高中数学经典题训练

高二周考数学试题（文科）

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.复数主理的虚部为（）

i

A.3B.3zC.-3D.-3z

2.设U=R,集合A=｛x|x>0｝,B=｛XGZ|X2-4<0｝,则下列结论正确的是（）

A.（QA）nB=｛-2,-l,0｝B.（qyA）ufi=（-oo,0］

C.(QA)CB={1,2}D.Au8=(0,+oo)

-sinx,x>0

3.已知函数/（x）=<则下列结论正确的是（）

sinx,x<0

A.7（x）是奇函数B.7（x）是偶函数

C./（元）是周期函数D.7（x）在［-；7T+2左左，57T+2版'］（262）上为减函数

4.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）

［开始

*

|'二2"+||

QEE1J

/i岬//

A.计算数列｛2"T｝前5项的和B.计算数列｛2"—1｝前5项的和

C.计算数列｛2"T｝前6项的和D.计算数列｛2"-1｝前6项的和

2

5.设p:%2-x<l,^r：log2(x-x)<0,则非p是非q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

6.若双曲线三一斗=1的渐近线与抛物线x2=4y的准线所围成的三角形面积为2,则双曲线的离心率为

ah

)

75B.V2C.73D.V?

-2

7.某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能是（）

正发图

A.B.C.D.

8.某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数

据的茎叶图,以5为组距将数据分为八组，分别是[0,5）,[5,10）,…，[35,40],作出的频率分布直方图

760747474

7654401764410774440764440

75542102755421075552108765210

953203953209532095520

A.B.C.D.

9.在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半球相切.如

果半球的半径等于1,正三棱锥的底面边长为30,则正三棱锥的高等于（）

A.V2B.273C.V6D.V3

asin(30°-C

10.在A48C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S.b2+c2+bc-a2=0,则

b-c

的值为()

1AAiA/3

A.-B.—C.——D.--

2222

第n卷(共90分)

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.若平面向量a=(2,1)和垂直匕=(X—1,—x),则|a+6|=.

14.设动直线x=a与函数f(x)=2sin2x和g(x)=6sin2x的图象分别交于M、N两点，则||的最

大值为.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知数列｛4｝是各项均不为0的等差数列，公差为d,S”为其前枕项和.且满足％2=§2,1，n&N\

数列也,｝满足bn=」一，Tn为数列曲,｝的前〃项和.

44+1

(1)求q、d和北;

(2)若对任意的〃wN*,不等式2(<〃+8(-1)〃恒成立，求实数力的取值范围.

19.如图：ABCO是菱形，S4O是以AO为底边等腰三角形，S4=S£>=炳，AD=2瓜且二面角

5-4。一3大小为120°,ZDAB=60°.

(1)求证：AD±SB；

(2)求SC与SAO平面所成角的正弦值.

20.已知E(l,0),K(—1,0),P是平面上一动点，且满足|P©・|KE|=PK・aC

(1)求点P的轨迹C对应的方程；

(2)过点K的直线/与C相交于A、8两点(A点在x轴上方)，点A关于％轴的对称点为。，且

EA・EB=-8,求A4BO的外接圆的方程.

21.已知函数/(%)=优+X2-xlna(a>0,。71).

（1）当a=e时，判断函数/（x）的单调性;

（2）若存在冷工2日一1,1］，使得|/（%）-/（々）巨0-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围.

数学试题（文科）答案

一、选择题

1-5:CABC6-10:AABBD11>12：A

二、填空题

16.（0,与1]

13.V1014.315.-

8

三、解答题

得42=c5即'2=q

17.解：（1）在=S2“_］中，令〃=1,〃=2,

%2=邑（4+d）?—3q+3d

解得4=1,d=2,：,a”=2n—T.

