二期末）已知数列的前项和，若不等式对任意恒成立，则的取值范围为______．12．(2023·上海·上外浦东附中高三月考）用符号表示超过x的最小整数，如，有下列命题：①若函数，则值域为；②如果数列是等差数列，，那么数列也是等差数列；③若，则方程有5组解；④已知向量，则它们的夹角不可能为钝角．其中，所有正确命题的序号应是___________．13．(2023·上海市吴淞中学高三期中）用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；则正确命题的序号是___________.14．(2023·上海长宁·一模）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________15．(2023·上海杨浦·一模）等差数列满足：①，；②在区间中的项恰好比区间中的项少2项，则数列的通项公式为___________.16．(2023·上海松江·一模）已知等差数列的首项，且对任意，存在，使得成立，则的最小值为___________.17．(2023·上海·高三月考）设等差数列的公差是2，前项的和为，则______．18．(2023·上海闵行·一模）已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为___________.19．(2023·上海·高三月考）设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则______．20．(2023·上海·高三月考）已知等差数列中，则数列的前n项和=___.三、解答题21．(2023·上海市吴淞中学高三月考）已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的前项和；(2)设为数列的前项和，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．(2023·上海市建平中学高三期中）设数列的各项均为正数，前项和为，已知.(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)若､､…､都在函数的图像上，设数列的前项和为，求的值.23．(2023·上海市建平中学高三月考）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.(1)求数列、的通项公式；(2)令，，求证：对任意的，都有；(3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.24．(2023·上海徐汇·一模）设有数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为，并称数列具有性质.(1)若，数列：具有性质，求实数的取值范围；(2)若，数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列不具有性质，设，试判断数列是否具有性质，并说明理由；(3)若数列具有性质，当时，都为单元素集合，求证：数列是等差数列.25．(2023·上海·曹杨二中高二月考）已知轴上的点满足.射线上的点满足.(1)证明：是等比数列；(2)用表示点和点的坐标；(3)求四边形的面积的取值范围.专题01等差数列及其通项公式重难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市七宝中学高三期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长【标准答案】C解析：【思路指引】先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.【详解详析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；春分的晷长为，，秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；立春的晷长，立秋的晷长分别为，，，，，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.【名师指路】关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.2．(2023·上海·高一月考）已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是（）A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列【标准答案】A解析：【思路指引】根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．【详解详析】由题意知，向量，，．当时，可得，即，所以，所以数列表示首项为，公差为的等差数列．当，可得，即，所以，所以数列既不是等差数列，也不是等比数列．故选：A．【名师指路】方法点睛：本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，解题方法是用“累乘法”求解通项公式．3．(2023·上海闵行·高一期末）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（）．A．若数列的前项和（，，为常数）则数列为等差数列；B．若数列的前项和，则数列为等差数列：C．数列是等差数列，为前项和，则，，，…仍为等差数列；D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列．【标准答案】C解析：【思路指引】由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D.【详解详析】对于选项A：因为，，当时，，所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误；对于选项B：因为，，当时，，所以，则数列成等比数列，故B错误；对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，…是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确；对于选项D：令，则，，，…是常数列，显然不是等比数列，故D错误.故选：C.4．(2023·上海·高三月考）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）A． B． C． D．【标准答案】A解析：【详解详析】存在，使得成等差数列，可得，化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.5．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】A解析：【思路指引】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.【详解详析】当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A【名师指路】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.6．