2024届重庆市高三上学期第一次学业质量调研数学试题及答案

高2024届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．zi)2izzz等于（1.若复数满足，其中i为虚数单位，则C.1）AiB.iD.15x3Ax2x2BxNx2AB，则的真子集个数为（2.已知集合，）A.3B.4C.7D.83.2023年10月31.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（）xy90xy85xy90xy85A.C.B.D.4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒第1页/共6页提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：x3x5x7232527，其中n!123n．根据该展开式可知，与2的sinxx3!5!7!7!值最接近的是（A.sin2）B.sin24.6D.cos65.4C.cos24.6，XN5.5,2P(x6)0.25.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748）6.已知定义在R上的函数时，的fx0fxf1xf1f20xx2fx2f2x0的解集为（不等式）2,02A.C.B.D.,0,2y24x43y150的两条切线，切点分别为,BPAB7.过点P作圆C:x2，若为直角三角形，OA.C.为坐标原点，则的取值范围为（）22,2242,42B.D.42,4222,228.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（A.50B.36C.26）D.14二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知3a5b15，则下列结论正确的是（）abababB.A第2页/共6页11baab4D.C.2210.已知函数fxexx32x2axfx，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A.e2ae1B.D.e1aeC.eae1e1ae211.已知抛物线C:y4x的焦点为F,Ox轴交于点MM的直线l与抛物2线交于不同两点，则下列说法正确的是（Ax,y,Bx,y2）112A5B.存在50C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆π5πD.当△ABF的面积为42时，直线l的倾斜角为或66ABCDCDAE的中点，M是线段上的一点，则下112.如图，在边长为1的正方体中，E是111111列说法正确的是（）A1ACM平面A.当M点与点重合时，直线1B.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值5C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面CCDD夹角的正弦值为1137AE1ACMABCD所得截面面积为1D.当M点为线段中点时，平面截正方体111三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．第3页/共6页aba2b513.已知向量a,b满足，则ab________．3πxfx2asinxcosxbxab014.已知的部分图象如图所示，当时，4的最大值为________．fxx22y22ab0)的直线交椭圆于P,Q15.已知点F为椭圆ab3FPFQFPFQ两点，，则该椭圆的离心率为________．的前项和为，且Sn1，记2a，则nnanSn2anna21a22a2316.已知数列________；n若数列满足bT20n3，则nnbbbLb的最小值是________．bn123n四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15//CD,ABBCCD417.在梯形ABCD中，为钝角，，sinBCD．4cosBDC（1）求；（2）设点E为AD的中点，求的长．的公差为，前项和为，满足annSnS4SS．218.已知首项为正数的等差数列21（1）求数列的通项公式；ann1（2）令bnπb，求数列的前项和n．nnnaann119.“双碳目标”“双碳目标”6年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023第4页/共6页编号x1923456产值y/百万辆1830515980（1）若用模型0.01yaebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，66iixu80.58uy．ii参考数据：，其中ii1i1参考公式：对于一组数据x,yi,n)i，其经验回归直线ˆbxˆ的斜率截距的最小二乘估计ˆinxynxyiiˆ分别为bi1n,ˆybx．i2nx2i120.如图，四棱锥P中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAP，ABAD,ABAD2,CDA45．PBC（1）若E为PB的中点，求证：平面平面ADE；6（2）若平面PAB与平面所成的角的余弦值为．6（ⅰ）求线段AB的长；（ⅱ）设G为内（含边界）的一点，且GBGA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．