历全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

(x+y)ln(l+—)

1.计算J]。一/%dxdy=,其中区域。由直线X+y=l与两

坐标轴所围成三角形区域.

Afo1)

解：令x+y=M,x=v,贝！Jx=v,y="-v,dxdy=detdudv=dudv,

(x+y)ln(l+?)

ulnu—ulnv..

-----——dudv

DD

riu\nu「llru

J。dv——/Invdv)du

riu2Inwu(uInw-w)i

i-------------/——d”

0-Jl-u

令t=Jl—〃,则〃=1—

du=一2Mt,=i_2/+〃，=〃(1_力(1+力，

(*)=—2「(1-2t2+/)d方

-—

=2['(l-2r+?)d/=2t--t3+-t5=—

J。L35Jo15

cr2

2.设/(x)是连续函数，且满足/(无)=3尤2—1/(九)改—2,贝U/(x)=.

J0

2。

解：令人二r八八为心，则/(无)=3尤2—A—2,

A=f2(3/-A-2)dx=8—2(4+2)=4—24,

J0

解得A=g。因此/(x)=3/一go

尤2

3.曲面2=3+/一2平行平面2x+2y—z=0的切平面方程是.

尤2

解：因平面2x+2y—z=0的法向量为(2,2,—1),而曲面2=万+/一2在

(%,%)处的法向量为(Zx(Xo，%),Zv(Xo，%),-l),故

(2*(%),%)**%,为),一1)与(2,2,—1)平行，因此，由Zx=x,Zy=2y知

2=zx(x0,y0)=x0,2=z、(/,%)=2y0,

即无o=2,%=1,又z(Xo，%)=z(2,l)=5,于是曲面2x+2y-z=0在

(公，加zG，%))处的切平面方程是2(x—2)+2(y-DTz—5)=0,即曲面

z=——+>2_2平行平面

2

2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。

4.设函数y=y(x)由方程=e'ln29确定，其中/具有二阶导数，且广。1,则

d~y=

西----------------

解：方程xe"y)=e〉ln29的两边对x求导，得

e”>)+/(y)y'e"，)=eyy'In29

因"ln29=xe"y),故工+/，“))/=)/,即y'=-----------,因此

5y〃=1।尸(加’

dx2尤2(1一/3))Mi-/f(y)]2

=于"⑺__________]=尸⑴-口-广(加

一x2[l-八y)]3X2(l-~x2[l--

x.2x..^nxe

二、(5分)求极限lim(e十'十十右尸,其中“是给定的正整数.

』n

解:因

ex+.e2xH.---F.e^nx—n_-e

=lim(l+--------------------)x

x—>0n

故

A=lim

1fonx

+.e2x-\,----,1-enx-n

nx

X.CJlx..--JVC

「e+2eH---\-ne1+2H---Fnn+\

=elim-------------------e---------------------------二-----------e

nn2

因此

三、(15分)设函数/(x)连续，g(x)=且lim/S=A,4为常数，求g'(x)

J0x->0x

并讨论g'(%)在X=0处的连续性.

解：由=A和函数/(%)连续知，/(0)=lim/(x)=limxlim=0

x->0%x->0x->0x—>0%

因g。)=£f(xt)dt,故g(0)=£/(0)dZ=/(0)=0,

*0JU

1rx

因此，当xwO时，g(%)=—[f(u)du,故

xJo

P/(w)dw

=1…

limg(x)=lim---------=/(0)=0

%—o%fo%0]

当xw0时,

g\x)=yr/(K)dM+^^,

1。7■⑺由

.x

=limgW-g(O)=1lim

x夕％x->0xx->0x2%-。2x2

物g，(x)=理[-]+―]=:吗-―理g=A-g=々

这表明g'(x)在x=0处连续.

四、(15分)已知平面区域O={(x,y)|0KxK犯OKyK万},£为。的正向边界，试证:

⑴，x冽2-ye-山=|xeidy-yeAnxdx；

LL

5,

(2)xesinydy-ye-snydx>-7r2.

