第14讲 应用一元二次方程（解析版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第14讲应用一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；知识点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点二、一元二次方程应用题的主要类型1.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)2.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.考点一：用一元二次方程解决增长率问题例1．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率；(2)若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过3.4亿元？为什么？【答案】(1)该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为(2)能，该企业2023年的利润能超过亿元，理由见详解【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，增长率的问题．以及实数的混合运算．（1）设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x，根据题意列方程，解方程即可．（2）由（1）得出平均增长率，然后计算2023年的利润，然后比较一下即可得出结论．【详解】（1）解：解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x，根据题意列方程：解得：，（不合题意，舍去）答：该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为（2）能，理由：若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润为：该企业2023年的利润能超过亿元【变式1-1】（2023上·广东肇庆·九年级统考期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台．(1)求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？(2)按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？【答案】(1)2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是；(2)预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据2021年某款新能源车销售量为20万辆，到2023年销售量为45万辆，若年增长率不变，可得关于的一元二次方程；（2）利用（1）中所求，进而利用2024年出口量年出口量增长率），即可得出答案．【详解】（1）解：设年平均增长率为，根据题意可列方程：，解得：，（不合题意舍去），答：2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是；（2）解：由（1）得，（万，答：预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．【变式1-2】（2023上·辽宁·九年级沈阳市第七中学校联考期末）随着新能源技术的提高，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．沈阳某店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车50辆，3月份销售了72辆．(1)求该店这两个月的月平均增长率；(2)若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五入）【答案】(1)月平均增长率为(2)4月份卖86台【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出方程解题关键．（1）设该店这两个月的月平均增长率为，利用增长率公式得出方程求出答案；（2）用四月份的销售量=三月份的销售量+四月份的增长量得出结论．【详解】（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：该店这两个月的月平均增长率为；（2）解：（辆），答：4月份卖86台．【变式1-3】（2023上·天津·九年级统考期末）为了振兴乡村经济，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，八月份销售蜂蜜400瓶，九、十两月这种蜂蜜销售量持续增加，十月份的销售量达到576瓶．(1)设九、十两月的销售量的月平均增长率x，九月份销售量为______，十月份销售量为_______，（均用含x的式子表示）(2)列方程求九、十两个月的销售量月平均增长率．【答案】(1)；(2)九、十两个月的销售量月平均增长率为【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程解答即可；弄清题意准确列出方程是解题的关键．【详解】（1）解：设九、十两月的销售量的月平均增长率x，由题意得，九月份销售量为，十月份销售量为；故答案为：；（2）依题意，得，解得：，（不符合题意，舍去）．答：九、十两个月的销售量月平均增长率为20%．考点二：用一元二次方程解决传播问题例2.（2023上·新疆昌吉·九年级校考阶段练习）有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病．(1)求平均一只鸡传染几只鸡？(2)按此传播速度，经过3轮传染后共有多少只鸡受到传染？【答案】(1)平均一只鸡传染只鸡(2)经过3轮传染后共有729只鸡受到传染，【分析】本题考查了一元二次方程的应用；（1）设每轮传染中只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，根据有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有只鸡患上该种传染病，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，（2）将，代入中即可求出结论．【详解】（1）解：设每轮传染中只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，依题意得：，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，答：平均一只鸡传染只鸡．（2）解：依题意，，答：经过3轮传染后共有729只鸡受到传染．【变式2-1】（2023上·河北张家口·九年级统考期末）“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是人．【答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“每两个人都握一次手，所有人共握手10次”，列式求解即可．【详解】解：设有人参加聚会，根据题意得，，整理得，解得（舍去），．所以有5人参加聚会．故答案为：5．【变式2-2】（2023上·湖南湘西·九年级校考期中）随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时，因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？【答案】平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意列方程求解．设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求出x的值，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．【详解】解：设平均一人传染了x人，，解得（不符合题意，舍去）经过三轮传染后患上流感的人数为：（人），答：平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感．【变式2-3】（2023上·河南南阳·六年级校考阶段练习）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)某药房最近售出了普通医用口罩和医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于医用口罩的5倍，每盒医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了6个人(2)售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是找到等量(或不等量)关系，列方程或列不等式．（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，列方程求解；（2）设售出的医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是盒，根据题意得列不等式得到，设总销售额为y元，根据题意得到，根据一次函数的性质得到结论．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．