高中数学：6-12正弦定理（学案）

第12讲正弦定理

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课程标准课标解读

1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.

2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解通过本节课的学习，要求能利用正弦定理解决与三角形

决简单的解三角形问题.边、角、周长、面积等问题，能结合余弦定理及三角函

3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的

数的相关知识解决与三角函数有关的综合问题.

恒等式化简、证明及形状判断等问题.

1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

公式：在任意AABC中，都有瘾=磊=会，这就是正弦定理•

【微点拨】正弦定理的特点

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.

(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系

的互化.

2.正弦定理及其推论

设△ABC的外接圆半径为R,则

⑴sinA~sinB~sinC~—'

(2)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2=sinC.

,一、.Aa.cb.〃c

(3)sinA=砺，sinB=苏,sinC=丞.

(4)在△ABC中，A>8=\>b=sinA>sinB.

3.三角形面积公式

(l)S=^aha=^hhh=昂,；

(2)S=]〃加inC=]bcsinA=/casinB.

【即学即练1】在aABC中，若?—="上，则C的值为（）

ac

A.30°B.45°C.60°D,90°

【答案】B

【解析】由正弦定理可将包工=X变形为2"=.,tanC=l.\C=45.

acsinAsinC

【即学即练2】在4?C中，a=80,6=100,71=30°,则满足条件的8有（)

A.0个B.1个C.2个D.不确定

【答案】C

【分析】根据题意判断加inA,a的大小关系，即可得出答案.

【解析】因为a=80,6=100,A=30。，，

所以匕sinA=50<a=80，

所以三角形有两个解，即满足条件的B有2个.

故选：C.

【即学即练3】在AABC中，A=120°,AB=5,BC=1,则色”的值为（）.

sine

8n5-5>3

A.-B.-C.-D.一

5835

【答案】D

【分析】利用余弦定理可求AC=3,再利用正弦定理可求职的值.

sine

24

【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABXACXCOSM,

即49=25+AC2-2x5xACx（-g）,

得AC=3,由正弦定理得当=*=（,

sinCAB5

故选：D.

【即学即练4】如图，已知A,B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得

AC=50m,ZACS=45,ZG4B=105,则A、B两点的距离为（）

••

.・

-----------------------A

A.50石mB.25-JimC.25&mD.50&m

【答案】D

【解析】由已知，ZABC=30,由正弦定理得：===丝别”=50立.故选D

sin45sin30sin30

【即学即练5】.在中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知4=30。,3=120。,々=5,则

b=,c=,ABC的面积为.

【答案】5上5型叵

4

【分析】利用正弦定理，及三角形的面积公式即可求解.

【解析】由正弦定理得：6=学”=56,。=兀一A-8=30,所以c=a=5,

sin30°

x=

所以SABC=；absinC=-^x5x5>/3~,

故答案为：5石：5；至更.

4

【即学即练6】在一ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:3,则cosC的值为.

【答案】］

【分析】根据sinA:sinB:sinC=3:2:3,利用正弦定理得到。=3，,b=2r,c=3f，再利用余弦定理求解.

【解析】

因为在▲ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:3,

由正弦定理得a:b:c=3:2:3,设〃=3,力=2f,c=3f,

由余弦定理得cosC='+c-2=1，

2bc3

故答案为：!

【即学即练6】在一ABC中，茗a=6,b=2,sinB+cos8=应，则4=.

【答案】J

O

【分析】根据sinB+cos8=四。结合辅助角公式首先求出B=(,然后结合正弦定理即可求出结果.

【解析】因为sinB+cos8=&，所以&sin(8+?J=后，即sin(B+?卜1,又因为8e(O,乃)，所以8=?,

,yf22.(3、

则由正弦定理得二=二，即高入=a，所以sinA=；,又因为Ae0,一，所以A=J,

sinAsinB—2\4J6

2

故答案为：

6

【即学即练6】在，ABC中，若。=4,b=3,c=2,则.ABC的外接圆半径长为.

【答案】亚

15

【解析】先根据余弦定理求解出cosA的值，然后可求解出sinA的值，结合正弦定理可求解出外接圆的半径.