(2023·上海·高三月考）抛物线上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点到焦点的距离关系是A．成等差数列，不成等比数列 B．成等比数列，不成等差数列C．成等差数列，又成等比数列 D．不成等差数列，又不成等比数列【标准答案】A解析：先设三点的坐标，根据纵坐标的平方成等差数列可得到其横坐标也成等差数列，然后表示出三点到焦点的距离，即可得到答案．【详解详析】设这三点为，，，因为纵坐标的平方成等差数列，即，，成等差数列，三点纵坐标分别代入抛物线方程，可知三点横坐标亦成等差数列．即，因为，，所以故三点到焦点的对应距离构成的数列是等差数列．因为，所以三点到焦点的对应距离构成的数列不是等比数列.故选：A.【名师指路】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查等差数列和等比数列的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．(2023·上海·高三月考）数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数，使得为等差数列；②存在实数，使得为等比数列；③若存在使得，则实数唯一.A．① B．①② C．①③ D．①②③【标准答案】A解析：【思路指引】假设为等差数列，根据，求得，得到，使得恒成立，可判定①正确；假设为等比数列，求得，可判定②不是真命题；由，可得，，，，各式相加得到，进而得到，可判定③不是真命题.【详解详析】①中，假设为等差数列，则，则，可得，显然当时，可得，使得恒成立，所以存在使得数列为等差数列，所以①正确；②中，假设数列为等比数列，则则，可得，即，即，该式中有为定值，是变量，所以这样的实数不存在，所以②不是真命题；③中，由，可得，，，，将上述各式相加，可得，即，即，若存在这样的实数，则有，从而，可知满足该式的不唯一，所以③不是真命题.故选：A.【名师指路】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.8．(2023·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2021个数字为（）A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对【标准答案】C解析：【思路指引】首先分析出第次报数的个数，得到第次报完数后总共报数的个数，计算出是第次报数中会报到第2020个数字，再计算当第次报数时，3人总的报数次数，再推算出此时报数的最后一个数，再推出报出的第2021个数字.【详解详析】由题可得第次报数的个数为，则第次报完数后总共报数的个数为，再代入正整数，使的最小值为37，得，而第37次报时，3人总共报数为次，当第次报完数3人总的报数个数为，即报出的第2035个数字为，故报出的第2021个数字为.故选：C9．(2023·上海·高三月考）已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（）A． B． C． D．【标准答案】C解析：【思路指引】把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据方程组从整体分析可知：当，，时，取最小值．【详解详析】解：把方程组中的都用和表示得：，把代入得：，根据分母结构特点及可知：当，，时，取最小值为．故选：C．【名师指路】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当，，时，取最小值．10．(2023·上海·高三月考）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】B解析：【思路指引】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．【详解详析】解：令，，由，可得，所以，即，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，所以，设，则数列是单调递增的等差数列，若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，此时数列为，，，，，，由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，由，则，，，，全为正，而，这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．故选：B.【名师指路】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.二、填空题11．(2023·上海·复旦附中高二期末）已知数列的前项和，若不等式对任意恒成立，则的取值范围为______．【标准答案】解析：【思路指引】求出数列的首项，利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义可得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，求出数列的通项公式，化简，得到的表达式，利用数列的单调性求解即可.【详解详析】当时，，即，当时，，即，所以，即，而，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即，等式对任意恒成立等价于，即，令，当时，，当时，，则，所以，故，所以的取值范围为，故答案为：.12．(2023·上海·上外浦东附中高三月考）用符号表示超过x的最小整数，如，有下列命题：①若函数，则值域为；②如果数列是等差数列，，那么数列也是等差数列；③若，则方程有5组解；④已知向量，则它们的夹角不可能为钝角．其中，所有正确命题的序号应是___________．【标准答案】①④解析：【思路指引】①分别讨论为整数和非整数的情况即可得解；②举出特例即可判定；③列举出可能的情况即可判定；④讨论向量的数量积符号不可能为负数即可判定.【详解详析】①当为整数时，函数，当不为整数时，函数，则值域为，所以①正确；②考虑，通项公式为，依次为1,1,2,2,2,3，…，不是等差数列，所以②错误；③若，，满足的有三组，所以③错误；④设时，，时，，所以，所以向量的夹角不可能为钝角．故答案为：①④13．(2023·上海市吴淞中学高三期中）用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；则正确命题的序号是___________.【标准答案】①②##②①解析：【思路指引】根据给定定义可得，再对给定的3个命题逐一分析即可判断作答.【详解详析】因符号表示小于的最大整数，则时，，于是得，即函数在R上的值域为，①正确；方程，当时，则有，而是整数，于是得的值可为1，2，3，即x值有3个，则方程有三个根，②正确；数列是等差数列，如数列1.7，1.8，1.9，2，2.1，2.2成等差数列，而由计算所得结果对应的数列1，1，1，1，2，2不成等差数列，③不正确，所以正确命题的序号是①②.故答案为：①②14．