由题意，得解得，．经检验，符合题意．答：每轮传染中平均一个人传染了6个人．（2）设售出医用口罩的盒数是a盒，则售出普通医用口罩的盒数是盒．总销售额为y元．由题意，得，解得．．∵，∴y随a的增大而增大．∴当时，y有最大值，此时．答：售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多．考点三：用一元二次方程解决数字问题例3.（2023上·河南信阳·九年级校联考阶段练习）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是岁．【答案】36【分析】设个位数字，则十位数字为，根据个位平方与寿符，列出一元二次方程进行求解即可．【详解】解：设个位数字，则十位数字为，由题意，得：，整理，得：，解得：，当时，两位数为：；当时，两位数为，∵而立之年，∴25不合题意，舍去；∴周瑜去世时的年龄是岁；故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．【变式3-1】（2023上·四川泸州·九年级统考期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方解决数字问题，设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据个位平方与寿同列式即可得到答案；【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是x，由题意可得，，故选：C．【变式3-2】（2023上·河南驻马店·九年级统考阶段练习）苏轼在《念奴娇－赤壁怀古》中写道：遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发．羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭．根据资料，周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方等于去世时的年龄．若设周瑜去世时年龄的十位数为，则根据题意可列出方程．【答案】【分析】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的个位数为，结合个位数的平方等于他去世时的年龄，可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的十位数为x，∴他去世时年龄的个位数为，根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式3-3】（2023上·辽宁·九年级统考期中）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．【答案】两位数为92或29【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为，，解得：，当时，两位数为92，当时，两位数为29．答：两位数为92或29．考点四：用一元二次方程解决营销问题例4.（2023下·八年级课时练习）今年大德福超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长率．(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？【答案】(1)四、五这两个月销售量的月平均增长率为(2)当商品降价5元时，商场月获利元【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x，则四月份的销售量为件，五月份的销售量为件，再根据五月份的销售量为400件列出方程求解即可；（2）设商品降价m元时，商场月获利元，则月销售量为件，每件的利润为，再根据总利润每件利润销售量列出方程求解即可．【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，解得或（舍去），∴四、五这两个月销售量的月平均增长率为；（2）解：设商品降价m元时，商场月获利元，由题意得，，整理得：，解得或，∴当商品降价5元时，商场月获利元．【点睛】，【变式4-1】（2023上·河南商丘·九年级校联考阶段练习）2023河南省消费帮扶“土特产”产销对接专项行动在漯河市隆重开幕，此次活动以“打造‘土特产’名优品牌，赋能乡村产业振业”为主题，吸纳全省各地市的商户前来参展．某商场从展销会签订合同购进某种特产商品，每件进价为100元．经调查发现，若每件售价为150元，平均每天售出60件；当特产商品售价每降低1元时，商品平均每天可多售出3件．(1)当特产商品售价降低5元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元．(2)为了减少库存，当每件特产商品降价多少元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元？【答案】(1)75；3375(2)当每件特产商品降价20元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元【分析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题．（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可；（2）设每件特产商品降价x元，则每件特产商品的销售利润为元，每天可售出件．根据“每天可盈利3600元”即可列出方程，求解即可．【详解】（1）当特产商品售价降低5元时，销售量为：（件），每天盈利：（元）．故答案为：75，3375（2）设每件特产商品降价x元，则每件特产商品的销售利润为元，每天可售出件．根据题意，得，整理，得，解得．为了减少库存，则．答：当每件特产商品降价20元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元．【变式4-2】（2023上·广东东莞·九年级校联考期中）海战博物馆在2021年共接待游客达10万人次，预计在2023年将接待游客达12.1万人次．(1)求海战博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率．(2)海战博物馆销售一款水果茶，每杯成本价为6元，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，设每杯降价a元，为了每天利润达到6300元，又能让顾客获得最大优惠，求每杯水果茶的定价．【答案】(1)博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程；（1）设博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是，可得：，即可解得博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是；（2）设每杯降价为a元，可得：，解得或，又让顾客获得最大优惠，即知当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额．【详解】（1）解：设博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是，根据题意得：，解得，（舍去），答：博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是；（2）设每杯降价为元，根据题意得：解得或，∵让顾客获得最大优惠，∴取5，定价为：元，答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额．【变式4-3】（2023上·河北张家口·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？②能不能一天获得520元的利润？请说明理由．【答案】(1)(2)①3元；②不能，理由见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．（1）设下降的百分率是，利用经过两次降价后的价格原价（两次下降的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）①设每件应降价元，根据“每天获得504元的利润”列出一元二次方程，解方程即可；②设每件应降价元，根据“一天获得520元的利润”列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设下降的百分率是，由题意得：，解得，（舍去），答：下降的百分率是；（2）解：①设每件应降价元，由题意得：，解得，，要尽快减少库存，每件应降价3元；②不能，设每件应降价元，由题意得：，整理得：，，方程没有实数根，不能一天的利润是520元．考点五：用一元二次方程解决动态几何问题例5.（2023上·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以的速度向D移动．(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为；(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是．