专题03 分式与分式方程（解析版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

专题03分式与分式方程目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一分式、最简分式、分式方程的定义】 2【考点二分式有无意义及分式的值为0】 4【考点三利用分式的基本性质判断分式值的变化】 6【考点四求使分式值为整数时未知数的整数值】 8【考点五求分式值为正、负数时未知数的取值范围】 9【考点六分式加减乘除混合运算】 11【考点七分式化简求值】 13【考点八与分式有关的新定义型问题】 14【考点九解分式方程】 18【考点十根据分式方程有增根求参数】 20【考点十一根据分式方程有无解求参数】 21【考点十二根据分式方程根的情况求参数的范围】 23【考点十三不等式组与分式方程综合的参数问题】 24【考点十四与分式、分式方程有关的规律探究问题】 27【考点十五不等式与分式方程的实际问题】 33【过关检测】 361.分式的意义2.分式的基本性质3.分式的运算4.分式方程5.列一分式方程解实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数，找等量关系式；（3）设元，根据等量关系式列分式方程；（4）解分式方程，检验并作答。考点剖析【考点一分式、最简分式、分式方程的定义】例题1：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在，，，，，中，分式的个数有（

）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查了分式的定义．判断一个式子是否为分式，关键在于看其分母是否含有字母，然后对题中的式子进行判断即可．【详解】解：，，的分母中都不含字母，都不是分式，，，的分母中都含字母，都是分式，共3个，故选：B．例题2：（22-23八年级上·山东济宁·期末）下列各分式中，是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：．是最简分式；B.，不符合题意；C.，不符合题意；D.，不符合题意；故选A．例题3：（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列方程中，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．【详解】解：A.该方程是一元一次方程，不符合；B.该方程是分式方程，符合；C.该方程是一元一次方程，不符合；D.该方程是二元一次方程，不符合；故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．【变式训练】1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中分式的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数．【详解】解：①是分式，符合题意；②不是分式，不符合题意；③是分式，符合题意；④不是分式，不符合题意；⑤不是分式，不符合题意；∴分式一共有2个，故选：B．2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键；因此此题可根据“分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式”进行求解即可【详解】解：，，，都不是最简分式，，，是最简分式，故选：B．3．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式方程的定义判断即可．【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．【考点二分式有无意义及分式的值为0】例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（

）．A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1【答案】A【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可．【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意；B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意；C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意；D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意．故选：A．【变式训练】1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不等于0求解即可得到答案；【详解】解：∵分式有意义，∴，解得：，故选：C．2．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项C、D，然后把代入A、B选项计算即可判断．【详解】解：当时，，则分式，无意义；，则分式，有意义，故排除选项C、D，当时，，，故选项A符合题意，选项B不符合题意，故选：A．3．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当时，的值为0B．当时，有意义C．无论x为何值，的值不可能是正整数D．无论x为何值，总有意义【答案】D【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，平方的非负性．掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据当时，分式无意义可判断A；根据当时，分式无意义可判断B；根据当时，分式可判断C；根据平方的非负性可知，即无论x为何值，总有意义可判断D．【详解】解：A．当时，分式无意义，故该选项错误，不符合题意；B．当时，分式无意义，故该选项错误，不符合题意；C．当时，分式，为正整数，故该选项错误，不符合题意；D．因为无论x为何值，即，所以分式总有意义，故该选项正确，符合题意．故选D．【考点三利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（22-23八年级上·内蒙古乌海·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：C．【变式训练】1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子或分母同时乘以或除以一个相同的不为0的数或式子，分式的值不变，据此求解即可．【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意；B、，原式变形错误，不符合题意；C、，原式变形错误，不符合题意；D、，原式变形正确，符合题意；故选：D．2．（23-24八年级上·山东德州·期末）把分式中的和分别扩大为原来的2倍，则分式的值（

）A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的 D．不变【答案】C【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．将原式中的a换为，将b换为，根据分式的性质进行化简即可．【详解】解：把分式中的a和b分别扩大为原来的2倍，即，则分式的值缩小为原来的，故选：C．3．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如果把分式中的m，n都变为原来的2倍，那么分式的值（）A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍C．变为原来的 D．不变【答案】C【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质计算即可．【详解】解：，即分式的值变为原来的，故选：C．【考点四求使分式值为整数时未知数的整数值】例题：（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为．【答案】0或/或0【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或，然后分别求解，即可确定的整数值．【详解】解：若分式的值为整数，则或或，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，若取整数，则的整数值为0或．故答案为：0或．【变式训练】1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为．【答案】【分析】本题主要考查了分式的值，分式的值为正整数，则或或或，据此求出满足题意的整数x的值，再求和即可．