第11讲 勾股定理与锐角三角函数（题型训练）（解析版）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）-中考数学备考复习重点资料归纳

第11讲勾股定理与锐角三角函数

题型一勾股定理

1.（2021•福建・福州十八中九年级期中）若二次函数y=a^+bx+c的图像与x轴有两个交点A

和以顶点为C,且〃-4m=12,则NACB的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】解：令y=0,则

._-b±\Jb2-4ac_-b±A/T2

•»x----------------------,

2a2a

；.AB=\^-\.

a

Vb2-4ac=12,

（上_2

2aa

：.AC=,l（---b-y/n）2+（-）2=|—|.

V2aaa

由抛物线的对称性可知8c=|也I，

a

：.AC^BC=AB,

：./ACB=60。.

故选：C.

2.（2021•内蒙古呼和浩特•九年级期中）已知AB,CD是。。的两条平行弦，4B=8,CD=

6,。。的半径为5,则弦AB与C£＞的距离为（）

A.1B.7C.4或3D.7或1

【答案】D

【解析】①当弦A3和8在圆心同侧时，如图①，

图①

过点。作。尸，CQ,垂足为E交AB于点E,连接。A,OC,

,JAB//CD,

J.OEVAB,

AB=8,CD=6,

.\AE=4,CF=3,

"：OA=OC=5,

，由勾股定理得：£。=庐1=3,0F=代=4,

：.EF=OF-OE=\；

②当弦A8和CO在圆心异侧时，如图②,

图②

过点。作OE_LAB于点E,反向延长OE交AO于点凡连接OA,0C,

EF=OF+OE=1,

所以A8与CO之间的距离是1或7.

故选：D.

3.（2021.河南•洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCZ）中，点E

是48的中点，点尸是8c的中点，连接EF,G是）的中点，连接。G.在ABEF中，BE=2,

ZBFE=30°,若将ABEF绕点8逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段。G长的最大值是

（）

A

E

B

A.屈B.2MC.10D.12

【答案】C

【解析】解：如图，△3EF旋转到图中位置，连接跳入BG,

;在△BE/7中，NEBF=90°,BE=2,ZBFE=30°,

:.EF=2BE=4,BF=2y/3,

••・旋转前点E是A8的中点，点尸是8c的中点,

：.AB=CD=4,BC=4g,

：.BD=S.

,/在Rt48E尸中，点G是EF的中点，

/.BG=^EF=2.

在ABEF的旋转过程中，2G的长不变，

•.,在AOBG中，BG+B1AGD,

...当O,B,G三点共线且8点在。、G之间时，CG最大，此时，DG=BG+BD=2+S=]0,

...OG的最大值为10.

故选C.

4.（2021•浙江•杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C,。在以A8为直径的。。上，且

CO平分/ACB,若C£>=26,ZCBA=\5°,则AB的长是（）

【答案】B

【解析】解：过点。作OEJ_CD交于点E,连接OC,

张B

则CE=DE=^CD=73,

"：OC=OB,ZCBA=15°,

/.NOCB=NCR4=15。，

「AB是。。的直径，

/.ZACB=90°,

VCD平分NACB,

?BCD-?ACB45?,

2

・・・ZOCE=/BCD-ZOCB=45°-15°=30°,

设OE=x,则0C=2x,

在RIAOCE中，由勾股定理得，

oc2=OE2+CE2

（2X）2=%2+（V3）2

4x2=x2+3

3X2=3

x2=1

解得“=1,x2=-1（舍），

...OC=2,

：.A8=2<9C=2x2=4,

故选B.

5.（2021•浙江台州•九年级期中）如图，在R3ABe中,ZABC=90°,AB=BC,点灯在AABC

内一点，连接a,PB,PC,若NBAP=NCBP,且AP=6,则PC的最小值是（）

A.2夜B.3C.36-3D.372

【答案】D

【解析】把^BPC绕点、B逆时针旋转90。得到△ABPL连接PP'

则AP'=PC,BP=BP',NPBP'=90：NAP'B=NCPB

故APP'8是等腰直角三角形

NPP'B=45。

,:NBAiNCBP

：.ZBAP=ZABP,

：.BP,//AP

：.ZAPB=90°

当产、P、C在同一直线上，且AP，J_P'C时，AP'最短

NAP'B=900+45°=135°

N抬P'=180°-NAP'B=45°

...△A尸尸，是等腰直角三角形

：.AP=y/2AP'=6

:.PC=AP'=36

故选D.