【答案】(1)P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为(2)从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是【分析】此题考查了图形与动点问题，勾股定理，解一元一次方程，解一元二次方程：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，根据梯形面积公式列方程求解即可；（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，作，垂足为E，求出，由勾股定理，得，求解即可．【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，则，，根据梯形的面积公式得，解之得，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，作，垂足为E，则，∵，∴，由勾股定理，得，解得．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是．【变式5-1】（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，那么出发后秒时，线段的长度等于．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设出发后秒时，线段的长度等于，可列出方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．【详解】解：设出发后秒时，线段的长度等于，依题意得，，整理得，，解得（不符合题意，舍去），，∴出发后秒时，线段的长度等于，故答案为：．【变式5-2】（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答：(1)经过几秒后的面积等于？(2)的面积能否等于，并说明理由？【答案】(1)；(2)不能，理由见解析．【分析】（1）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，的面积即可求解．（2）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，和（1）一样，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，表示出的面积列方程求解即可求解．【详解】（1）解：设动点运动秒后的面积等于，的高为，∵点P以从A点出发，秒后，，，；点Q以从B点出发，秒后，，过点作的垂线，则即为的高；又∵，∴的高即为的一半，∴．．当的面积等于，即，解得：，（舍去）．（2）当时，即，，此时方程无实数根，∴的面积不能等于．【变式5-3】（2023上·内蒙古包头·九年级校考阶段练习）如图，中，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为．(1)运动几秒时，为等腰三角形？(2)t为何值时，的面积等于面积的？(3)在运动过程中，的长度能否为？试说明理由．【答案】(1)运动秒时，为等腰三角形(2)t为或秒，的面积等于面积的(3)不能，理由见详解【分析】本题考查了动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，特别是（2）注意分类讨论．（1）根据列方程求解即可；（2）根据的面积等于面积的，列出关于t的方程，解方程即可；（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，的长度能否为．【详解】（1）解：经过t秒后，若为等腰三角形，则，即则，解得：，∴运动秒时，为等腰三角形；（2）解：当的面积等于等于面积的，即整理得：，解得：，∴经过或秒后，的面积等于面积的；（3）解：不能，过程如下：∵，∴，整理得：，∵，∴此方程无实数解，∴在运动过程中，的长度不能为．考点六：用一元二次方程解决与图形有关的问题例6.（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？【答案】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，通过平移，四块草坪可以拼成一个矩形，设道路的宽为，则拼成矩形的长和宽分别为，，根据草坪的面积是列一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设道路的宽为，由题意得，整理，得，解得，（不符合题意，舍去）．答：道路的宽为．【变式6-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，为美化庭院，某小区要利用一面墙（墙足够长），用30米长的篱笆围成一个矩形绿地，设矩形的两邻边长分别为x米和y米，且(1)请直接写出y与x之间的函数关系式(2)根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是100平方米，求矩形的两条边长各为多少米？【答案】(1)(2)矩形两边长为5米和20米【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的运用，一元二次方程的运用．（1）根据矩形的周长公式建立等量关系，然后将y表示出来就可以了．（2）根据矩形的面积公式建立方程，再解答这个方程求出符合题意的x的值，根据第（1）问的结论即可得出y的值．【详解】（1）解：由题意得：，；（2）解：，，即，，，即，，，，答：矩形两边长为5米和20米．【变式6-2】（2023上·黑龙江鸡西·九年级统考阶段练习）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．(1)求道路的宽是多少米？(2)该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元【答案】(1)道路的宽为米(2)每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．（1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；（2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可；【详解】（1）解：根据道路的宽为米，，整理得：，解得：（舍去），，答：道路的宽为米．（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，根据题意得：，整理得：，解得，答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．【变式6-3】（2023上·云南昆明·九年级校考期中）2025年起，云南省新高考将采用“”新模式，改革对生物学科提出了更高的要求．云大附中星耀学校高中生物组为培养同学们观察实验现象，归纳实验规律的能力，在新校区内建立了一块矩形的生物实验田，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分需要用总长为28米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如下图所示）．设实验田的宽为x米．(1)该实验田的长为多少米（用含x的式子表示）？(2)若实验田的面积为72平方米（栅栏的占地面积忽略不计），则该实验田的宽是多少米？【答案】(1)实验田的长为米(2)当围成的实验田面积为72平方米时，该实验田的宽为6米【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式．（1）根据各边之间的关系，可得出长为米；（2）根据围成的实验田的面积为72平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：∵栅栏的总长为28米，实验田的前端各设计了两个宽1米的小门，且实验田的宽为x米，∴长为米，答：实验田的长为米；（2）解：根据题意得：，解得：．当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意．答：当围成的实验田面积为72平方米时，该实验田的宽为6米．考点七：用一元二次方程解决工程问题例7.（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)的值为10【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式7-1】（2023上·重庆合川·九年级统考期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案．（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案．【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意，可得，解得，．答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．（2）根据题意，可得，整理得，，解得：，，∵，∴，∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．【变式7-2】（2023下·八年级课时练习）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【变式7-3】（2023下·全国·八年级专题练习）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．