第4章5 对数函数以及图像与性质（一）-人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型练习（机构专用）

对数函数的图像与性质(一)

考向一对数函数的概念

1、下列函数是对数函数的是(

A.y=log3(x+l)B.y=log(,(2x)(a>0,且awl)

2

C.y=InxD.y=logax(a>O,Ha1)

【分析】根据对数函数的定义即可得出.

【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y=为对数函数.

故选：C.

2、若函数y=log(2a-i>x+(a2—5a+4)是对数函数，贝I]a=.

【解析】因为函数y=log(2°-i)x+(a2—5a+4)是对数函数，

2a—1>0,

所以12〃一屏1,解得〃=4.

、层一5〃+4=0,

3、对数函数/(%)的图象经过点(%2),则/(%)=.

【答案】logix

【解析】设数函数f(%)=logax,(a>0且aL1)

•••图象经过点G，2),

・••/(x)=logix

故答案为：logix

6

4、已知/(x)=log2x,那么/(8)等于(

A.zB.8

1

C.18D.-

2

【答案】D

iii1

【解析】由题可知，%>0,令％6=8,得％=86=22,所以/(8)=log225=

考向二对数函数的图像

L42I

I、（1）如图是对数函数y=log。x的图象，已知。值取右，自，则相应于C「C2,

C3,的“值依次是（）.

（2）当时，在同一坐标系中，函数y=。一，与y=logaX的图象是（）

（3）若函数y=»乂（a>0,awl）的值域为{y|y21},则函数y=logJX的图象大致是

【答案】（DA⑵D⑶B

2、同一直角坐标系中，当幽":磔"口时，函数/=痴一”与般=蛔图/;的图象是

【答案】c

11

【解析】当0々7<1时，函数朋=统谭=心『，-eil=+x'|,所以图象过点「0」|,在其定

硼a

义域R上是增函数；函数般=崛凰就察的图象过点(L0),在其定义域(Q+oc)上是减函数.

故选C.

3、当0<a<l时，在同一坐标系中，函数y=a、与y=logax的图象是()

【答案】D

【解析】因为函数y=ax与y=logax互为反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称,

且当0<a<l时，函数y=ax与y=logax都是减函数,观察图象知,D正确.故选D.

4、若点(a,。)在y=lgx图像上，aW1,则下列点也在此图像上的是

A.(-,Z?)B.(10a,1—份C.(―,/?+1)D.d,2b)

aa

2

D【解析】当x=时，y=iga=21ga=2b,所以点(/,2b)在函数y=Igx图象上.

5、已知函数y=log2(%+a)+〃的图象不经过第四象限，则实数4、。满足()

A.a.A,b..OB.a>0,b.AC.b+log2a..0D.a+2”..0

【分析】因为函数y=log2（x+〃）+b的图象不经过第四象限，所以当x=0时，y..O,所以

log2a+b..O.

【解答】解：,函数y=log2（x+〃）+b的图象不经过第四象限，

当尤=0时，y..O,

:Aog2a+b..O,

故选：C.

【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题.

6、如图，若G，G分别为函数y=log.兀和>=log。％的图象，则（）

A.0<a<b<lB.0<b<a<lC.a>b>lD.b>a>l

【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，得出结论.

【解答】解：根据G，G分别为函数y=1。8/和y=iog”的图象，可得。0<«<1,

B.b<a,

故选：B.

7、对数函数y=loga%（a>0且〃wl）与二次函数y=（a-l）--x在同一坐标系内的图象可能

是（）

【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案.

【解答】解：由对数函数y=logqMa>。且〃。1）与二次函数丁=-%可知,

①当Ovavl时，此时a—lvO,对数函数y=log”%为减函数,

而二次函数y=（a-l）f-x开口向下，且其对称轴为尤=——<0,故排除C与。;

2（。—1）

②当时，此时〃—1>0,对数函数y=log〃x为增函数,

而二次函数y=-X开口向上，且其对称轴为x=—1—>0,故3错误，而A符合

2（。一1）

题意.

故选：A.

8、已知点（九九）在函数y=log2X的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）

A.(m2,n2)B.(2m,2ri)C.(m+2,n+l)D.(―,n-l)

【分析】把点（见力）代入函数解析式得log2m=n,再利用log2£=〃-1即可判断出点也在函

数图象上.