6.（2021•陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABC。中，有一个

小正方形EFGH,其中点E、F、G分别在线段A3、BC、FD上,若BF=3,则小正方形的

边长为（）

【答案】C

【解析】解：在4BEF与^CFD中

•/Z1+Z2=Z2+N3=90。,

.■.Z1=Z3

VZB=ZC=90°,

:ABEFs/\CFD,

,:BF=3,BC=\2,

CF=BC-8F=12-3=9,

又'/DF=y1cD2+CF2=7122+92=15，

.BF_EFnn3_EF

CDDF1215

故选：C.

7.（2021.江西省临川第二中学九年级期中）如图，在Rt/XABC中，AB=AC,D,E是斜

边上两点，且NDAE=45。，将AADC绕点A顺时针旋转90。后，得到△AFB,连接EF,

下列结论：①AAED也AAEF；②AABEsMCD；③BE+DC=DE；®BE2+DC2=DE2.其

中正确的是（）

【答案】B

［解析］解：；XADC绕A顺时针旋转90。后得到△AFB,

：./\ABF^/\ACD,

.'.AF=AD,NCAD=NBAF,

,在直角三角形ABC中，AB=AC,

：.ZBAC=9O°,即NC4O+/R4£>=90。，

AZBAF+ZBA£>=90°,BPZMD=90°,

ZDAE=45°,

/.ZDAE=ZFAE=45°,

DA=FA

<ZDAE=ZFAE,

AE=AE

；.△△£'£>丝△4EF(SAS),故①正确,

与AO不一定相等,

；•若不一定与煞=1相等

，ZVIBE与^ACD不一定相似，②错误;

,?^AED^/XAEF,

:.DE=EF,

由旋转可知：△AOC^ZXAFB,

：.BF=CD,

'：BE+BF>EF=DE,

：.BE+DC>DE,③错误;

•.•在心ZkA8c中，AB^AC,

：.ZBAC=9Q°,ZABC=ZC=45°,

由旋转可知：NA8F=NC=45。,

Z£BF=90°,

.'.BEr+B^EF2,

:.BE+DC^DE?,④正确;

故选B.

8.（2021•浙江・杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，。。是以坐标原点。为

圆心，4五为半径的圆，点尸的坐标为（2,2）,弦AB经过点P,则图中阴影部分面积的

最小值为（)

A.8兀B.D.—Tr-Sy/3

33

【答案】D

【解析】解:由题意当OPJ_A'8'时,阴影部分的面积最小,

,：P(2,2),

：OA'=O8'=4四，

PAy/0B2-0P2=^（4A/2）2-（2V2）2=2显

2[2

tanZA'OP-tanZB'OP--==>/3，

2V2

・•・/A'OP=NB'OP=60。,

，4TO"120。，

.c_cc_1204・（4夜）i厂厂32万r-

・・3阴=3扇用OAWSXA'OB"=-------V------L__A,476.2V2=2丝-8V3，

36023

故答案为：D.

9.（2021•福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形A8CQ中，点从尸是对角线

AC上的两点，AB=GBC=26且EF=3C,点G是边A3上的中点，连接GE、DF.当

GE+。尸取最小值时，线段b的长是（）

【答案】C

【解析】解：取8C的中点“，连接G"、HF、HD,

;在矩形ABCD中，AB=8c=2石且EF=BC,

:.BC=2,EF=BC=2,

'.AC=JAB2+BC?={(2呵+2?=4，

•.•点G是边A8上的中点，点，是边BC上的中点，

：.GH=-AC=2,GH//AC,

2

:.GH=EF=2,GH//EF,

...四边形EGHF是平行四边形，

：.EG=HF,

：.GE+DF=HF+DF>DH,

...当H、F、D共线时，GE+。尸有最小值，最小值为。〃，如图:

在矩形A8c。中，C”〃A。，CH=-BC=-AI),ZDAC=ZHCF,

22

.,.△CF/7~AAFD,

.CFCH1

..---=----=—,

AFAD2

'：AC=4,

故选：C.