,1111

•:b=--------=---------------=一（z-------------

anan+x（2〃-1）（2〃+1）22n-\2〃+1

,111111.n

/.T=一（1一一+----H-------------------）=-------

“23352/7-12〃+l2〃+l

（2）①当〃为偶数时，要使不等式47；<〃+8・（一1）”恒成立,

即需不等式2<（"+8）（2〃+1）=2〃+§+］7恒成立.

nn

Q

♦・・2〃+—28,等号在〃=2时取得.

n

,此时;I需满足2<25.

②当〃为奇数时，要使不等式27；<"+8・（—1）〃恒成立，

即需不等式/〈四&生土D=2〃—g―15恒成立.

nn

Q

*/2〃——是随〃的增大而增大，

n

Q

・・・〃=1时，2〃一一取得最小值-6.

n

，此时4需满足之〈一21.

综合①、②可得几的取值范围是4<-21.

18.解：（1）设印有“美丽绿城行”的球有〃个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,

—c2

则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(A)=g,

q

--4

由对立事件的概率：P(A)=1—P(A)=y.

-c21

即P(A)=W=—，解得〃=3.

C15

(2)由已知，两种球各三个，故〃可能取值分别为1,2,3,

〜八C；1»c、C；C；C\C\C；1

p（〃=i）=T=一,P（〃=2）=Y，T+^^・T=一

c：5/'C；C：C；C：5

3

＞

p（Z7=3）=l-P（7=l）-/（7=2）=-.

则〃的分布列为：

123

££3

p

555

]1312

所以E〃=lx-+2x-+3x—=—.

5555

19.W：（1）取AO的中点E,连SE,BE,

由题意知A4BD为正三角形，

SE±AD,BE±AD.

又SECBE=E,

二AO_L平面SBE,SBu平面S8E,

二AD±SB.

（2）过S作S。工直线BE,垂足为0,

由（1）知平面ABC。_L平面SBE,

则SO_L平面ABC。，连OE,则AOLOE.

NSEB为二面角的平面角，ZSEO=60°,

SO=6sin6（）o=3G

,ZBC//SAD,C到SAD距离为B到SAD距离,

由B作SE垂直BQ,由(1)知平面AS。，平面SBE,平面BQ，平面SAO,

BE=3,BO,=2sin60°=|V3.

0E=3,E5=3,.••OABO是平行四边形，。在直线CO上,

SC2=SO2+OC2=27+48=75,SC=5y/3.

设线面角为a,sina=盥=±,SC与平面SAO所成角的正弦值为之.

SC1010

20.解：(1)设P(x,y),PE=(1-x,-y),PK=(-l-x,-y),EK=(-2,0),依=(2,0).

•：\PE\*\KE\=PK»EK,

：.2yl(l-x)2+y2=2(x+1),得点P的轨迹C对应的方程为y2=4x.

(2)设A(X1,y),B(x2,y2),£)(工|,一必)，/的方程为％=冲-1(m>0).

将x=my-1代入J=4x并整理得

y2-4阳+4=0,由△>()=>机>1,

从而乂+%=4〃?，yty2=4.

22

2

4-x,=(myt-1)+(my2—l)=4m-2,内/=»)?.=1.

16

因为£4=(%—l，X),£»=(七一1,)，2)，

EA・EB=(4—l)(Xj_1)+乂必=x\x2-(%+工2)+1+4=8—4根2.

故8-4机2=-8,解得机=2,

所以/的方程为x-2y+l=0.

设A8中点为(面,先)，

则入。—々=2m。-1=7,%==2m=4,

AB中垂线方程y_4=_2(x-7).

令y=0得X=9,圆心坐标(9,0),到A5的距离为2右.

IAB|=41+加25(。+%)2一今|%=4厉.

圆的半径,二J(2A/B)2—(2人/=2M,

AABO的外接圆M的方程(x-9)2+y2=40.

21.解：(1)f\x)=ax\na+2x-\na=2x+(av-l)ln<2.

当a=e时，f\x)=ex—l+2x；

当xe(0,+oo)时/'(幻>0；当尤e(-oo,0)时/'(x)<0.