B2,0MC于点Q21.已知点M为圆C:(x2)2y24上任意一点，的垂直平分线交直线．第5页/共6页（1）求Q点的轨迹方程；（2）设过点ClQ的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知PPA0，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．的最小值为，求证：xfxnN,exnefxnn22.（1）已知函数nn1eei；2i11x,aeax12xx0a恒成立，求的取值范围．（2）若对x第6页/共6页高2024届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．zi)2izzz等于（1.若复数满足，其中i为虚数单位，则C.1）A.iB.iD.1【答案】C【解析】z【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再结合共轭复数的意义求解即得.2i(2i)112313zi，zi，则【详解】依题意，1ii)2222所以zz1.故选：C5x3Ax2x2BxNx2AB，则的真子集个数为（2.已知集合，）A.3B.4C.7D.8【答案】C【解析】A、BA个数.BABAB的真子集1Ax2x25x30x2x25x30xx3【详解】因为，2AB2BxNx2xN2x22，则，第1页/共23页所以，A故选：C.B的真子集个数为2317.3.2023年10月31.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（）xy90xy85xy90xy85A.C.B.D.【答案】D【解析】a【分析】首先，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得0.0050.03a0.015101a，解得，因为0.050.30.35，0.050.30.50.85，则0.350.750.85，则样本数据的75%分位数位于80,90，则0.35x800.050.75，解得，x88，8090因为样本数据中位于成绩80,90之间最多，则众数为y852故选：D.4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：x3x5x7232527，其中n!123n．根据该展开式可知，与2的sinxx3!5!7!7!值最接近的是（）A.sin2B.sin24.6第2页/共23页C.cos24.6【答案】C【解析】D.cos65.4【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.sin2sin257.3sin9024.624.6【详解】原式，故选：C.，XN5.5,2P(x6)0.25.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得P(x0.5，则P(5.5x6)0.50.20.3，Px6)0.320.6则，C230.620.4C330.60.648,3则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为故选：B.6.已知定义在R上的函数时，的fx0fxf1xf1f20xx2fx2f2x0的解集为（不等式）2,02A.C.B.D.,0,2【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.tt1tt0，21【详解】任取，则2fx0ftt1而x0时，，则0，2，fttt1t1ftt1ftf12221第3页/共23页所以在R上单调递减，fxx,xRfxxfxfx，，121212xx0f(0)0xx，令，21取，则12f0fxfx0得1，1所以为R上的奇函数，fxf2x2x，解得x0fx2f2x0fx2，则x2，即故选：Ay24x43y150的两条切线，切点分别为,BPAB7.过点P作圆C:x2，若为直角三角形，OA.C.为坐标原点，则的取值范围为（）22,2242,42B.D.42,4222,22【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.【详解】圆C:(x2)2(y23)21的圆心C(2,23)，半径r1，,PB切圆C,B90,|PA|||AC,BC，连接，由于点，且PAB为直角三角形，得CBP90，即四边形APBC是正方形，|PC2，则CAP因此点P在以点C为圆心，2为半径的圆上，而|22(23)4，242,42于是|42,|42，所以的取值范围为.第4页/共23页故选：D8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14【答案】A【解析】【分析】按照2,1和分组讨论安排.1）按照2,1分3组安装，C246①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，C14C23A2224②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有（2）按照种，分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C34A228种，C242A12种，2②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有故共有62481250种，故选：A.