10.(2021・江苏•无锡市江南中学九年级期中)如图1,若4A8C内一点P满足//J4C=NP3A

=/PC8,则点尸为AA8C的布洛卡点，已知在等腰直角三角形。M中，如图2,NEDF

=90°,若点。为△OEF的布洛卡点，。。=正，贝IJEQ+尸。=()

A.4B.4+2V2C.2+72D.2+2&

【答案】D

【解析】解：如图2,在等腰直角ADE尸中，

Z£DF=90°,DE=DF,EF=yf2DF,ZDEF=ZDFE=45°,Z1=Z2=Z3,

ZI+ZQEF=Z3+ZDF<2=45°,

AZQEF=ZDFQ,且N2=/3,

:.ADQFSAFQE,

.DQFQDF1

,：DQ=O,

：.FQ=2,EQ=2-j2,

：.EQ+FQ=2+2^2，

故选：D.

11.（2021•广东・深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABC。中，

AEYBC,垂足为E,NBAE=NADC,BE=CE=2,CD=5,为常数），则BQ

的长为—.（用含k的式子表示）

［答案］＞/25+16^2

【解析】解：如图，连接AC,

'JAELBC,BE=CE=2,

：.BC=4,AE垂直平分8C,AB=AC,

将△ABC绕点A逆时针旋转至△ACG,如图所示，连接QG,

则AO=AG,B1XCG,

由旋转的性质可得：ZBAC=ZDAG,

AD^AG,

:.AABCSAADG,

・ADDG

••=,

ABBC

9

：AD=kABf

:・DG=kBC=4k,

VZBA£+ZABC=90°,ZBAE=ZADCf

・•・ZABC+ZADC=90°,

■:AABC^AADG,

:.ZABC=ZADG,

：.ZADG+ZADC=90°1

即：ZCDG=90°,

•'­CG7cbi+G[f=也5+16公，

12.（2021・四川•中江县凯江中学校九年级期中）在。。中，A3、CO是两条弦，AB=6,CD

=8,且A5〃CQ,。。的半径为5,则A&C。之间的距离是.

【答案】I

【解析】解：①当弦A3和CO在圆心同侧时，如图①，

过点。作0FL4以垂足为F,交CD于息E,连接。403

u

：AB//CDr

・•・OE1.CD,

・.・A8=6,CZ>8,

：.CE=4fAF=3t

\'OA=OC=5,

由勾股定理得：EO=V52-42=3>。尸=庠手=4,

:.EF=OF-OE=\；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，

过点。作。EJ_C£>于点E,反向延长0E交A8于点尸，连接OA,0C,

EF=OF+OE=1,

所以AB与CO之间的距离是1或7.

故答案为：1或7.

13.在等边AABC中，AB=6,8。=4,点E为AC边上一个动点，连接。E,将△C£>E沿

着DE翻折得到4FDE,则点F到AB距离的最小值是.

【答案】2^3-2

【解析】解：如图，过点。作于T.

AABC是等边二角形，

ZB=60°,BC=AB=6,

ZDTB=90°,80=4,

.-.CD=DF=2,

DT=fiD.sin60°=2^,

观察图象可知，当点尸落在£>T上时，点尸到A8距离的最小，最小值为26-2,

故答案为：26-2.

14.（2021・山东李沧・九年级期中）如图，正方形ABCO和正方形CEFG中，点。在CG上,

41—

AD=6,DG=yV2,H是AF的中点，那么CH的长是.

【答案】—

3

如图，连接AC、CF,

•••正方形A8C力和正方形CE/G中，AD=0，DG,

3

AC=2,CG=述，

3

14

/.CF=—,ZACD=ZGCF=45°,

3

JZACF=90°,

由勾股定理得，AF=yjAC2+CF2=^22+(y)2=马鲁，

是AF的中点,

u1_12屈屈

/.CH=一A尸=一x----=.