故函数/(x)在(0,+oo)单调递增；在(-oo,0)上单调递减.

(2)因为存在内,看,使得I/*1)-/(工2)|泊一1成立,

而当X€1,1］时,|/(x,)-/(x2)|</(%)_-/(X).,

所以只要/(x)1rax-/。濡2e-1即可.

又因为x,f\x),/(x)的变化情况如下表所示：

XSO)0(0,+oo)

r（x）—0+

/(x)减函数极小值增函数

所以/(幻在［-1,0］上是减函数，在［0,1］上是增函数，所以当xe［-1,1］时，/(x)的最小值

/(幻.=/(0)=1，/(幻的最大值/(初皿为/(-I)和/(D中的最大值•

因为/(I)—f(—1)=(。+1—In。)—(—bl+lna)=。----2Ina,

aa

i］21

令g(a)=a-----21na(a>0),因为g'3)=1+—7——=(1——)2>0,

aaaa

所以g(a)=a-L-21na在。£(0,+8)上是增函数.

a

而g(l)=0,故当a>l时，g(a)>0,即/⑴

当0va<l时，g(a)vO,即/(l)vg(-l).

所以，当。>1时，/(l)-/(O)>e-l,即a-lnaie-1,

函数y=a-lna在ae(l,+co)上是增函数，解得aNe；

当0<a<l时，/(-l)-/(O)>e-l,即,+lnaNe—1,

a

函数y='+In。在。w(0,1)上是减函数，解得.

ae

综上可知，所求〃的取值范围为。£(0」U[e,+co).

e

河北武邑中学2016-2017学年下学期高三第二次质检

数学试题（文科）

命题人：闰秀香审核人：李耀先

注意事项：

Z

1试卷分第I卷（选择题）狗II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.、

3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位*,在试卷和草稿纸上作答无效.

■,..,

第I卷选择题（共60分）

选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，.在每小题给出的四个选项中，有且只有一

项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上「，•,、.....

3+4/•

1复数二­的虚部为（）

A3B.3iC.-3D.-3i

2

2设1>比集合/=卜|丫>0｝,-8=eZ|x-4<0｝,则下列结论正确的是（）

AC4)cB={-2,-1,0}B.(CvA)uB=(-<x),0]

CC/)c8={l,2}D.AuB=(0,+oo)

-sinx,x>0

3已知函数〃x）=，,八，则下列结论正确的是（）

smx,x<0

A/（x）是奇函数B./（x）是偶函数

C/（x）是周期函数D./（x）在卜］+24/1+2七1］（462）上为减函数

4.若（3x-1）”展开式中各项系数之和为32,则展开式中含/项的系数为（

X

A.-5B.5C.-405D.405

5.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是（）

A.计算数列｛2"一［前5项的和B.计算数列｛2"-1｝前5项的和

武邑中学2016-2017高三第二次质检文科数学第1页共4页

C.计算数列｛21'｝前6项的和D,计算数列｛2"-1｝前6项的和

6.设p:x?-x<l,q:log2（xJx）<0,则非p是非口的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不是充分

条件又不是必要条件

线与抛物线x?=4y的准线所围成的三角形面积为2,则双曲线的离心率为（）

A.—B.V2C.?/3D.y/5

2

8.某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可熊是（）

A.B.C.D

9.某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根

据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0,5）,[5,10）,-[35.40],作出

的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）

A.B.C,D.

10.在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个恻面都和下球

相切.如果半球的半径等丁1,正二棱锥的底面边长为3&,则正三棱锥的高等于（）

A.V2B.2>/3C.V6D.V3

11.在&4BC中，内角4S,C的对边分别为明b,c,且从+c'+6c-/=0,则,皿30°-。

b-c

的值为（）A.1B.—C.--D.--

2222

武邑中学2016-2017高三第二次质检文科数学第2页共4页

,、K-2(X^0)r,、r

12.已知函数/(x)=-](1>o)'则下列关于函数y=/[/(h)+l]+l(AwO)的零点个

数的判断正确的是()

A.当4>0时，有3个零点；当左<0时，有4个零点

B.当4>0时，有4个零点；当后<0时，有3个零点

C.无论改为何值，均有3个零点D.无论改为何值，均有4个零点

第n卷非选择题(共9。分)

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.

