专题06 有理数的加法（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

专题06.有理数的加法1．理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算；3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性；4.感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。题型探究题型1、有理数加法法则的辨析 3题型2、有理数的加法运算 4题型3、有理数加法的运算律 6题型4、有理数加法的实际应用 11题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题） 14题型6、有理数加法的综合运用（新定义） 18培优精练A组（能力提升） 20B组（培优拓展） 26【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度：(1)第一次上升5°C，接着再上升3°C；(2)第一次下降5°C，接着再下降3°C；(3)第一次下降5°C，接着再上升3°C；(4)第一次下降3°C，接着再上升5°C。问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度?注意：(1)上升：下降5°C，即上升-5°C；下降3C，即上升-3°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和；（3）可借助温度计（或数轴）理解。【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“-

”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；3.运算律：1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。题型1、有理数加法法则的辨析【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数．例1．（2024七年级上·广东·专题练习）下列说法正确的是（）A．三个有理数相加和一定大于每个加数B．三个非零有理数相加，和可能等于零C．两个有理数和为负数时，这两个数都是负数D．两个负数相加，把绝对值相加例2．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（

）A． B． C． D．以上都不对变式1．（2023·重庆·七年级校考期中）下列说法中正确的是（

）A．两数相加，其和大于任何一个加数B．异号两数相加，其和小于任何一个加数C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号变式2．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（

）A．有一个数必为B．至少有一个负数C．有且只有一个负数D．至少有两个负数题型2、有理数的加法运算【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。例1．（23-24七年级上·广东·课后作业）的符号取号，的符号取号，的符号取号．例2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：(1)；(2)．变式1．（2023·山东滨州·模拟预测）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（

）A． B． C． D．变式2．（2024·吉林松原·二模）比大5的数是（

）A．3 B． C．7 D．变式3．（2023·河北石家庄·统考二模）若要等式4成立，“”中应填的运算符号是（

）A． B． C． D．题型3、有理数加法的运算律【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（

）A． B．C． D．例2．（2023七年级上·江苏·专题练习）利用运算律计算：(1)；(2)；(3)；(4)．例3．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字：对于可以如下计算：原式__________________．上面这种方法叫拆项法．(1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：．变式1．（23-24七年级上·山东淄博·期中），上面的计算所运用的运算律是（

）A．交换律 B．结合律C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律变式2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）下列变形，运用加法运算律正确的是（）A． B．C． D．变式3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算．变式4．（2024·广东七年级课时练习）计算：(1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）(2)43+（﹣77）+27+（﹣43）(3)18+（﹣16）+（﹣23）+16(4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）(5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）(6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4）题型4、有理数加法的实际应用【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。例1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）王叔叔10月1日9：00微信零钱还有83.18元，下图是王叔叔10月1日9：00至5日9：00的微信账单，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月5日9：00扫二维码付款给超市后的微信零钱为（

）账单10月1日09：24微信转账10月2日16：36扫码付款给肉食店10月4日10：20微信红包10月5日9：00扫码付款给超市A．175 B．175.36 C．185 D．210.36例2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）某日小明在一条南北方向的公路上跑步．他从A地出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m）：，1100，，1010，，988．(1)后他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距离A地多远？(2)小明休息完返回A地，小明共跑了多少米？例3．（2024·北京通州·一模）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．工作代码工作名称持续时间（天）前期工作A张贴海报、收集作品7无B购买展览用品3无C打扫展厅1无D展厅装饰3CE展位设计与布置3ABDF展品布置2EG宣传语与环境布置2ABDH展前检查1FG（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰”最短需要天；（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要天．变式1．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为__．变式2．（2023·重庆·七年级统考期中）现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数对齐，那么此时乙温度计与甲温度计数对齐的度数是_________．变式3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：．(1)请问王女士最后在几层？(2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题）【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。例1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．7例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为．变式1．（23-24七年级上·安徽·期末）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，已知图中、⊙分别表示一个数，则的值为（

）A． B．1 C．或4 D．或1变式2．（23-24七年级上·山西临汾·期中）阅读下面材料，并完成相应任务．幻方相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．

(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；(2)请将，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方．题型6、有理数加法的综合运用（新定义）【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1．（2023·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（

）A．B．C．且D．以上答案都不对例2．（2022秋·北京通州·七年级统考期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为________．变式1．（2022秋·重庆·七年级校考期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则_________．变式2．（2022·七年级单元测试）设表示不超过的最大整数，计算：______．变式3．（2022·重庆七年级课时练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为=___________．A组（能力提升）1．（2023·四川乐山·七年级统考期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（

）A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负2．（23-24七年级上·浙江·期末）计算：的结果是（

）A． B． C．1 D．93．（2024·广东·二模）甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（

）A． B． C． D．4．（22-23七年级上·河北石家庄·阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（

）A．B．C．D．5．（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（

）A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项6．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）关于“三个有理数的和为”这个话题，数学活动小组成员甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列看法：甲：这三个有理数可能都是；乙：这三个数中最多有两个正数；丙：这三个数中最少有两个数是负数；丁：这三个有理数是互为相反数．则正确的看法是（

）A．甲、乙、丙、丁 B．甲、乙、丙 C．甲、乙 D．乙、丙、丁7．（23-24七年级上·广西南宁·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是（）

A．7 B．5 C．4 D．18．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述：①和2的绝对值分别为5和2；②的绝对值5较大；2的绝对值2较小③是异号两数相加；④结果的绝对值是用得到；⑤计算结果为；⑥结果的符号是取的符号－－负号；请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______．9．（2023·广东七年级期中）（1）若，，，则____（2）若，，，则____10．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算：．11．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：(1)；(2)．12．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）计算(1)；(2)；(3)；(4)．13．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：）(1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？(2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？B组（培优拓展）1.（2023·山东·七年级期末）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点A相对观测点C的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（）100米80米米50米米20米A．米 B．240米 C．390米 D．210米2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（

）A．a B． C． D．3．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（）A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上4．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（

）A．或 B．或10 C．2或 D．2或5．（23-24七年级上·福建厦门·期中）小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个