2233

故答案为：返.

3

15.（2021.浙江•温州市第四中学九年级期中）如图，在AABC中,ADLBC,BEJL2c交A£>

于点凡且8Q=AD.

A

（1）求证：ABDF^AADC.

（2）若尸为A。的中点，且QC=1.求AC的长.

【答案】（1）见解析；（2）AC=V5

【解析】（1）证：9：AD1BC,BELAC.

：.NBDF=NADC=NFEA=90。,

ZAFB=ZCAD+ZFEA=ZFBD+ZBDF,

：.ZCAD=ZFBDf

在43。尸和△AOC中，

ZFBD=ZCAD

<BD=AD

NBDF=ZADC

.'.△BDF^AADC；

（2）,/NBDF^IADC,

:・DF=DC,

•・•尸为AD的中点，DC=\f

：.AD=2DF=2DC=2,

・•・在町ZiAOC中，AC==石,

AC=A/5.

16.（2021・北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M,N分别在正方形A3CZ）的边

BC,CD上，且/M4V=45。.把△AEW绕点A顺时针旋转90。得到△ABE.

（1）求证：bAEM经XANM.

（2）若8M=3,DN=2,求正方形A8CO的边长.

EBMC

【答案】(1)见解析(2)6

【解析】（1）证明：由旋转的性质得，4ADN学MBE,

:.NDAN=NBAE,AE=AN,NO=N42E=90。，

ZABC+ZABE=180°,

.•.点E,点B,点C三点共线，

'：ZDAB=90°,NMAN=45。,

：.NM4£=ZBAE+NBAM=ZDAN+NBAM=45。，

NMAE=/MAN,

\'MA=MA,

.♦.△AEM部△ANM（SAS）.

（2）解：设CO=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2,

,/△AEA/gZ\ANM

:.EM=MN,

"：BE=DN,

：.MN=BM+DN=5,

,/ZC=90°,

：.M!^=CM-+Crfi,

A25=（厂2）2+（尸3）2,

解得，x=6或T（舍弃），

正方形ABCD的边长为6.

17.（2021•天津河西•九年级期中）如图，已知BC为的直径，BC=5,48=3,点A点B

点C在。。上，NCA8的平分线交。。于点。.

（I）求AC的长；

（II）求80,C£＞的长.

【答案】（I）4；（n）CD=BD=土.

2

【解析】W：（I）连接O。，

,/3c为直径，

，Z.CAB=^BDC=90°.

在RtZ\C4B中，

AC=sjBC2-AB2=V52-32=4.

（II）A£）平分NC4B,

NCAiANBAD,

：.4COD=ABODCD=DB

：.CD=BD.

在RIABDC中，8C=5,CD2+BD2=BC2,

：.BD=CD=—.

2

18.（2021•河南•永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形A8CD中，点E,F分别在

A3和8c上，BE=4.AE=BF^\,将ABEF绕点/顺时针旋转，当点”落在C£＞边上时,

得到△GHF.

（1）求证：NBEF=NCFH.

（2）求民”两点之间的距离.

【答案】（1）见解析；（2）后

【解析】⑴将ABEF绕点F顺时针旋转得到AGHF,

：.HF=EF=d4、l2=而,

四边形A3CO是正方形，AE=BF=\,

：.CF=BE=4,

.•.C/7=7（V17）2-42=1•

BF=CH,

在AEBF与4FCH中,

EB=FC

■N8=NC=90°,

BF=CH

AEBF^AFCH,

/BEF=/CFH；

(2)如图，连接EH,作EM，C£)交于点M,

£M=BC=l+4=5,MH=5-"l=3,

19.（2021・四川江油•九年级期中）如图1,将两块全等的直角三角形纸片AABC和ADEF叠放

在一起，其中NACB=NE=90。，BC=DE=6,AC=FE=8,顶点。与边AB的中点重合.

（1）若OE经过点C,。尸交4C于点G,求重叠部分（△0CG）的面积：

（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将ADEF绕点。旋转，使交AC于

点H,。/交AC于点G,如图2,求。〃的长.