证：因被积函数的偏导数连续在。上连续，故由格林公式知

(1)^xesinydy-ye^nxdx=ff—(xesiny)-—(-ye-sinx)dxdj

」L、今\_dxdy

="(6点"+"如，比①

D

^xe^^dy-ye^dx

L

=ff?(xe")_?(—ye皿')dxdy

、\_dxdy_

=+e.x)dxdy

D

而。关于％和y是对称的，即知

+e-Anx)dxdy=JJ(e^ny+eAnx)dxdy

DD

因此

卜网>dy-ye-^dxmxe^nydy-y^DXdx

LL

(2)因

24

e'+/=2(1+^+j+・・.)22(l+J)

故

sin%.sin%、c-2c1一COS2%5—COS2x

e+e>2+sinx=2-\--------------=--------------

22

由

nynx

fx网，dy-ye-^dx=JJ(e'iny+e^)dxdy=JJ(/"+e^)dxdy

LDD

知

Jxesinvdy-ye-sioydx=-jj(esin?+e-sini)dxdy+-ff(e-"n"+esin")d.xdy

L2°2D

=LU(e""+e*”Wy++/nx)dxdy=Jj(e-^nx+esinx)dxdy

2£)2oD

snxsinx

="「(e-'+e)dx>S—^s2"=

即^xesinydy-ye-sinydx>^2

五、(10分)已知％=xe*+e?x,%=xex+ex,%=xe*+是某二阶常系数

线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设X=xex+e2",%=xe‘+6?*—e-、是二阶常系数线性非齐

次微分方程

/+by'+cy=/(%)

的三个解，则%-%=-e?x和%-=e"都是二阶常系数线性齐次微分方程

y"+by'+cy=0

的解，因此y"+〃y'+cy=0的特征多项式是(2—2)(4+1)=0,而'"+勿'+勺=0的特

征多项式是

无+bA+c=0

因此二阶常系数线性齐次微分方程为y"-y'-2y=0,由“一乂—2%=/(x)和

y；=ex+xex+2e2\y；=2ex+xex+4e2x

知，/(X)=货_乂—2%=x/+2e，+4e2x-(xex+eA+2e2x)-2(xex+e2x)

=(l-2x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为

xx

y"-y'-2y=e-2xe

六、(10分)设抛物线丁=。/+"(:+2111。过原点.当0＜尤＜1时,丁20,又已知该抛物线

与x轴及直线x=1所围图形的面积为1.试确定。泊,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋

转体的体积最小.

解因抛物线y=a£+bx+21nc过原点，故c=l,于是

1pi2a3b2ab

_=I(UA+bx)dt=一xH—x——I—

3J。132Jo32

即

6=g(l—a)

而此图形绕工轴旋转一周而成的旋转体的体积

V(a)=»工(砒之+/?x)2dt=»[(以?+g(l-。)%)2出

22

=加2工工4出+7rgQ(]-3dt+—<2)£xdt

121/1、4/1、2

=—Tzrz+7T—a(\-a)+7i—(1-a)

114

V(Q)——7HCL2+7T—〃(1-Cl)+71,I一〃)2

V\d)=-7ia-\-71-(1-2a)-—(1-tz)=0,

得

54。+45—90。—40+40。-0

4a+5=0

因此

5k3

a=_“0=5，c=1l.

七、(15分)已知”“(x)满足4(x)=〃“0)+%"，%〃=1,2「..)，且",(1)=工，求函数项

n

00

级数Z%(x)之和.