【解答】解：•.,点解，”)在函数y=log2%的图象上,

/.y=log2m=n,

I|mElii[rr

右x=5,WOlog2x=log2—=log2m-l=n-l,

.•.点(葭，〃-1)也在该函数的图象上，

故选：D.

考向三对数函数的性质

1、函数/(x)=/Qga(3x—2)+2(a>0,awl)恒过定点

【答案】(1,2)

【解析】当x=l时，/(l)=/og“(3—2)+2=2.所以函数

/(x)=/og0(3%—2)+2(。>0,awl)恒过定点(1,2).

2、已知函数;(x)=loga(x+l)+l(a>0,且存1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是

令x+l=l,得x=0,

则/(0)=log〃l+l=l,即定点P的坐标为(0,1).

3、已知函数«x)=log〃(*加)+几的图象恒过点(3,5),则1gm+lgn等于()

A.10B.lgl2C.lD.—

3-m=1,

n=5,

7二，’lgm+lg〃=lg2+lg5=lg10=1.

4、已知函数/(元)="1+1。8;,工一1(。>0且。：/：1,/?>0且6/1),贝【J/(X)的图象过定点()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,0)D.(0,0)

【分析】当x=l时，f(x)=f(1)=a°+log门一1=1+0-1=0,即可求出结果.

【解答］解:当x=l时，/(x)=f(1)=a°+logftl-l=l+o1l=O,

的图象过定点(1,0),

故选：C.

5、函数/0)=1082》是()

A.(0,+8)上的增函数B.(0,+<»)上的减函数

C.R上的增函数D.R上的减函数

【分析】对数函数y=log。X(a>0且,定义域为(0,+oo)；当a>1时在(0,+(»)上为增函

数；当0<。<1时，在(0,+00)上为减函数.

【解答】解：y=log“x(a>0且awl),定义域为(0,+oo)；

当时，在(0,+<»)上为增函数，

当0<a<l时，在(0,〜)上为减函数.

本题。=2>1,故>=log2》在(0,+oo)上为增函数.

故选：A.

6、函数y=log.三二+2(。>0且〃w1)的图象经过的定点坐标为—.

x+1

【分析】令真数等于1,求得X、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标.

【解答］解：令生±3=1,求得％=—2,可得函数y=k>g“生土3+2=2,

x+1X+1

?Y-4-3

故函数v=logfl三二（a>0且a*1）的图象经过的定点坐标为（-2,2）,

x+1

故答案为：（-2,2）.

考向四对数函数的性质应用

1、比较下列各组值的大小:

(l)log5彳与logs^；

(2)log12与10』2；

(3)log23与log54.

【解析】（1）法一（单调性法）：对数函数y=log5X在（0,+oo）上是增函数，而去4,所以

।3,4

log5a<log5].

、34

法二（中间值法）：因为log5a<。，Iog5]>0,

所以10g54<10g5§.

（2）法一（单调性法）：由于1042=-4,

log2G

又因对数函数y=log2x在（0,+co）上是增函数,

且聂，所以0>log2于>log2予

所以~所以log12<log12.

Iog2]log2^

法二（图象法）：如图，在同一坐标系中分别画出y=loggx及yy=logi%

y=logi%

=log|x的图象，由图易知：log12<log12.

(3)取中间值1,

因为log23>log22=1=log55>log54,

所以log23>log54.

2、(1)比较大小(填“〈”或“=

-10§0.63；

①log052011log052012；②log152011log152012；③log053

④logos0.8------log060.8；⑤logis3------log23；@logL50.8log20.8.

(2)a=log34,b=log76,c=log20.8,则().

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

若

(3)Q=0.32,b=log20.3,c=log34,则().

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

(4)若a>b>L0vcvl,则()

A.ac<bcB.abc<bac

C.a\ogbc<b\ogacD.log“C<log/

【答案】⑴①>;②<;③>；@<;⑤〉；⑥〈.⑵A；⑶C；4C；

3、若Iogm8.1<logn8.1<0,那么m,n满足的条件是()

(A)m>n>l(B)n>m>l

(C)0<n<m<1(D)0<m<n<1

【答案】C

【解析】由题意知m,n一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知，当X>1时，底数

越大，函数值越小，故选C.