因为cosA="*°—匕=9±4—―=~~,Aw(O,;r),所以sinA=J1-cos2A,

2bc2x2x344

a4__

设外接圆半径为R,所以2"=嬴了=芯，所以R=M1,

~T15

故答案为：殳叵.

15

【即学即练6］如图所示，为了测量A、8两岛屿的距离，小明在。处观测到A、8分别在。处的北偏西15。、

北偏东45。方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测8在C处的正北方向，A在C处的北偏西60。方

向，则A、B两岛屿的距离为—海里.

【答案】5瓜.

【分析】先利用正弦定理求解的长，再利用余弦定理求出A8.

【解析】由题意知/AC8=60°,ZACB=60°,NA£)C=105°,乙4。=30°,CD=10,NBDC=45°,

An

在三角形AS中，二冬10

sin30sin45

••.A£>=5五，在直角三角形8c。中，BD=10底,

在三角形ABD中，4B=yjAD2+BD2-2AD-BDcos60=5屈■故答案为：5m.

口能力拓展

考法01

正弦定理的证明：

【典例1］在钝角△ABC中，证明正弦定理.

【证明】如图，过C作CDJ_A8,垂足为。，。是8A延长线上一点,

根据正弦函数的定义知,

CDCD

sinZCAD=sin(180°—A)=sinA,7-=sinB.

.•.CQ=bsinA=asin比'看=高.

sin8sinC'故sin4-sin8一5皿C”

【典例2】如图，锐角△ABC的外接圆。半径为R,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明：^77

sin

2R.

【证明】连接BO并延长，交外接圆于点4,连接4C,

则圆周角4=4

为直径，长度为2R,

a

••NACB=90°,sinA'=(

ADZn

，sinA=品，BPa=2R.

2RsinAA

考法02

正弦定理的应用范围：

(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角.

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角.

3.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.

(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐

角，由正弦值可求唯一锐角.

(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分

类讨论.

【典例3】在△ABC中，已知。=8,5=60。，C=75。，则6等于()

A.4-72B.4小

C.4#D.4

【题点】己知两角及一边解三角形

【答案】C

【解析】易知4=45。，由就^磊得

asinBSX27

2

【典例4】在；A3C中，若a=6,b=6y/3,8=120。，则人=.

【答案】300

【分析】利用正弦定理求出sinA=g,再由大角对大边，确定角A的大小.

【解析】在中，由正弦定理得三=一二

sinAsinB

有熹=幕‘解得=J

乂所以A<5=120。，所以A=30°.故答案为：30°

【典例5】在一ABC中，

(1)已知。=24,6=13,C=108°,求c,B；

(2)已知b=2,c=10,A=42。，求a,C；

(3)已知a=7,6=4百，c=y/13,求最小的内角.

【答案】(1)“30.624,8223.8114。

(2)a。8.61,CB129°

(3)30°

【分析】

(I)先用余弦定理求出c,进而用正弦定理求出B：

(2)先用余弦定理求出”,进而用正弦定理求出8,进而求出C；

(3)根据大边对大角，再结合余弦定理即可得到答案.

【解析】⑴由余弦定理，c?=/+〃—2妨cosC=24,+13?-2x24x13Xcos108。=937.8266=c“30.624,

由正弦定理，-1!■=nsin3-0.4037267,因为c»,()<B<18()°,所以5=23.8114。.

sin3sin108°

(2)由余弦定理，/=从十/一2历cosA=2?+1一2x2x10xcos42。a74.27na=8.61,

由正弦定理，-^-=—sing=2x0-669«0.1554,因为0<B<180°,所以839。，所以

sin42°smB8.61

C=180o-42°-9°«129o.

〃2+〃2249+48—13Ji

(3)由大边对大角可知，C最小，由余弦定理，cosC二°十"'=—十的.0<C<180°,/.C=30°,

2ab2x7x462

即最小的内角为30。.

【典例6】在aABC中，已知片5近，A=45。，试判断当。分别取10,5,3叵士时，角C的解的个数.

32

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】根据给定的每一个a值，利用正弦定理解“已知两边及一边的对角解三角形”的方法逐一计算判断作

答.