【详解】解：∵分式的值为正整数，∴或或或，∴或或或，∴所有满足的整数x的值的和为，故答案为：．2．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是．【答案】8【分析】化简得到，根据题意得到或7，即可得到答案．【详解】解：，∵代数式的值也是整数，为大于1的正整数，∴或7，当时，，当时，，∴可取的最大整数值是，故答案为：．【点睛】此题考查了分式的值，解一元一次方程等知识，准确变形是解题的关键．【考点五求分式值为正、负数时未知数的取值范围】例题：（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是．【答案】或【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键．【详解】解：∵分式的值为正数，∴或，解得或，故答案为：或．【变式训练】1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若分式的值为负数，则的取值范围是．【答案】且【分析】根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意得：，，分式的值为负数，，，的取值范围是且，故答案为：且．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键．2．（22-23八年级上·黑龙江大庆·期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围．【答案】且【分析】根据分式的值为正数，那么分子与分母的符号相同，结合分子大于等于0进行求解即可．【详解】解：∵分式的值为正数，，∴，∴且，故答案为：且．【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，正确理解题意是解题的关键．【考点六分式加减乘除混合运算】例题：（23-24九年级上·四川泸州·期末）化简：【答案】【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的基本性质和运算法则即可求解．【详解】解：原式．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的化简计算．（1）按照通分，约分，化简计算即可．（2）按照通分，约分，化简计算即可．【详解】（1）．（2）．2．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．……第一步……第二步……第三步……第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【答案】任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括号没有变号；任务二：．【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．任务一：①根据通分的定义判断即可；②根据去括号法则判断即可；任务二：根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：一，分式的基本性质；②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号，故答案为：二，去括号没有变号；任务二：．【考点七分式化简求值】例题：（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）先化简再求值：，其中．【答案】；【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算进行计算后，再代值计算即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】解：，当时，原式．【变式训练】1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值．【答案】；当时，原式【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再根据分式的分母不为0，选取合适的的值，求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】解：原式，∵，∴，当时，原式．2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）先化简，再求值：，其中使得分式的值为．【答案】，【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式值为0的条件，先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求出x的值，最后代值计算即可．【详解】解：，∵使得分式的值为，∴，∴，∴原式【考点八与分式有关的新定义型问题】例题：（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”．例如分式与分式，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”．(1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？(2)小明在研究“互为关联分式”是发现：因为，又因为都不为0，所以，所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”．【答案】(1)不是“互为关联分式”(2)【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，分式的加减计算，分式的乘法，（1）根据关联分式的定义判断即可；（2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案．【详解】（1）解：．．所以．所以分式与分式不是“互为关联分式”．（2）设分式的“关联分式”为．那么．所以．所以．即分式的“关联分式”为．【变式训练】1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．(1)分式与___________互为“6阶分式”．(2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．（1）根据题中的新定义列出关系式，然后根据分式的加法进行通分计算即可；（2）根据题意首先利用倒数关系，将、进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断；【详解】（1）∵，∴分式与互为“6阶分式”．故答案为：（2）证明：∵正数x，y互为倒数，∴，即，∴则分式与互为“5阶分式”；2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数．【答案】(1)真；(2)；(3)．【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键．（1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可；（2）将分子写成，然后进行变形即可解答；（3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值．【详解】（1）解：∵的次数为0，x的次数为1，∴是真分式．故答案为：真．（2）解：．（3）解：，∵与x均为整数，∴或或1或，∴或或0或，∵，，，，∴，0，，1．∴．【考点九解分式方程】例题：（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）解分式方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查分式方程的解法；（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：去分母得：解得：经检验是原方程的解，所以原方程的解为．（2）解：去分母得：解得：经检验是原方程的解,所以原方程的解为．【变式训练】1．（23-24八年级上·四川凉山·期末）解分式方程(1)；(2)；【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．（1）根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为，即可求解；（2）去分母，去括号，合并同类项，化系数为，即可求解．【详解】（1）解：经检验，是原分式方程的解；（2）解：经检验，是原分式方程的增根，∴原分式方程无解．2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）解分式方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先把分式方程化为整式方程，再解的值，最后验根，即可作答．