77=1

解

n1x

u'n(x)=un(x)+x~e，

即

y'-y=九

由一阶线性非齐次微分方程公式知

Xn

y=e\C+—)

n

因此

n

"Q)=e'(C+—x)

n

由g=您(1)=6(。+工)知，C=0,

nn

于是

M.（X）=—

n

下面求级数的和:

令

一oo产Yn

S(x)=Z"〃(x)=Z—

1-1-I/J

n=ln=l'°

则

8HX00X

SG)=Z(X”+—)=s(x)+=S(x)+—

篦=1n~~t1-x

即

ex

S1x)-S(x)

1-x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

S(x)=eYC+

00

令X=O,得0=S(0)=C,因此级数».(x)的和

n-1

S（无）=—e1n（l—x）

00

八、（10分）求xf「时，与等价的无穷大量.

n=0

解令/⑺=兀"，则因当0<%<1,tG（0,+oo）Ht,ff（t）=2t^2Inx<0,故

,2]/

/«）=无/=/’无在（0,+s）上严格单调减。因此

Jo-Lrr>f(t)dt=.℃>£,1f(t)dt<J00/(«)</(o)+0J0J：j⑺d"I+1"⑺山

n—0n=0n=i

即

,00,

f+ooX~.p+oo

Jo/(Odr<^/(H)<l+jo,

n=0

又

之00/5)=00之/,

n=0n=0

lim—=lim3=1

11-x尤fi—1

Jpo+00%)df=Jpo+coX7df=

001/_

所以，当Xf「时，与川等价的无穷大量是一J上

go2\1-x

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一、(25分，每小题5分)

(1)设X"=(1+。)(1+。2)(1+/),其中|“|<1,求1加乙.

ns

(2)求A1116-，，1+工］。

%-8(X)

(3)设5〉0,求［=］p0oo""靖去("=1,2,)。

⑸求直线以二；°与直线心V=U=V的距离。

解：(1)%=(1+。)(1+〃)(1+«2")=A：„=(1-«)(1+«)(1+«2)(1+。2')/(1—a)

=(1-«2)(1+«2)(l+/')/(l—a)==(1—/向)/(l—a)

2+

/.limxn-lim(l-a")/(l-a)=1/(l-«)

0000

(1Y.lne_jr(l+-/2/^(1+-)-x

(2)lime~x1+—=limex=limex

XfCOIJQ]00Xf00

令X=l/t,则

(ln(l+/)T)1/(1+力T]

原式二lime/=lime2t=lime2(1+z)=e

—0—0—0

poosxn1z*oosx1pg1

In=£e-xdx=(--)£x"de-=(—土)I；-£e^dx']=

(3)

〃(〃T)jn\

s〃+i

二、(15分)设函数/(%)在(F,+8)上具有二阶导数，并且

r

/"(%)>0,limf(x)=a>0,limf\x)=/?<0,且存在一点x0，使得f(x0)<0。

X—>+00X—>-00

证明：方程/(X)=0在(-8,+8)恰有两个实根。

解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在

两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开：

小)=/(。)+八如+萼X2

因为二阶倒数大于0,所以

lim/(x)=+oo,lim/(x)=-oo

%—>4-00-8

证明完成。

Y—21+，

三、(15分)设函数y=/(九)由参数方程-«>—1)所确定，其中〃⑺具有二阶

、y=w(t)

导数，曲线y=〃⑺与〃々+一在:1出相切，求函数〃⑺。

Ji2e

j2,2q

解：(这儿少了一个条件—=)由y="⑺与y=「7"或+上在/=1出相切得

dxJi2e

32

〃⑴=不，〃⑴=—

2ee

dy_dyIdt_〃⑺

dxdxIdt2+2%

d2y_d(dy/dx)_d(dy/dx)/dt_〃⑺(2+2。-2〃⑺_

dx2dxdx/dt(2+2t)3

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设4〉0,5“=之外,证明：

k=l

+00a

（1）当a〉l时，级数收敛；

«=i

（2）当aWl且8（〃―8）时，级数£之发散。

"=iS"

解：

（1）q>0,s“单调递增

当之4收敛时，而与收敛，所以必收敛;