【详解】⑴当。=10时，因c=5正，4=45。，有则角C比角4小，角C是锐角，所以角C有一解；

⑵当4=5时，因c=5&，A=45°,有c>“，则sinC=%^=%反竺竺=1,而0<C<180,则C=90,

a5

所以角C有一解；

厂_csinA_5\/2sin45

⑶当a=W■旦时，因c=5&，A=45。，有则sma105/32，而0vC<180，则。=60

3

或C=120,所以角C有两解；

5,csinA_50sin45

(4)当。时，因c=5&，A=45。，有“a,则smS—T-"-5—=2>1,无解，所以角C无解.

2

【典例7】在AABC中，已知6=3,c=3&,8=30。，求角A,角C和边a.

【答案】见解析

【分析】由条件利用余弦定理求得a的值，再根据正弦定理求得C的值，即可求A的值.

试题解析：

【解析】

由余弦定理b2=a2-Vc2—2accosB,

得32=序+（36）2—2“X3出xcos30°,

.♦.屋一9。+18=0,得a=3或6.

当”=3时，A=30°,/.C=120°.

当a=6时，由正弦定理sin4=竺妈=6x，=|.

b-T

."=90°,."=60°.

故C=60°,A=30°,a=3或C=60°,A=90°,a=6

考法03

与面积有关的问题求解：

【典例8】在..ABC中，角A,8,C所对的边分别为。，b,J若46=1,sinC=4GsinB,则,ABC

6

的面积S=_.

【答案】6

【分析】先根据正弦定理求得c的值，再由三角形面积公式即可求解.

【解析】因为sinC=46sin8,

由正弦定理化角为边可得：c=4耳=46，

所以_ABC的面积S=L/jcsinA='x1x4>/3x-=x/3,

222

故答案为：6.

【典例9】已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60。，另两边长之比为3：2,则这个三角形的面积

是.

【答案】乎

【解析】

【分析】

根据条件可设另两边长分别为弘，〃也>0),利用余弦定理求出公即可计算三角形面积.

【详解】

依题意，设三角形另两边长分别为配由余弦定理得：72=(3^)2+(2fc)2-2-3^-2^cos60,

解得犬=7,丁是得三角形面积S=L3h2ksin60=述&2=处叵，

222

所以三角形的面积是生亘.

2

故答案为：生巨

2

JT3

【典例10】已知AA6C的内角A,8,c所对的边分别为4,"c,A=^,c=^a.

(1)求sinC的值；

(2)若a=7,求AABC的面积

【答案】(1)sinC=等；(2)S4ABe=66

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理求解即可：(2)由余弦定理求得力=8则面积可求

【详解】

(1)由正弦定理得耳=菽故sinC=3sinA=%；

-y714

3

(2)a=7=>c=-a=3,

7

由余弦定理，a2=h2+c2-2bccosA^>h2-3b-4()=0,解得匕=8

因此，S&MC=gbcsinA=66

【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题.

-TT

【典例11】在sABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c.若a=l,B=：,_ABC的面积S=2,贝iJ_A3C

4

的外接圆的面积为.

【答案】三

【解析】

【分析】由&ABC的面积S=2,可求得c=40，再利用余弦定理求出6=5,然后利用正弦定理求出aABC

的外接圆的半径，从而可求出外接圆面积

【详解】

因为S=2=/xacsinB,所以c=40，

由余弦定理得从=a」+c2—2accos8=25,所以5=5，

/\2

所以工=5应.所以AABC的外接圆的面积为7x学=学.故答案为：鸟

smBI2J22

【典例12]若_ABC的外接圆的半径是3,且AB=4,BC=3,SABC=5,贝i」AC=.

【答案】5

【解析】

【分析】利用三角形面积公式求得sinB,然后根据外接圆半径，利用正弦定理求得.

【详解】c=AB=4,a=BC=3,S=—acsinS=—x3x4xsinB=5,sinB=-,

ABC226

AC=ft=2/?sinB=2x3x-=5,故答案为：5.