(2023·上海长宁·一模）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________【标准答案】解析：【思路指引】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值.【详解详析】取得最小值，则公差，或，（1）当，，所以的最小值为.（2）当，不合题意.综上所述：的最小值为.故答案为：15．(2023·上海杨浦·一模）等差数列满足：①，；②在区间中的项恰好比区间中的项少2项，则数列的通项公式为___________.【标准答案】##－4+3n解析：【思路指引】由已知得出，根据区间的长度确定在区间上可能含有的数列中的项数，结合区间，然后根据项数的可能值分类讨论，确定数列．【详解详析】由，得，，因此在区间上最多有5项，又在区间中的项恰好比区间中的项少2项，因此数列在上的项数可能为，相应地在上项数分别为．（1）若在上的项数可能为1，设是数列在区间的项，在上项数为3，由得，由得，所以，这样是数列中的连续三项，是等差数列，因此也是中连续三项（否则数列中有两项在上），但，矛盾；（2）若在上的项数可能为2，设是数列在区间的最小项，在上项数为4，由得，由得，所以，这样是数列中的连续四项，是等差数列，因此也是中连续四项，（否则数列中有三项在上），又，所以，，满足题意，；（3）若在上的项数可能为3，设是数列在区间的最小项，在上项数为5，由得，由得，所以，这样是数列中的连续五项，是等差数列，因此也是中连续五项（否则数列中有四项在上），但，矛盾；综上所述，．故答案为：．16．(2023·上海松江·一模）已知等差数列的首项，且对任意，存在，使得成立，则的最小值为___________.【标准答案】解析：【思路指引】根据题意可得，据此可求出，再由等差数列求和公式即可求解.【详解详析】由得：，，，，，又，，，故故答案为：17．(2023·上海·高三月考）设等差数列的公差是2，前项的和为，则______．【标准答案】3解析：【详解详析】略18．(2023·上海闵行·一模）已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为___________.【标准答案】解析：【思路指引】根据已知条件证得数列是等差数列，根据求得的最小值.【详解详析】依题意，即，整理得，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，，由得，由于，所以，，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：19．(2023·上海·高三月考）设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则______．【标准答案】1解析：【思路指引】令可得，利用的定义，，可得的递推关系，从而得是等差数列，求出后可得，从而可得．【详解详析】，∴，，即，，∴，∴，即是以2为首项，1为公差的等差数列，故，，，也符合此式，所以，所以，故答案为：.【名师指路】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化．如对积有，对和有，另外这种关系中常常不包括的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．20．(2023·上海·高三月考）已知等差数列中，则数列的前n项和=___.【标准答案】解析：利用两角差的正切公式可得到，从而可得到数列的通项公式，再代入求和化简即可得到结果。【详解详析】，又等差数列中，，故答案为：【名师指路】关键点睛：本题考查数列求和，解题的关键是会逆利用两角差的正切公式，得到数列的通项公式，在求和的过程中巧用相消法得到数列的和，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.三、解答题21．(2023·上海市吴淞中学高三月考）已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的前项和；(2)设为数列的前项和，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【标准答案】(1)(2)解析：【思路指引】（1）由，，求出首项和公差，再根据等差数列的求和公式即可得到，（2）当为偶数时，当为奇数时，分别求出前项和，当为偶数时，由，得，构造函数设，求出的最大值，代入求解得答案．利用函数的单调性求出函数最小值，当为奇数时，从而得到，求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围(1)解：设数列的公差为．因为，，所以．，解得，，所以，．(2)解：由（1）可得，所以当为偶数时，设，，则．当为奇数时，设，，则．所以当为偶数时，设，，则．代入不等式，得，从而．设，则．因为，所以，所以是递增的，所以，所以．当为奇数时，设，，则．代入不等式，得，从而．因为，所以的最大值为，所以．综上，的取值范围为．22．(2023·上海市建平中学高三期中）设数列的各项均为正数，前项和为，已知.(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)若､､…､都在函数的图像上，设数列的前项和为，求的值.【标准答案】(1)证明见解析；；(2).解析：【思路指引】（1）令可求得；当时，利用可推导得到，由此可知数列是等差数列，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可证得数列为等比数列，由等比数列求和公式可求得，并化简为；分别在和两种情况下求得极限即可.(1)当时，，即，解得：；当时，，即，，又，，；数列是以为首项，为公差的等差数列，；(2)由（1）得：，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，；当时，，，；当时，，；综上所述：.23．(2023·上海市建平中学高三月考）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.(1)求数列、的通项公式；(2)令，，求证：对任意的，都有；(3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【标准答案】(1)，(2)证明见解析(3)，理由见解析解析：【思路指引】（1）根据等差等比数列公式代入得到方程组，解得答案.（2）计算得到，利用数学归纳法结合双勾函数单调性证明即可.（3）验证的情况得到，再计算，得到，得到证明.(1)，则；，则；，则.解得，，，故，.(2)，即，当时，，故成立；假设时成立，即；当时，，函数在上单调递增，，故，即时成立.综上所述：对对任意的成立.(3)当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；故，若存在满足条件，则.，，两式相加得到：，故.，，成立.综上所述：存在使恒成立.24．(2023·上海徐汇·一模）设有数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为，并称数列具有性质.(1)若，数列：具有性质，求实数的取值范围；