（2）先把分式方程化为整式方程，再解的值，最后验根，即可作答【详解】（1）解：经检验：是原分式方程的解（2）解：经检验：是原分式方程的解【考点十根据分式方程有增根求参数】例题：（23-24八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是．【答案】/【分析】此题考查了分式方程的增根，方程第二个分母提取变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为，即可求出的值．【详解】解：，去分母得：，解得：，∵方程有增根，∴，即，解得：，故答案为：．【变式训练】1．（22-23八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则的值是．【答案】【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值．【详解】解：，方程两边都乘，得，原方程有增根，最简公分母，解得，当时，，故答案为：．2．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为．【答案】【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．根据分式方程的增根的定义进行求解即可．【详解】解：∵分式方程有增根，∴，解得，故答案为：．【考点十一根据分式方程有无解求参数】例题：（22-23八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则．【答案】或/或1【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解．【详解】解：去分母并整理得（），①当时，该整式方程无解，此时；②当时，要使原方程无解，则（），即或，把代入整式方程，的值不存在，把代入整式方程，得．综合①②得或．故答案为：或．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的方程无解，则m的值为．【答案】【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】解：，，∵关于x的方程无解，∴或，∴或，∴．故答案为2．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）若关于的分式方程无解，则．【答案】2或6【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．解分式方程得，由题意得或，从而求出m的值．【详解】解：原方程去分母得：，解得：，∵分式方程无解，∴或，∴∴或，故答案为2或6【考点十二根据分式方程根的情况求参数的范围】例题：（23-24八年级上·四川凉山·期末）分式方程的解是非负数，则的取值范围为【答案】，且【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，由解为非负数求出的范围即可．【详解】解：，，分式方程的解是非负数，，且，解得：，且，故答案为：，且．【变式训练】1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确得出方程的解，并注意增根的情形是解题的关键；先把分式方程化为整式方程，在求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可．【详解】，，关于x的方程的解是正数，，解得：，m的取值范围是且．故答案为：且．2．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为．【答案】且【分析】本题主要考查分式方程，根据分式方程的解，可知，且．【详解】解关于的分式方程，得根据题意，得，且解得且故答案为：且【考点十三不等式组与分式方程综合的参数问题】例题：（23-24八年级上·河南周口·期末）若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为．【答案】36【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式（组）等知识，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式（组）的方法是解题的关键．根据不等式组有解，得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围；解分式方程可且，根据“为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的的值，相加后即可得到答案．【详解】解：解不等式组，可得，∵该不等式组有解，∴，解得，解分式方程，可得，且，∵为整数，且分式方程有正整数解，∴的值为9，12，15，∵，∴满足条件的所有整数的和为36．故答案为：36．【变式训练】1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．【答案】8【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解以及解分式方程．由关于x的一元一次不等式组的解集为，可得，由关于y的分式方程有非负数解，可得且，从而满足条件的所有整数a，再求它们的和即可得出答案．【详解】，解不等式①，得，解不等式②，得，∵关于x的一元一次不等式组的解集为，∴，解分式方程，得，∵该分式方程有非负数解，∴当时，且∴且，∴且，∴满足条件的所有整数a为：，，，，，，它们的和为：．故答案为：82．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为．【答案】【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组，首先解得不等式方程组的解，根据题意找到a的范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和a的范围求得a的可能值即可．【详解】解：由，解得，由，解得，则不等式方程组的解为，，∵关于的不等式组有且仅有3个整数解，∴，解得，去分母得，，去括号、移项得，，系数化为1得，，∵为分式方程的增根，∴，解得，∵关于的分式方程的解为整数，∴当时，；当时，，舍去；当时，舍去；当时，；则所有满足条件的整数的值之和为．故答案为：．【考点十四与分式、分式方程有关的规律探究问题】例题1：（23-24八年级上·广东汕头·期末）把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，请解答下列问题：(1)若，分别求、的值；(2)根据（1）中的规律，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查找规律，涉及异分母分式加减运算、解方程组等知识，读懂题意，准确找到规律是解决问题的关键．（1）通分，将化为同分母得分式运算，根据等式关系列方程求解即可得到答案；（2）由（1）中规律，由将式子各部分表示成“部分分式”，消去中间项即可得到答案．【详解】（1）解：，解得；（2）解：由（1）中可得．例题2：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数的式子表述上述规律，并写出它的解．【答案】3的解是第n个方程为，其解为【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．（1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可；（2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．【详解】解：（1）去分母得，去括号得：移项得：，合并同类项得：．检验，当时，，∴是原方程的解，故答案为：3；（2）由题意得，第⑤个方程为，其解为，故答案为：的解是；（3）①的解是；②的解是；③的解是；④的解是，……，以此类推，可知，第n个方程为，其解为，故答案为：第n个方程为，其解为．【变式训练】1．（23-24八年级上·北京石景山·期末）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；第5个：______．……(2)观察、归纳，发现规律，得出猜想：第n个等式可以表示为：______（n为正整数）．(3)证明（2）中的猜想．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】本题考查了分式的规律探索，分式加减运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键．（1）根据前4个等式的规律即可得；（2）根据前5个等式，归纳类推出一般规律即可得；（3）根据分式的减法、二次根式的性质化简即可得证．