6

考法04

正弦定理的综合应用：

【典例13】满足条件a=4,b=3y[i，A=45。的三角形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.不存在

【答案】B

【解析】

Avir>A4

【分析】由正弦定理求得sinB=84色==,得到8有两解，即可得到答案.4

a4

【详解】

在/ABC中，因为。=4,b=3亚,4=45。，

由正弦定理三=工，可得$皿8=史曳2=也见色=3,

smAsin8a44

因为4<3夜，即则0°<3<135°有两解，所以三角形的个数是2个.

故选：B.

【典例14】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosA=Z?cos3,试判断AABC的形

状.

【答案】AABC为等腰三角形或直角三角形.

【解析】

【分析】

根据正弦定理将边化为角后再进行判断，可得三角形的形状.

【详解】由正弦定理及4cosA=/?cos8得sinAcosA=sinBCos3,所以sin2A=sin2区

因为2A,2Be(O,2i),所以2A=23或2A+23=加所以A=3或A+8=',

所以MBC为等腰三角形或直角三角形.

【点睛】判断三角形的形状有两种方法，一是把角化为边后进行判断，另一种方法是把边化为角后再进行

判断.本题也可根据余弦定理，将角化为边后再进行判断，也可得到三角形的形状.

【典例15】在AABC中，已知a=10,8=75。，C=60。，试求c及△ABC的外接圆半径R.

【答案】C=5#,R=5X/L

【解析】

【分析】先根据三角形的内角和定理，求解角A=45。，再由正弦定理，求得c=5#,进而利用正弦定理,

即可求解三角形外接圆的半径.

【详解】VA+B+C=180°,：.A=180o-750-60o=45°.

由正弦定理，得£=rJ=2R,三=5加,

ctnA«in<0rlA/

10

•••2K=鲁=正=1收♦R=50

T)

【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形的应用，其中合理应用正弦定理是解答的关键，属于基础题，

着重考查了推理与运算能力.

【即学即练7】在一A3C中，4,A>B,,>llcos2A<cos2B,,W().

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

可以由cos'AVcosZB反向推导得到A>8.

【详解】由cos^AVcos*得，l-sin2AVl-sin2B,sin2A>sin?8,

在▲ABC中siMX),sinBX),所以sinA>sin/?,

由正弦定理得,

由大边对大角的结论知A>B.

所以为充要条件.

故选：A

【即学即练8】已知点。是［ABC的外接圆的圆心，A8=3,AC=2&,44c=£,则外接圆。的面积为

4

【答案】《

【解析】

【分析】

利用给定条件结合余弦定理求出边8C,再利用正弦定理求出圆。半径即可得解.

【详解】

在」ABC中，因A8=3,AC=2贬,NBAC=J,则由余弦定理得：

BC=y/AB2+AC2-2ABACCOSZBAC=3+(2⑸_2■3・2夜cos?=6，

令“LBC的外接圆半径为R,由正弦定理得：2/?=-=710,解得/?=巫，则5=万片=当,

sinZ.BAC22

所以外接圆。的面积为等.

故答案为：

分层提分

题组A基础过关练

1.在“ABC中，AB=>/3,A=45°,C=75,则8C=()

A.3-GB.V2C.2D.3+耳

【答案】A

【解析】

【分析】

宜接根据正弦定理求出8c.

【详解】

在AABC中，A=45°,AC=75°.

由正弦定理得-^=」冬，

smAsmC

nV2

__ABsinA百sin45""*2r

sinCsin75J2+V6

4

故选A.

【点睛】

解三角形时注意三角形中的隐含条件，如三角形的内角和定理，三角形中的边角关系等，解题时要灵活应

用.同时解三角形时还要根据所给出的边角的条件，选择运用正弦定理还是余弦定理求解.

2.在△ABC中，a=6sinA,则△ABC一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

n

由正弦定理可得57九4=s历Kw九4,可得$力出=LB=—,可作出判断.

2

【详解】

\•在,ABC中，a=bsinA,

/.由正弦定理可得s讪4=smBsiiiA,

jr

同除以s%A可得s加8=1,B=-

2

：..ABC一定是直角三角形，

故选B.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理的应用，属基础题.

3.已知中，AC=2,8=45。，若aABC有两解，则边长8c的取值范围是（）

A.（2,272）B.（2,2>/3）C.（也2&）D.（五,2句

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角形有两解的条件可得asin45即求.