【答案】（1）6；（2）;

4

【解析】（1）VZACB=90°,。是A8的中点，

・•・DC=DB=DA.

：.ZB=ZDCB.

又•：△ABgAFDE,

:・AFDE=ZB.

/FDE=NDCB.

：.DG//BC.

:.ZAGD=ZACB=90°,

DG1.AC.

又：DC=DA,

・・・G是AC的中点.

ACG=-AC=-x8=4,DG=-BC=-x6=3.

2222

SLnfLc-rij=—2xCG•DG=—2x4x3=6.

,:△AB8AFDE,

ZB=Z1.

VZC=90°,EDA.AB,

VZA+ZB=90°,ZA+Z2=90°,

Zfi=Z2,

・•・N1=N2,

:・GH=GD,

VZA+Z2=90°,Zl+Z3=90°,

ZA=Z3,

:.AG=GD,

：.AG=GH,

・••点G为A”的中点；

在RtZ\ABC中，AB=jACBC2=T0.

・・・。是A3中点，

AD=-AB=5

2f

连接BH.

垂直平分AB,

/.AH=BH.

设A7/=x,则8”=x,CH=8-x,

由勾股定理得：（8-x）2+62=9,

解得x=q25,

4

20.（2021•北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，AC=

BC,ZACB=90°,£＞是线段AC延长线上一点，连接BD,过点A作于E.

（1）求证：ZCAE=NCBD；

（2）将射线AE绕点4顺时针旋转45。后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F,连接

CE.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段E凡CE,8E之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②EF=BE+6CE,见解析

【解析】（1）

图1

如图1,

VZACB=90°.AEYBD,

：.ZACB=^AEB=90°,

又：N1=N2,

NCAE=2CBD；

（2）①补全图形如图2；

②及'=8£：+&。£：.理由如下：

在AE上截取AM.使AM=BE.

XVAC=CB,NCAE=NCBD,

：.MCM当ABCE,

:.CM=CE,ZACM=ZBCE,

又,/ZACB=ZACM+ZMCB=90°,

NMCE=NBCE+ZMCB=90。,

；•ME=y/2CE,

又射线AE绕点A顺时针旋转45°,

后得到A尸，且NAEF=9O°,

；•EF=AE=AM+ME=BE+6CE.

题型二锐角三角函数

1.（2021•上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC中，ZC=90°,ZB</.A,设sinB

=n,那么n的取值范围是（）

A.0<n<lB.0<n<-C.。<”在D,0<i

222

【答案】C

【解析】解：在AABC中，NC=90。，N8cNA,且NA+NB=90°，

00<Z8<45°,

0<sinB<也,即o<

22

故选c.

2.（2021・吉林•长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,AC

=4,下列三角函数表示正确的是（）

4443

A.sin4=-B.tanZl=—C.cosA=一D.tanB=—

5354

【答案】C

【解析】解：,•.NAC8=90°,AB=5,AC=4,

BC=yjABr-AC2=^52-42=3，

3

sinA=-,故选项A错误;

3

tan4=-,故选项B错误;

4

4

COSA=y，故选项C正确;

4

tanB=j,故选项D错误.

故选：C.

3.（2021•安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将NAO8放在正方形网格中，则

cosNAOB的值为（）

.5

【答案】A

【解析】解：如图所示，在直角三角形08E中，0E=2,BE=4,ZOEB=90°f

OB=y/OE2+BE2=2^，

•*-cosZAOB=cosZEOB=^-=—

OB5

故选A.

4.如图，已知/?tZk48C中，NACB=90。，AC=3fA8=5,则cosA的值为（）

【答案】A

【解析】解：在RS48C中,N4cB=90。,

3

8必=竽

AB5

故选：A.

5.（2021•四川•成都嘉祥外国语学校九年级期中）在R348C中，ZC=90°,CD±AB,垂足

为点。，下列四个三角比正确的是（）

ACADCDCD

A.sinAB.cosAC.tanAD•cosA=-----

~ABAC~BDAD

【答案】B

【解析】解：因为/4CB=90。，CD±AB,

CD

所以sinA=-----,cosA=------=-----,tanA=-----

ABACABAD

故选：B.