【详解】（1）解：第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；第5个：；故答案为：．（2）解：归纳类推得：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：；故答案为：．（3）证明：∵，，∴．2．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解．的解为，；的解为，；的解为，；……根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：(1)的解为_______；(2)关于x的方程的解为_______；(3)关于x的方程的解为_______．【答案】(1)，；(2)，；(3)，．【分析】本题考查了解分式方程．（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是；故答案为：；（2）解：猜想关于x的方程的解是，；故答案为：，；（3）解：方程变形得：，∴，可得或，解得：，．3．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题：方程的解为；方程的解为；方程的解为……．(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________；(2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______；(3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键．（1）根据已知材料即可得出答案；（2）根据已知材料即可得出答案；（3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可．【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，，故答案为：，；（2）关于x的方程的解是：，，故答案为：，；（3）解：，，，即，，解得：，，经检验：，是方程的解.【考点十五不等式与分式方程的实际问题】例题：（23-24八年级上·湖北随州·期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．(1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？【答案】(1)购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元(2)该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，找出等量关系即可列出方程，或找到不等关系列出不等式：（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元，根据“用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍”即可列出分式方程，求解后检验即可解答；（2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据“该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答．【详解】（1）解：设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得：，解得：，经检验，是该分式方程的解．∴答：购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元．（2）解：设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶．根据题意，得，解得：，∵n取整数，∴n的最大值为10，答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶．【变式训练】1．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中．必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分钟跳绳，每项满分15分．男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球．为适应学生体育课学习（课时数、考勤等）、日常参与体育锻炼．我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍．(1)求大、小两种跳绳的单价各是多少？(2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大跳绳最多可购买多少根？【答案】(1)小跳绳单价是元，大跳绳单价是元；(2)大跳绳最多可购买根．【分析】本题考差了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，根据题意找出数量关系是解题关键．（1）由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用均为元，设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案；（2）设大跳绳购买根，则小跳绳购买根，根据题意列一元一次不等式求解，最大整数解即为答案．【详解】（1）解：由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用相同，均为元，设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元，则，解得：，经检验，是原方程的解，，答：小跳绳单价是元，大跳绳单价是元；（2）解：设大跳绳购买根，则小跳绳购买根，由题意得：，解得：，可取的最大整数为，答：大跳绳最多可购买根．2．（23-24八年级上·天津红桥·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元(2)购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键．（1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可；（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用型单价型数量型单价型数量，列出不等式组，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案．【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，，答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元．（2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意得：，解得：，∵为整数，或15或16，∴该停车场共有3种购买方案：方案一：购买14个型充电桩、11个型充电桩；方案二：购买15个型充电桩、10个型充电桩；方案三：购买16个型充电桩、9个型充电桩；∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价，∴购买A型充电桩越多总费用越低，∴购买16个型充电桩、9个型充电桩总费用最少．【过关检测】过关检测一、单选题1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可．【详解】解：，形式为，且B中含有字母，是分式；，形式为，但B中不含字母，不是分式；，形式为，且B中不含有字母，不是分式；，形式为，且B中含有字母，是分式；

故一共有2个分式．故选B2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如果分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么下列说法中，正确的是（

）A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的C．分式的值扩大为原来的3倍 D．分式的值扩大为原来的9倍【答案】B【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【详解】解：∵，∴分式的值缩小为原来的．故选B．3．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）对于分式下列说法不正确的是（）A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数【答案】C【分析】根据分式的分子与分母的不同取值，进行判断即可．【详解】A、时，分式，A正确，但不符合题意；B、时，分式的分母为0，故分式无意义，B正确，但不符合题意；C、时，，则分式，分式值为正数，C不正确，但符合题意；D、时，，且，于是，D正确，但不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了分式的值为0、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为0时无意义．4．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（