【答案】(1)300(2)5【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：，解得：，答：小型设备的使用时间为300小时；（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，∴，整理得：，解得：（舍去）．即m的值为5．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．考点八：用一元二次方程解决行程问题例8.（2023上·山东枣庄·九年级校联考期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．(1)甲运动后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？【答案】(1)(2)它们运动了秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键．（1）将代入，计算求解即可；（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可．【详解】（1）解：当时，，答：甲运动后的路程是；（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，∴，整理得，，∴，解得，或（舍去）．答：它们运动了秒．【变式8-1】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级呼和浩特市实验中学校考期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少(2)小球滚动约用了秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，答：小球的滚动速度平均每秒减少．（2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为，由题意得：，整理得：，解得：或，当时，，不符题意，舍去，，答：小球滚动约用了秒．【变式8-2】（2023上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小凤每分钟跑多少米？(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟；(2)小凤从地到地锻炼共用70分钟．【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可；（2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可．【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分，根据题意，得，解得，经检验是原方程的解，原方程的解为，∴小凤的跑步速度为每分钟，答：小凤的跑步速度为每分钟；（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分，则小凤从地到地所用时间为（分钟）．设小凤从地到地用时分钟，根据题意，得，解得或（舍去），则（分钟）．答：小凤从地到地锻炼共用70分钟．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键．【变式8-3】（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；

(1)求与之间的函数关系式；(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．【答案】(1)(2)该车刹车后秒内向前滑行了米【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：将点，代入，，解得：，∴与之间的函数关系式为；（2）解：依题意，，，，则依题意，，即解得：或（舍去）答：该车刹车后秒内向前滑行了米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键．一、单选题1．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程．【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据题意有：，故选：A．2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）《2024年春节联欢晚会》节目统计，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，．故选：B．3．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系．设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程．【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：，故选：D．4．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，设，，假设存在点，且，则，在中，，在中，，，，即，整理得，，又，即，，，，，方程无解，即点不存在．故选：D．二、填空题5．（2024八年级下·浙江·专题练习）某数学竞赛组，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张，则该组的人数是．【答案】10【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．设该组的人数是人，则每个人需要照张相片，根据“每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该组的人数是人，则每个人需要照张相片，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），该组的人数是10，故答案为：10．6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是．【答案】12【分析】此题主要考查了图形的规律以及解一元二次方程，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．根据前4个图形中棋子的个数找出一般规律，然后利用规律求解即可．【详解】解：∵第1个图形中棋子的个数为；第2个图形中棋子的个数为；第3个图形中棋子的个数为；第4个图形中棋子的个数为；…∴第n个图形中棋子的个数为．∴，解得，（舍去），故答案为：12．7．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为．图1

图2【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确表示阴影部分，空白部分的面积是解题的关键．如图，由题意知，，设，依题意得，，由，，可得，即，可求，由，可得，即，计算求出满足要求的解，进而可求的值．【详解】解：如图，由题意知，，设，依题意得，，∵，，∴，∴，解得，或（舍去），∵，∴，即，解得，或（舍去），∴，故答案为：．8．（23-24九年级下·江西赣州·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，，则每个直角三角形的面积为．【答案】24【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．根据勾股定理以及可列一元二次方程，求解即可．【详解】解：由勾股定理得，而∴，且a、b均为正数，解得：，则，∴每个直角三角形的面积为，故答案为：24．三、解答题9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元．(2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？(3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．【答案】(1)30，1050(2)每件衬衫应降价20元(3)无法达到，理由见解析【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答．（2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）．故答案为：30，1050；（2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得，解得，，∵要尽快减少库存，∴，答：每件衬衫应降价20元；（3）设每件衬衫应降价x元，化简得，，∴方程无实根，∴1400元的利润无法达到10．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？【答案】(1)(2)2592【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；（2）根据题意列式计算即可．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．∴该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）（个）．∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．11．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工