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知3a5b15，则下列结论正确的是（）abababab4A.B.D.11baC.22【答案】ABD【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.a1510b1510【详解】由题意得，，3355第5页/共23页111103050，则，则ab0，，ababyx上单调递增，则ab，故A正确；对A，根据对数函数在11ab3511，则abab对B，因为，即，故B正确；1515abxab1211对C，因为a对D，因为ab0，根据指数函数y在上单调递减，则R，故C错误；2211b0，1，ab11abbabaabab2224，abab当且仅当ab时等号成立，而显然a¹b，则故选：ABD.ab4，故D正确；10.已知函数fxexx32x2axfx，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A.e2ae1B.D.e1aeC.eae1【答案】BCD【解析】e1ae2exexax22x，令g(x)x22x(x0)，利用导数讨论g(x)的单调性，【分析】将问题转化为xxg(x)，由f(x)在有2个不同零点的充要条件为ae1，从而作出判断求出.f(x)exx32x2ax(x0)，【详解】因为exf(x)0ax2x2令令，则，xexg(x)x22x(x0)，xexex2x32x2(ex2x22)(x则g(x)注意到e，x2x，解得，x2x20，令g(x)0x1g(x)0g(x)单调递增，所以当x1时，，第6页/共23页g(x)0g(x)单调递减，当0x1时，，g(ge1x，且当趋近于或0都趋近于，g(x)时，则若f(x)在有2个不同零点的充要条件为函数yg(x)ya与图象在第一象限有2个交点，所以ae1，即f(x)有2个零点的充要条件为ae1，若符合题意，则对应的取值范围为e的真子集，结合选项可知：A错误，BCD正确；故选：BCD.11.已知抛物线C:y4x的焦点为F,Ox轴交于点MM的直线l与抛物2线交于不同两点，则下列说法正确的是（Ax,y,Bx,y2）112A.5B.存在50C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆π5πD.当△ABF的面积为42时，直线l的倾斜角为或66【答案】AD【解析】x1AB的方程为断ACD，求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.【详解】对A，由题意得，准线方程为x=1，则y0，M1,0F1,0显然当直线AB的斜率为0，即直线AB的方程为，此时不合题意，x1设直线AB的方程为，y24x，得y2440，16m160，解得m1或m1，2联立抛物线方程yy4myy4214x224xyy161x1616xx2xx1，，则1yy，，，，则，121212122122x,y1,y，，122则OAxxyy145，A正确；1212对B，当直线AB与抛物线相切时，最大，则16m2160，解得m1，根据抛物线对称性取m1分析：第7页/共23页yx145，因此不存在50，B错误；此时直线方程为，此时直线斜率为，则1对C，假设存在以AB为直径且经过焦点F的圆，则0，xy,xFAxxyy0y21212，则，112xxxxyy10x211m124m2y22即即，,121212112，即24m240，mm1或m1，2，满足2xxyy021212即存在以AB为直径且经过焦点F的圆，C错误；121y212yy24yy16m21642S，m3，对D，ABF12122π5π3，则直线l的倾斜角为，故D正确.此时直线斜率为或366故选：AD.ABCDCDAE的中点，M是线段上的一点，则下112.如图，在边长为1的正方体中，E是111111列说法正确的是（）A1ACM平面A.当M点与点重合时，直线1B.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值第8页/共23页5C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面CCDD夹角的正弦值为1137AE1ACMABCD所得截面面积为1D.当M点为线段中点时，平面截正方体111【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC建立空间坐标系进行判断，对D作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出.1//CC,1,C,C四点共面，1【详解】对A，因为，所以点1A1平面ACM，故A正确；当M点与点重合时，直线1对B，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，12A1,0,0C0因为E为CD中点，则设1，tM1t,t,1，，，1AMt,tDA1,0,0AC0则，，，xy0ACm0mx,y,zACM设平面的方向量为，则，即，txtyz0AMm0y1，则xztt，m，所以令DAm11d，显然不是定值，故B错误；则点D到平面ACM的距离m2t1212t22121,0,0，1对C，当M点与E点重合时，由B知此时t，m，平面CCDD的法向量112第9页/共23页mn123cosACMCCDD夹角为mn2设平面与平面，1，11122122235则sin1，故C正