4、若函数/(元)=log°元(<2>0且"1)在区间［a,2岛上的最大值比最小值多2,则。=()

A.2或上B.3或』C.4或工D.2或工

蚯322

【分析】先由=有且awl,再对4分情况讨论，利用指数函数

2

的单调性即可解题.

【解答】解：由2〃2-a=〃(2〃-1)〉0,有〃〉—且awl,

2

2

①当a>l时，loga(2a)-logaa=2,得a=2,

2

②当时，logaa-loga(2a)=2,得〃

故。=2或版7，

故选：A.

5、设a,b都是不等于1的正数,则"3">3">3”是"log“3<log,3”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

B【解析】由指数函数的性质知，若3a>3〃>3,则。>匕>1,由对数函数的性质，

得log.3<log；,3；反之，取a=；,1>=；,显然有log.3<log7,3,此时0<b<a<l,

于是3>3">3,所以“3〃>3&>3”是log。3<logb3的充分不必要条件，选B.

2

6、若10ga］＜l,则〃的取值范围是()

B.］，+8

D.°|>(»

【答案】c

7、函数f(x)是奇函数，且在区间［0,4］上是减函数，则比较大小/(-1)

/(log21)-

【答案】＞

/(-3),因为函数是奇函数，且在区间［0,4］上是减函数，由

万>3,得“同<”3),则-〃》)>-〃3),即/(—〃)〉"—3)=

8、已知logo.7(2x)<logo.7(x—1),求X的取值范围.

【解析】因为函数y=logo.7X在(0,+oo)上为减函数，

2x>0,

所以由logo.7(2x)<logo.7(x—1)得L1>0,解得X>1.

2x>x-1,

即X的取值范围是(1,+co).

9、已知f(x)=log3X,则检心m的大小是

c号"磔::*，Q：D典理>号

【答案】B

【解析】由函数y=log3X的图象可知，图象呈上升趋势，即随着X的增大，函数值y也在

增大，故/寺</卓£多尊.

10、函数>=l°g4x,*6（0,8]的值域是（）

2

A.[-3,+oo）B,[3,+00）

C.（-oo,-3]D.（-oo,3]

【答案】A

vO<x<8,.-.togix>-3i故选A

2

11、设a=bgf,6=c=2期J（）

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

[解析]由题得a=k^3<iog|l=0,fa>0,c>0,b=（j）o.2<（|）o=1,

c=2：〉2°=1,所以a<b<c.故选：D

考向五指数函数与对数函数的关系（反函数）

1、下列说法正确的是（）

A.函数y=。'与y=（3'图象关于x轴对称

a

B.函数y=logq%与y=log]x图象关于y轴对称

C.函数y=优与y=logaX图象关于直线y=x对称

D.函数y=a*与ynlog.x图象关于y轴对称

【分析】根据图象关于原点对称、图象关于x轴对称、图象关于y轴对称、图象关于y=x

对称，分别画出出各个函数图象，再对照选项即可得出正确答案.

【解答】解：令。=2,分别作出对应的图象，由图象可知

对于选项A,•.•函数>=就与丫=(工)'图象关于y轴对称，故不正确，

对于选项5,,函数y=logqX与y=logix图象关于不轴对称，故不正确，

a

对于选项C,£),.,函数y=</与y=log”x图象关于直线y=x对称，故C正确，。不正确.

故选：C.

2、(1)若/(x)=a*,g(x)=-k>g6X^lga+lg6=0,awl,b/1.则y=/(x)与y=g(x)的

图象()

A.关于直线x+y=0对称B.关于直线尤-y=0对称

C.关于y轴对称D.关于原点对称

(2)若函数/(x)=6/(。>0,且的反函数的图象过点(2,-1),则°=.

(3)若〃x)=log3x的反函数是y=g(x),则g(-l)值为()

A.3B.-3C.-D.--

【答案】(1)B(2)-(3)C

2

3、已知函数/(x)=log2》,若函数g(x)是的反函数，则/(g(2))=()

【答案】B

【解析】

由函数y=/(x)=/og2X,得x=2\

把X与y互换，可得丁=2'即g(x)=2',

...g(2)=22=4,则/(g(2))=/(4)=/og24=2.

故选：B

4、若函数y=/(无)与函数y=log2X互为