13.若平面向量”=(2,1)和石=(x-l,-x)垂直，则卜+目=.

14.设动直线x=a与函数/(x)=2sin2x和g(x)=JJsin2x的图象分别交于A/、N两点，则

|M7V|的最大值为

15.甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6至

8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，则乙比甲先解答完的概率为.

16.函数y=/(x)图像上木同两点/(玉,必)](』,必)处的切线的斜率分别是颔，原，规定

M4B)=『lA-峭k叫I做曲线y=/(x)在点/、B之间的“平方弯曲度”.设曲线'=e'+x上不

网

同两点力(X”M),B(X”%),且玉-三=1,则夕(48)的取值范围是.

三.解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..

17.(本小题满分12分)已知数列(凡)是各项均不为0的等差数列，公差为d,£”为其前n项和,

2c,1

且满足a“=S2“_|,”eN*.数列低｝满足4=------,二为数列的前〃项和.

anan+i

(1)求.、d和与；*

(2)若对任意的"SN*,不等式47；<"+8(-1)"恒成立，求实数N的取值范围；

18.(本题满分12分)某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽

奖活动.抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标

志.摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“快

乐马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取.第一次取球就抽中获一等奖，第二次取

球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖.活动开始后，一位参赛者问：“盒

中有几个印有“快乐马拉松”的小球？"主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是

武色中学2016-2017高三第二次质检文科数学第3页共4页

4

“美丽绿城行”标志的概率是

(1)求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；

(2)若用T)表示这位参加者抽取的次数，求n的分布列及期望.

19.(本小题满分12分)如图：ABCD是菱形，SAD是以AD为底边等腰三角形，SA=SD=®

AD=20且二面角S-4。-B大小为120、ZDAB=60*.

(1)求证4O_LSB；

⑵求SC与平面£40所成角的正弦值。.I

k—x

20.(本小题满分12分)已知£(1,0),/(-1,0),2是平面上一动点，且满足|PE，KE卜PK-EK.

(1)求点P的轨迹C对应的方程；

(2)过点K的直线/与C相交于4、B两点(A点在x轴上方)，点A关于x轴的对称点为D,

且瓦•丽=-8,求A4BD的外接圆的方程.

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=a*+x?-xlna(a>0,awl).

(1)当a=e时，判断函数/(x)的单调性；

⑵若存在巧,与[-1,1],使得是自然对数的底数)，求实数a的取

值范围。

武邑中学2016-2017高三第二次质检文科数学第4页共4页

数学试题（文科）答案

一、选择题：CABCCAABBDAC

二.填空题：13.V10；14.3；15.16.（0,与4

17.解：（1）（法一）在a：二中，令％=1，，=2,得卜，

即・

W=53,

(<3|+d)’=%]+3d,

解得旬=J分

1»8=2,..aw=2?-1--------------------------3

------=----------------=—(--------------)

的川(2"D(2"1)2%-1%+1

■6分

（法二）；｛a,｝是等差数列，.巴受±=a,S"=-D=（%-D%•

由*=得=（力—1）%,又*0»..%=2〃-1,则对=1,4=2.（北求法同

法一）

（2）①当,为偶数时，要使不等式入彳</+8（—1）・恒成立，即需不等式

）<妇8）（丝+1）.=方+」+17恒成立....2+§28,等号在万=2时取得.

nnn

：.此时无需满足4<25.------------------------9分

②当力为奇数时，要使不等式入7；（川+8（-D”恒成立，即需不等式

4（（〃-8）（2〃+1）=如_§_[5恒成立.•.•2M-?是随"的增大而增大，."=1时

nnn

o-

2%取得最小值-6・..此时4需满足4<-21.