6.（2021•陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形48C。中，AB=3,3。=4,点C

沿对角线8D折叠，点C的对应点为E,线段8£交43于点F,贝IJtanNEZ）厂的值为（）

【答案】A

【解析】•.,在矩形ABCD中，A8=3,BC=4,

AD=BC=4

•••点C沿对角线BD折叠，得到△EDF

：.DE=DC=AB

又N4=Zf=90°,ZAFB=ZEFD

△ABF^△DEF,

：.BF=DF,AF=EF

设EF=x=AF,则DF=4-x

在DEF中，DF2=EF2+DE2

即（4-x）2=x2+32

7

解得x=g

o

EF=-,

8

7

tanNEDF=EF=5_7

DE24

故选A

7.已知a=3,且（4tan45f尸+，3+/c=0,则以a、b、c为边长的三角形面积等于（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】解：（4tan45j）2+j3+；6_c=o,

4tan45°-/?=0,

b=4,

3+4一。=0,解得

c=5.

2

所以o=3,b=4,c=5,BPa2+b2=c2,

・•・ZC=90°,

所以Sv=；“b=6.

8.（2021•山东新泰•九年级期中）已知。是锐角，sin«=cos30°,则a的值为（）

A.30°B.60°C.45°D.无法确定

【答案】B

【解析】解：Qa是锐角，sin«=cos30°,

.-.a=90°-30°=60°.

故选：B.

9.（2021•浙江邺州•九年级期末）角a,。满足0°<a”<45°,下列是关于角a,9的命

题，其中埼误的是（）

A.0<sincr<—B.0<tan尸<1C.cosyS<sinaD.sin/?<cosa

2

【答案】C

【解析】解：角a,4满足0°<a</<45。，sina随a的增大而增大，cos/?随月的增大而

减小，

tan/?随尸的增大而增大，

A：：$m45。=变0<sina<@,选项A正确，不合题意;

22

B.tan450=l,...0<tan4<1,选项B正确,不合题意;

C.sin45。=立■,cos45°=立■,cosB>^-,sino;<^->cosJ3>sina,选项C不正确，符

2222

合题意；

D.sin45°=^->cos45°=^->cosa>-^-,sinp<,sin/?<cosa,选项D正确，不符

2222

合题意.

故选择：C.

3

10.（2021•四川乐山•中考真题）如图，直线4与反比例函数y=3（x>0）的图象相交于4B

x

两点，线段AB的中点为点C,过点C作x轴的垂线，垂足为点。.直线过原点。和点C.若

直线4上存在点尸（"?，〃），满足=则〃?+廉的值为（）

【答案】A

【解析】根据题意，得人学），《3,）即A（l,3）,8（3,1）

直线4过原点。和点c

・•・直线4：y=%

尸（九九）在直线，2上

/.m=n

PC=,2（m-2）2

：.C（2,2）,OCLAB

过点C作x轴的垂线，垂足为点。

0（2,0）

AD=^/（2-1）2+（0-3）2=V10,AB=^（1-3）2+（3-1）2=242,BD=^/（3-2）2+1=V2

AD1=AB2+BD1

•.ZABD=9Q0

・••点A、8、D,P共圆，直线4和48交于点F,点F为圆心

COSW嘿，除

.AC=BC,FB=FA=-AD

2

；.ZBFC=-ZAFB

2

ZAPB=ZADB，RZAPB=-ZAFB

2

ZAPB=ZADB=NBFC

cosZAP8=cosNB尸C=江==噌

•FB回W

2

■-FC=—

2

.PC=PF+FC或PC=PF-FC

当尸C=Pf—FC时，ZAPB和NAD3位于直线45两侧，即NAP8+NA£>3=180。

PC=P尸一”1不符合题意

PC=PF+FC=^-+—,S.m<2

22

•PC=y/2（m-2）2=5/2（2-w）,

&。一⑹=乎+等

m+n=2m=3-V5

故选：A.

11.（2021•山东•潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在RjABC中，ZC=90°,sinA=-,

3

BC=2,贝ljAC=

【答案】40

【解析】解：在RtAA8c中，ZC=90",

.sinA=L生,

3AB

又<8c=2,

48=6,

.AC=ylAB2-BC2=762-22=4>/2，

故答案为：4&.