«=1。\%%

00

当»“发散时，lims“=oo

n—>00

«=1

an_s〃-S〃T_r〃djc__〃dx_

a<

S：S广LSnJs〃T丁

所以，

n=l>

而「“虫=4+lim岂:&2=左，收敛于匕

X。〃，81一1s「df-1

所以，£之收敛。

〃=1sn

（2）lims“=oo

H—>00

00《

所以Z4发散，所以存在占，使得

n=ln=2

依此类推，可得存在1<《<左2<…

勺+11《N1

使得上n成立，所以n

s

k；n21Sn2

当".8时，N48,所以发散

，，=1s“

五、(15分)设/是过原点、方向为Q/V),(其中。2+尸2+/=1)的直线，均匀椭球

二+3+0W1,其中(0<c<8<a,密度为1)绕/旋转。

a"b'c

(1)求其转动惯量；

(2)求其转动惯量关于方向(a,f3,y)的最大值和最小值。

解：

(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

d2=(1-«2)%2+(l-/2)y2+(l-/2)z2-2a/3xy-2/3yyz-2yazx

n*"=nyzdv=。

coB。I

jjjz2dV=「z2dzjjdxdy=j7iab(\-z1dz=­7rabc3

n-5^4'15

由轮换对称性,

胪2〃=白苗儿』卜2〃=-71abic

。15o15

I-jJJd2dV-(1-6Z2)—7ia,be+(1-/72)—nedr,e+(1-/2)—Tiabc3

o151515

=7rabc[(l-a2)a2+(l-yff2)Z?2+(l-/2)c2]

(2)a>b>c

4oo

，当7=1时，7max=-7vabc(a-+b-)

4rr

当a=1时，，min=—^Clbc(b2+c2)

六、(15分)设函数9(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线

积分度:岑"的值为常数。

।Ixydx+(p(x)dy

(1)设L为正向闭曲线(x—2)2+y2=i,证明=0；

(2)求函数0(x)；

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求俨叫+夕，”

解：

（1）L不绕原点，在L上取两点A,B,将L分为两段4，L,,再从A,B作一曲线4，

使之包围原点。

则有

_r2xydx+(p(x)dyr2xydx+(p(x)dy

+7―J-~

⑵令：L

由(1)知丝—GC=o，代入可得

dxdy

cp(x)(x4+y2)-0(%)4%3=2x5-2xy2

上式将两边看做y的多项式，整理得

y2(p(x)+cp(x)x4-(p(x)4x3=y2(-2x)+2x5

由此可得

(p(x)=-2x

(p(x)x4-(p(x)4x3=2x5

解得：(p(x)=-x2

(3)取力为/+;/=?,方向为顺时针

dQdP

--------二un

dxdy

x)dy2xydx+(p(x)dyr2xydx+(p(x)dy

42

c+L

]Ixydx-x2dy=TI

L~

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

/・\一

1.fsinxV"

（1）.求hm-----

a。IxJ

解：（用两个重要极限）:

1xsmx-x

Z.X------------z.、------•-------r

一।sinxy-cosx「，SillX—X)sinXTXl-cosx)

hm------=lim1+-----------

Xf。I%JoY」

■

lim-^—

-

sinx-xJ™—j—1吗—T032

-X

=1li•meXi1-COSX)=e92=e29,23

%-o

(2).求lim-----b---------F...+-------；

+in+2n+nj

111

解：(用欧拉公式)令七=-----+------+...+------

n+1n+2n+n

由欧拉公式得1+,++—-In«=C+o(1)，

2n

则1+工++-+-^—++--—ln2«=C+o(1),

2nn+12n

其中，。(1)表示〃―8时的无穷小量，

二两式相减，得：

xn-ln2=o(1),lni-m>00x〃=ln2.

x=ln(l+e2t)

(3)已知，'7

y=t-arctane1

dx_2e2?dyteldyi+e2t_-eT+1

dtl+e2t，dt1+-dx2*2e2r

l+e2t

・/l+/=（1+巧._2）

2e2r2e2t4^

dt

二.（本题io分）求方程（2x+y—4）dx+（%+y—1）6=0的通解。

解：设尸=2x+y-4,Q=x+y-l,则尸dr+Qdy=0

QPdO

——=—=Pdx+Qdy=0是一个全微分方程，设

dydx

dz=Pdx+Qdy

z=J&=jPdx+Qdy=j^^（2x+y-^）dx+^x+y-1）dy

一dP二上dQ，，该曲线积分与路径无关

dydx

z=£(2%-4)公+J()(%+y-1)办=%?-4%+冲+'y2-y

00

三.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

/(O),/(O),/'(O)均不为0,证明：存在唯一一组实数4，左2，%，使得

V㈤+V(2/z)+V(3/z)-〃0)