确；3ACACBD1A的方向平移，直至该直线经过点M，交于点1对D，连接，并在上底面内将直线沿着111111CDN，P，交于点111//CC1CCAACCAC//AC因为，，所以四边形为平行四边形，所以，111111PN//CMPN，因为，所以//，因为点1ACMABCDAPNC所得的图形为四边形，所以平面截正方体1111D不妨以为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，11211,则A1,E,0中点，则AE1M，因为M为线段，142PN//Ck1，设直线PNyxb，代入点M坐标得根据直线，则的方程为，则点P位于线段C111343b，解得byxADA的四分之一等分点处，且靠近点，1，则11244NCD的四分之一等分点处，且靠近点11点位于线段，1231174PN2，2//，则CN12，AC，结合442324222ACPN2174668APNCAP2则四边形为等腰梯形，则其高为,2123466733则S梯形APNC22，故D正确.832故选：ACD.第10页/共23页【点睛】关键点睛：本题BC选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对D选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．aba2b513.已知向量a,b满足，则ab________．4【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.ab52ab3，【详解】由，得ab24ab25，而ab则4494b25，所以.4故答案为：43πxfx2asinxcosxbxab014.已知的部分图象如图所示，当时，4的最大值为________．fx第11页/共23页【答案】3【解析】3π【分析】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上fxfx4的最大值.【详解】因为fx2asinxcosxbxasinxbxab0，fxAsinxA0,0设，ππ6122π2π由图可知，函数的最小正周期为T4π，则2，fxTπfxfx22fx2sin2x，又因为A2，则22π12π6π6f2sin2，可得sin1，因为ππ2π所以，Z，则2πk2πkZ，6232π2πfx2sin2x则2π2sin2x，333π2π2π13π0x2x当时，，43362π3故fx22sin3.32故答案为：3.x22y22ab0)的直线交椭圆于P,Q15.已知点F为椭圆ab3FPFQFPFQ两点，，则该椭圆的离心率为________．【答案】31##13【解析】△OFPQ【分析】分析得四边形为矩形，则得到为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.FQ，Fc【详解】令椭圆的左焦点为，半焦距为，分别连接FP，1第12页/共23页FPFQFPFQQ为矩形，由而，得四边形πFOP△为正三角形，所以|c，FPcOFP，则，3c2aPF|PF(3ce31，，则椭圆离心率为a故答案为：31.的前项和为，且Sn1，记，则nanSn2anna21a22a23a2n16.已知数列________；n若数列满足bT20n3，则bbbLb的最小值是________．bnnn123n41n【答案】【解析】①.②.3为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通aannanS【分析】由与的关系推导出数列nT所有非正数项，bnbnnbbbLb的最小值.n即可求得123【详解】因为数列的前项和为，且S2a1，annSnnn当n1时，则aS2a1a1，解得，1111S2a1S可得n12n11，a2a当n2时，由nna2a2a上述两个等式作差可得，则，n1nnn1n所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列，则a12n12n1，nana2n14na2n4n14，且a1，21所以，，则2n4n1a第13页/共23页114n41nn所以，n1222322，143bT20n34n20n4，nn则bn4n120n144n20n43420n，n1当n1时，bb0，即bb，1221当n2时，，则，故数列从第二项开始单调递增，bnbn1n34n200bbnn1b2001b0b，34因为，且bbbLbbbb2028048.123所以，的最小值为123n4n1故答案为：；.3四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15//CD,ABBCCD417.在梯形ABCD中，为钝角，，sinBCD．4cosBDC（1）求；（2）设点E为AD的中点，求的长．7【答案】（1）；834（2）2【解析】1）在△BCD中利用余弦定理求出BD，再利用二倍角的余弦公式计算即得.（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出的长.【小问1详解】ABCD//CD,为钝角，得BCD在梯形中，由是锐角，1415在△BCD中，sinBCD，则1sinBCD2，BCD41BD22422244，即△BCD为等腰三角形，由余弦定理得4第14页/共23页78coscos(π2BCD)2BCD12BCD2所以.【小问2详解】12(BABD)，//CDEADBE由，得，由点为的中点，得|BE22121734BABD2BABD2242224所以.282的公差为，前项和为，满足Sn．