12.（2021•上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB-8C中，A8=3,BC=5,

将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE,点、B的对应点落在线段BC上

的点。处，点C的对应点落在点E处，连接CE,若CEL8C,则tanzEDC=.

【答案】y

【解析】解：如图，连接AC,AE,过点A作AF_LBC于F,作AH_LEC于H,

•・•CE±BCtAF±BCfAH±ECf

・•・四边形4FCH是矩形，

・•.AF=CH,

・•・将折线AB-8C绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE,

AD=AB=3fBC=DE=5fNABC=NADE,

△ABC^△ADE(SAS),

/.AC=AE,

,/AC=AEfAB=ADfAF±BC,AHLEC,

BF=DF,CH=EH,

AB2=AF2+BF2,DE2=DC2+CE2,

2222

/.9=AF+BFf25=(5-2BF)+4AFf

912

=

BF=—,AF­f

2497

EC=2CH=2AF=—,CD=5-2x-=-,

555

…EC24

tanzEDC=-----=—

CD7

故答案为：

13.（2021•重庆南开中学九年级期中）计算：2tan45°+（^-^）0=—.

【答案】3

【解析】解：原式=2x1+1

=2+1

=3,

故答案为：3.

14.若三个锐角/⑸7满足sin48=a,cos48=/7,tan48=7,则由小到大的顺序为

【答案】/3<a<y

【解析】解：根据锐角三角函数的性质可得：

Cos48°=sin42°,sin42"<sin48°<l,tan45°<tan48°,tan45°=l,

cos48°<sin480<l<tan48o,

P<a<y,

故答案为P<a<¥.

15.（202（福建•泉州五中九年级期中）如果a是锐角,且sin2a+cos248"l,那么a=

_________度

【答案】48

【解析】a是锐角，sin2a+cos248°=1,

又sin2a+cos2a=1，

a=48".

故答案是48.

16.（2021•陕西•西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD

内有一动点P，且8P=及.连接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ.连接

CQ、DQ,则goQ+CQ的最小值为一.

【答案】5

【解析】解：如图，连接AC、AQ,

四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ,

ZACB=ZPCQ=45°,

Z8cp=NACQ,cosZACB=—=—,cosZPCQ==，

AC2QC2

/.ZACB=NPCO,

△BCP〜△4CQ,

.AQ_y/2

a•---------=---------

BP2

BP=6,

：.AQ=2,

，Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，

在AD上取AE=1,

AE1AQ1

二△QAEs△04Q,

EQ1i

-BPEQ^-QD,

yDQ+CQ=FQ+CQ>Cf,

连接CE,

CE=>JDE2+CD2=5>

•••/DQ+CQ的最小值为5.

故答案为：5.

17.(2021•河北•广平县第二中学九年级期中)(1)(1-sin45")0-tan60°+74.

(2)cos30°-3tan60°-2sin450*cos45°.

【答案】(1)3-6；(2)-1^-1.

【解析】解：(1)(1-sin45")°-tan60°+4，

=1-6+2,

=3-百；

(2)cos300-3tan600-2sin450«cos45\

=3_3xK-2x正x"

222

=--3y/3~\,

2

2

18.(2021•四川•成都市温江区东辰外国语学校九年级期中)计算：V2x(-2014)(y)

-2+|2sin450-2|.

【答案】-2

【解析】解：＞/2x(-2014)(1)2+|2sin450-2|

=亚-4+2-&

19.(2。21・广东•佛山市华英学校九年级期中)计算：一骷三有-8S3。。

【答案】:3

【解析】解:

V3-12

石限+1)6

(^-1)(>/3+1)2

6+38

~~2r

3

2

20.(2021•吉林•长春市净月实验中学九年级期中)图①、图②均是边长为1的小正方形组

成的5x5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上.（要求：借助

网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）

（1）在图①中的线段AB上画出点M,使A8=3AM.

（2）在图②中作出AABN，使点N在格点上，且tan/B4V=g.

AA

J！/

//

//

BB

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】解：（1）如图，点M即为所求.