n

综合①、②可得4的取值范围是4<-21-------------------------12分

18.解：（I）设印有“美丽绿城行”的球有〃个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”

标志为事件4

武邑中学2016-2017高三第二次质检文科数学第5页共4页

则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(N)=q,----------3分

06

—4

由对立事件的概率：尸(4)=1-尸(/)=：

即脸)喑4解得n=3.5分

(II)由已知，两种球各三个，故〃可能取值分别为1,2,3,——6分

P(J7=l)=^=l,-7分则=2)=言乐等号4

・9分

3

pe=3)=i_p(〃=i)_p(”2)=

7123

10分\_3

P

555

则〃的分布列为:

・11分

所以所年+苗+岭吟

12分

19.⑴:取NO的中点E,连SE,5E,由题意知人45。

为正三角形，

・・・SELAD,BELAD,

-------------------------------2分

又SEf)BE=E,

・・・NO1平面S3E,SBu平面SBE,

・・・AD1SB--------------------------4分

(2)过S作SO_L直线BE,垂足为O,

由(1)知平面4BCD1平面S%E,

则S。，平面NBCO,连OE,则4Q1OE

/SEB为二面角的平面角，乙m。=60°—6分

ASO=6sin60°=3右----------7分

VBC//SAD,。到"0距离为B到"。距离

由B作SE垂直B0”由(D知平面平面S8E,平面3Q，平面网。

BE=3,B0i=3sin609分

武邑中学2016-2017高三第二次质检文科数学第6页共4页

0E=3,EB=3,.•.043。是平行四边形，。在直线CZ)上10分

SC2=SO2+OC2=27+48=75,SC=5右--------------------11分

BOOq

设线面角为a.sina=—J-=—；.SC与平面SAD所成角的正弦值为士,12分

3c1010

⑵方法2：过S作SO_L直线BE,垂足为O,

由(1)知平面HBCDJ■平面S8E,-----------------------------・5分

则SO_L平面4BCQ,连OE,则｛O1OE

AZSEB为二面角的平面角，NSEO=60'---------•6分

AS0=6sin60,=3方------------------•7分

O£=3,EB=3,二。48。是平行四边形，。在直线。。上・8分

过。作。C的垂线为x轴，建立如图所示直角坐标系Z'

S(0,0,3/5)

5(0,0,373),50,2点,0),4(3,80)

(0,4/5,0)

C(0,473,0),后(0,4打,-3万)

9分y

设平面SAD法向量”=(x0,y0,z0)

日弓=°n岳。+%-3z0=0,取”2,

%=3,x0=-V3

SD-n=02y0-3z0=0

7=(-瓜3,2)------------------------------11分

设线面角为a.sina=星工-=生纳二3出)(-石,3,2)=2

|SC|-|n\5V3x410

ASC与平面SAD所成角的正弦值为—,--------------------12分

10

20.解，1)设P(xj),/=(1-x-y).~PK=(-1-x,-y),EK=(-2,0),~KR=(2,0),

♦.J冏•欣=丽・威

2

；.2yl(\-Xy+y=2(x+l),得点尸的轨迹C对应的方程为y?=4x.------------4分

⑵设N(X］，M),B(x2,y2),。(玉,一乂),/的方程为x=my-l(加＞0).

格工二»/-1代人/=4x并整理得

武邑中学2016-2017高三第二次质检文科数学第7页共4页

乂-4即+4=0,由A>o=m>i

一5分

从而乃+必=4戌陟2=4,

6分

X]+工2=(加必-l)+(my2-1)=4加2—2,x.]x2==1-------------7分

16

UUUU

因为.£4=(玉-1,凶)，所=(々-1,必)，

UUUU

2

EAEB=(x,-JXx2-1)+yxy2=-(X)+x2)+l+4=8-4m

j

故8-4m2=-8>解得m=2

所以/的方程为x-2y+l=0---------------