umo—uo

20人2

证明：由极限的存在性:｝岬［k］/㈤+左2/（2/2）+左37（3力）一"。）］=0

即［左］+左2+k3—1］/（。）=。'又/（O）WO，.・・左i+匕+左3=1①

由洛比达法则得

lim%"（'）+%2“2/Q+（3出一/（0）

2

20h

=lim%"'r）+2W'（2/Q+3&f'（37z）=0

—32h~

由极限的存在性得,邛kJ（//）+2k2于（lh）+3k3f（3//）］=0

即（K+2左2+3%）/（0）=0,又/'（O）wO,.•.4+2左2+3左3=0②

再次使用洛比达法则得

kJ'（/z）+2k2f（2/z）+3k3f（3/z）

lim

202h

左/㈤+4V'（27z）+9V'（37/）二0

=lim

202

（k[+4k2+9^）/'（0）=0f（0）w0

/.k}+4k2+9k3=0③

左]+左2+a=1

由①②③得左，左2,k3是齐次线性方程组<&+2k2+3k3=0的解

k[+4k2+9k3=0

n11

设A=123,%二k2,b-0则Ax=b,

49上30J

77

1111

,A*

增广矩阵A=120g则

1400>

R（Ab）=H（A）=3

所以，方程Ax=。有唯一解，即存在唯一一组实数4，42,占满足题意，

且k、=3,k?——3,左3—1o

2

Xy2z2

四.（本题17分）设£］：——H------H——=1,其中〃>Z?>C>。，

1"及C2

\:z2=x2+y2,「为£1与4的交线，求椭球面4在「上各点的切平面

到原点距离的最大值和最小值。

炉2z2

解：设「上任一点Af（%,y,z）,令尸二一—H——H—--1,

dDC

，2x,2y,2z

则用~—,F-—r,F=f,.•.椭球面4在r上点M处的法向量为:

abz'c

在点M处的切平面为n

\abc)

2(x%)+*(yh+M(Z-z)=0

CT-UCZ

原点到平面口的战三昌为d=,--------------------------,令

/222

22

,1

G(")号号4T则4=----------^=,

jG(%,y,z)

一y2z'x2y2z2

现在求G(耳4-44,在条件2+*।2上，

bcabc

Z?二炉+产下的条件极值，

令

222<2、,22、

勺1+y1z1/222

+++42,221+4(%+yZ

CrU(_z1abeJ'

则由拉格朗日乘数法得：

0XX

H；=F+4『2"二()

aa

；小=

“=*4*+20

,2z„2z八

{2=F+4丁-2%z=C),

cc

%2y22z1八

—7H-----7-H—y—1=0

a2b2c2

x2+y2-z2=0

22X=z2=---2---

解得｛22Z>c或｛a+c

y=z=---八

、b"+c〔y二°

444

^+ca+c

对应此时的G(x,y,z)=22(°——八或G(%,y,z)二

b~c(Zr+ca2c2/I(22+,c2)I

lb2+c2、la2+c2

此时的4^bcA——1或d2=ac、H—-

\b+c\a+c

又因为a>b>c>0,则《<&

所以，椭球面Ei在r上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为:

la2+c2lb2+c2

&二叫K，&二川K

x2+3y2=l

五.（本题16分）已知S是空间曲线《7绕y轴旋转形成的椭球面

z-0

的上半部分（Z之0）取上侧，II是s在夕（羽y,Z）点处的切平面，y,Z）

是原点到切平面n的距离，表示s的正法向的方向余弦。计算：

(1)||―J——-dS；(2)jjz^x+3/ny+vz)dS

解：(1)由题意得：椭球面S的方程为X2+3y2+z2=l(2N0)

22