A

//1

（、/

B

图2

（2）如图，点N即为所求.

BN=J"+『=y/2»AN=,2。+2。=2V2>AB=J]?+3?=-s/10'

BN2+AN2=AB2,

△ABN是直角三角形,且NANB=90°,

BNy/21

tanNBAN=

俞一宏一5

21.如图所示，△ABC中，。为A8的中点，DC±AC,.ftzBCD=30°,求NC£M的正弦值、

余弦值和正切值.

【答案】sinZCDA=

773

【解析】解：过。作DEIIAC,交8c于点E.

AD=BD,：.CE=EB,：.AC=2DE.

又；DC±AC,DEWAC,

DCJ.DE,即NCDE=90。.

又；N8CD=30°,，EC=2D£,DC=DE.

设DE=k,则CD=#1k,AC=2k.

在RSACD中，AD=-jAC2+CD2=^k'

22.（2021•上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1,已知在等腰△ABC中，AB=AC^

5瓦，tanzABC=3,BF±AC,垂足为F.点D是边A8上一点（不与A,8重合）.

（1）求边BC的长；

（2）如图2,联结。F,DF恰好经过△A8C的重心，求线段AD的长；

（3）过点。作。E_LBC,垂足为£,DE交BF于点Q.联结DF,如果△DQF和△A8c相似，

求线段BD的长.

D

D

图I图2备用

【答案】⑴10：（2）如叵；（3）8D=竺叵或8。=步叵

7135

【解析】解（1）如图1,过点A作8c于从

(图1)

ZAH8=90",

;AB=AC=5y/w,

BC=2BH,

.,AH

在中，tanzABC=-----=3,

BH

・•・AH=3BH,

根据勾股定理得，AH2+BH2=AB2,

/.(38”)2+BH2=(5>/10)2,

「・BH=5,

BC=2BH=10；

(2),/8c=10,tanzABC=3,

•.CF=回,BF=3y/\0,如图2,作8NJ_8C,CM±BC,

G

图2

G为重心,

AG=1Q,GH=5,

AHLBC,CM±BC

CM〃AG、

ZACM=Z.GAG,ZGMC=ZAGM

△CMF-△AGF

则*=CF

AGAF4

15

CM——AG——,

42

AH±BC,CM±BC,BN±BC

•.CM//AG//BN

,MGCH

~GN~~BH

,.G为MN中点

二HG为梯形CMNB的中位线，

15

BN=2GH-CM=—,

2

NB〃AG、

ZDAG=Z.NBD/AGD=NBND

△ADG-△BDN

.4P—AG4

而—而一§，

.八八420M

.AD=—AB=-----；

77

(3)BF±ACfDE_L8C,

/.ZBFC=NDEB=90°,

/.ZBQE=ZACB(同角的余角相等)

,/ZBQE=NDQF,

，ZDQF=ZACB

•：△DQF和△ABC相似,

-AC~BC^BC~AC'

,：tanZ8Q£=tanNAC8=tanNA8c=3,

BE_DE

—=3,——=3o

QEBE

设QE=x,BE=3x,则DE=9x,

-8Q=JlOx>BD=3dlOx»DQ=8x,

BF—3CF—3>/l0,

QF=3M-Mx，

时‘则‘扉r3M-MX

(i)当

AC~BCio-

解得x=J|,

’33限=嗜，

3

解得x=/

.BD=3而x=，

综上所述，8。=变回或8。=亚.

135

（备用图）

23.（2021•北京市第三中学九年级期中）如图，在△A8c中，AC^BC,ZACB=90°,D为AC

上一点（与点4C不重合），连接BD,过点A作4EJ_BD的延长线于E.

（1）①在图中作出△A8c的外接圆O。，并用文字描述圆心。的位置；

②连接。E,求证：点E在。。上；

（2）①延长线段B。至点F,使EF=AE,连接CF,根据题意补全图形;

②用等式表示线段CF与A8的数量关系，并证明.

【答案】（1）①见祥解，圆心。在斜边AB的中点；②见详解;（2）①见详解；②=

见详解.

【解析】解：（1