annS4SS18.已知首项为正数的等差数列212（1）求数列的通项公式；ann1（2）令bnπb，求数列的前项和n．nnnaann1a2n1n【答案】（1）1111nTnn，当为奇数时，Tn.（2）当为偶数时，2n332n33【解析】na11）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；n（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【小问1详解】由题意得是公差为2的等差数列，且SSS，an4124a12a2a2，又因为a01a3，所以，1即111所以数列的通项公式aa(nd2n1.n1an【小问2详解】4n12n12n311由（1）知bnπnπ，n2n12n31111113557791111nnT当当为偶数时，为奇数时，，n2n12n32n33111111TTn,(n，nn12n332n132n12n3第15页/共23页11经检验，n1时，满足Tn，2n3311n综上，当为偶数时，Tn，2n3311nTn当为奇数时，.2n3319.“双碳目标”“双碳目标”6年产值情况，数据如下表所示：年份编号x2018201920202021202220231923456产值y/百万辆1830515980（1）若用模型0.01yaebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，66iixu80.58uy．ii参考数据：，其中ii1i1参考公式：对于一组数据x,yi,n)i，其经验回归直线ˆbxˆ的斜率截距的最小二乘估计ˆinxynxyiiˆ分别为bi1n,ˆybx．i2nx2i1y1.980.43x【答案】（1）（2）答案见解析【解析】1）令uyaebxa，利用最小二乘法求出，即可得解；XH5,8可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可（2）分析可知，利用超几何分布求第16页/共23页【小问1详解】令uyaebxa12345620.886x3.5，u3.48，66xunxuii80.5863.53.48345663.5ˆbi10.43，则6122222222i2nx2i1ˆ3.480.433.51.98，所以ˆ，yaebxe1.98e0.43x1.980.43xe所以【小问2详解】X2,3,4由题意得，C1C5483351Px1，，，C7014C25CC23307037Px248C35C1330703Px3C487C45CC0351Px4，487014分布列为：X1234137371P45EX2.5数学期望820.如图，四棱锥P中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAP，ABAD,ABAD2,CDA45．第17页/共23页PBC（1）若E为PB的中点，求证：平面平面ADE；．6（2）若平面PAB与平面所成的角的余弦值为6（ⅰ）求线段AB的长；（ⅱ）设G为内（含边界）的一点，且GBGA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．【答案】20.证明见解析；321.（ⅰ）2ⅱ）π.3【解析】1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得.（2AABtt并确定轨迹求解即得.【小问1详解】PPAABCD，ADABCDPAAD，则，在四棱锥中，底面平面ABAD,ABPA,AB,PAADPAB，又平面PAB，而平面PAB，于是平面ABAPEAEPB,AEAD,AE,AD平面ADE，则ADPB，由，为PB的中点，得因此PB平面ADE，而平面，PBC所以平面【小问2详解】（ⅰ）由（1）知，直线AB,AD,两两垂直，平面ADE.x,y,z以点A为原点，直线AB,AD,分别为轴建立空间直角坐标系，第18页/共23页过C作CFAD于F，由CD2,，得CFDF1，令t(0t，PtD6t,Ct,0)(0,6t,tCD(，则，nPD(6t)ytz0yt，得nt,t,6t)，设平面的法向量n(x,y,z)，则，令nCDxy0由AD平面PAB，得平面PAB的一个法向量m0)，|mn|t1|cos,nt0t120，而，解得依题意，，整理得t2|m||n|22(6t)26ttt2，所以线段AB的长为2.（ⅱ）显然平面PAD，而平面PAD，则，又，BG2AG233233(2AG)2AG222，解得AG，因此点G的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆的于是1，412333所以点G的轨迹的长度为ππ.23B2,0MC于点Q21.已知点M为圆C:(x2)2y24上任意一点，的垂直平分线交直线．（1）求Q点的轨迹方程；（2）设过点ClQ的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知PPA0，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．y2【答案】（1）x213（2）2，证明见解析.【解析】第19页/共23页1）利用双曲线定义即可得到其方程；（2）先得到特殊情况时2，再证明其对一般情况也适用.【小问1详解】连接QB‖||QC‖||QC|CMBC42)，则，Q点的轨迹是以点C，B为焦点的双曲线