）A．分式是最简分式 B．根据分式的基本性质，可以变形为C．分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变 D．分式的值为零，则的值为【答案】A【分析】本题考查了分式的有意义的概念，最简分式的概念，分式的基本性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据分式的有意义的概念，最简分式的概念及分式的基本性质，即可判断答案．【详解】选项A，正确，符合题意；选项B，当时，x不能出现在分母上，B选项错误，不符合题意；选项C，当，都扩大为原来的3倍时，分式的值也扩大为原来的3倍，所以C选项错误，不符合题意；选项D，当分式的值为零时，，所以D选项错误，不符合题意；故选：A．5．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）若关于的方程无解，那么的值是（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根．将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可；【详解】解：将分式方程变为整式方程得：．整理得：，∵原分式方程无解，∴，∴，解得：．故选A．6．（22-23八年级下·重庆开州·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A． B．3 C．6 D．2【答案】C【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有非负数解确定出整数a的值，进而求出之和即可．【详解】解：解不等式组得：，由不等式组的解集为，得到，分式方程去分母得：，解得：，，解得：由分式方程有非负数解，得到之和为6．故选：C．二、填空题7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）函数自变量x的取值范围是．【答案】【分析】此题考查了自变量的取值范围，利用二次根式和分式有意义的条件得到，即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，解得，故答案为：．8．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）若分式方程有增根，则．【答案】1【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数．先将分式方程转化为整式方程，根据增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的方程的解，得到，把代入整式方程，求出的值即可．掌握增根的定义，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵方程有增根，∴，∴，∴；故答案为：1．9．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是．【答案】8【分析】化简得到，根据题意得到或7，即可得到答案．【详解】解：，∵代数式的值也是整数，为大于1的正整数，∴或7，当时，，当时，，∴可取的最大整数值是，故答案为：．【点睛】此题考查了分式的值，解一元一次方程等知识，准确变形是解题的关键．10．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是．【答案】【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答．【详解】解：根据题意可得：第1个分式：，第2个分式：，第3个分式：，第4个分式：，第5个分式：，……第n个分式：，∴第10个分式为，故答案为：．11．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是．【答案】且【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是注意不能忽略分式方程的解必须使每个分式的分母不为0．先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程的解是正数，列出关于m的两个不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：，方程两边同时乘得：，，，，∵关于x的方程的解为正数，∴，解得：，∵分式方程有解，∴，即，解得：，∴m的取值范围是：且，故答案为：且．12．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式．【答案】【分析】本题考查了分式的混合运算和新定义，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键．先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．【详解】解：，故答案为：．三、解答题13．（23-24八年级上·河南周口·期末）解分式方程∶(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，并记住要检验是解本题的关键．（1）首先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再将所求的解代入最简公分母中检验，即可得解；（2）首先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再将所求的解代入最简公分母中检验，即可得解．【详解】（1）解：原方程可化为方程两边乘，得解得．检验：当时，，所以，原分式方程的解为．（2）解：原方程可化为方程两边乘，得解得检验：当时，，所以，原分式方程的解为14．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）先化简再求值，其中．【答案】【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再代值求解即可．【详解】解：原式，∵，∴．15．（23-24八年级上·山东聊城·期末）（1）计算：；（2）先化简，然后从，0，1，2中选取一个你喜欢的数作为x的值代入求值．【答案】（1）；（2）；时，原式【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．（1）根据分式加减运算法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可．【详解】解：（1）；（2），∵，，∴，2，把代入得：原式．16．（23-24八年级上·广西贺州·期末）某校为响应政府号召，准备购买甲，乙两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，甲种型号的单价比乙种型号的单价少50元，用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同．(1)求甲、乙两种型号垃圾桶的单价各是多少元？(2)若某校需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求所有不同的购买方式．【答案】(1)甲种垃圾桶的单价为500元，乙种垃圾桶的单价为550元(2)共有3种购买方式：①购买甲种型号的垃圾桶4个，乙种型号的垃圾桶2个；②购买甲种型号的垃圾桶5个，乙种型号的垃圾桶1个；③购买甲种型号的垃圾桶6个，乙种型号的垃圾桶0个【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．（1）设甲种垃圾桶单价是元，则乙种垃圾桶单价是元，根据用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买甲种垃圾桶个，则购买乙种垃圾桶个，根据总费用不超过3100元，列出一元一次不等式组，解不等式组，得，即可解决问题．【详解】（1）解：设甲种垃圾桶单价为元，则乙种垃圾桶单价为元，根据题意可得：，解得：，经检验：是所列方程的根，则．答：甲种垃圾桶的单价为500元，乙种垃圾桶的单价为550元；（2）解：设购买甲种垃圾桶个，则购买乙种垃圾桶个，根据题意得：，解得：．是正整数，当时，；当时，；当时，；∴共有3种购买方式：①