【详解】

设角A、B、C所对边为a、b、c,由三角形有两解的条件可得，

C

B

asin45<b<a<BP^-a<2<a,

2

解得2<a<2&即边氏BC的取值范围是仅,2夜）.

故选：A.

4.已知.ABC中，4c分别为角ARC的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是（）

A.d=1,b=2,A=—B.a=2,b=lA=—

4f4

C.a=2,b=3,A=§D.a=4,b=3,A=

63

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理与大边对大角逐项判断即可求解

【详解】

2

b---=

对于A：由，一=.八得：.乃sinB，所以sinB=0>l，无解，A错误；

sinAsinBsin-

4

.a=b得:.兀~

对于B：由「一7sinB，所以sin8=，乂a>b,故A>8，此时有一个解，B错误;

sinAsin8sin-4

4

2—^―3

,ah

对于C：由sinA=二得：.乃一sin8，所以sm3=：,又〃<h,故A<3，此时有两个解，C正确；

sin8sm-4

0

b4-,33a

对于D：由三=----得：.2万sinB，所以sinB=---,3La>b,故A>3,此时有一个解，D错误।

sinAsin8sin—8

故选：c

5.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知加in（A+。）=asin8,则角A等于（）

【答案】B

【解析】

己知边角关系式，利用正弦定理把边化角，即可求出角A

【详解】

由正弦定理得，sinBsin[A=sinAsinB

•.'sinBwO,sin（A+§）=sinA,即sinA=V^cosA，tanA=-73

TT

0<A<7r,4=5.选B.

【点睛】

本题主要考察了正弦定理的应用——边角互化.利用。=2RsinA,b=2RsinB化简已知边角关系即可.

6.在AA3C中，若sMA+sin28VsiYC，则AA3C的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理得“2+z>2<c2,再由余弦定理求得cosC="、'-c2<理得到Ce©M）,即可得到答案.

2ah2

【详解】

因为在AA5C中，满足sin^A+sin3?<sin?C,

由正弦定理知sinA=4,sin8=3,sinC=三，代入上式得a2+Z）2<c2,

2A2A2R

又由余弦定理可得cosC=）+'-c'2<。因为c是三角形的内角，所以

2ah2

所以AABC为钝角三角形，故选A.

【点睛】

本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C

的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7.AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、J已知4=60。,6=1,该三角形的面积为G，贝I」

〃+b+cg/±/、

—;~—~~—的值为（）

sinA+sin8+sinC

A2aRV39-26n2如

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根据面积可求得c=4,然后根据余弦定理得到a=JR,再由正弦定理的变形可得所求的值.

【详解】：AA3c的面积为6，A=6O°,Z?=1,.,.l^sinA--xlxcxsin60°=—c=^.

224

/.c=4.

由余弦定理得/=匕2+/—2Z?ccosA=1+16-2xlx4x—=13,a=V13.

2

由正弦定理得-----a+b+c----=，_=1叵=2场.故选A.

sinA+sin3+sinCsinAsin6003

【点睛】

正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式都能反应三角形中的边角关系，因此这些内容常综合在一起考查,

成为命题的热点.在解题是要注意公式的灵活应用，特别是在应用正弦定理时要注意公式的常用变形，如

本题中所涉及的式子等.

8.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,h,c,已知sin（3—A）+sin（3+A）=3sin2A,

j_—71

且c=币，。=石,则_ABC的面积是（)

B.拽「V21D,在或拽

A.373Vx•---

~T~6346

【答案】D

【解析】

【详解】

分析：由题意得sinBcosA=3sinAcosA,分cosA=0和cosA两种情况求解，然后结合三角形面积

公式可得结果.

详解：*/sin（B-A）+sin（jB+A）=3sin2A,

:.sinBcosA=3sinAcosA.

①当cosA=0时，二ABC为直角三角形，且A=].

,**c=5/7,C=—,

SV21

・b7=-----=----

②当cosAw0时，则有sinB=3s讥4,

由正弦定理得b=3a.

由余弦定理得c2=cr+/?2-lahcosC

即7=/+（3a）2-2a-（3a）q,

解得a=l.

.c1,.„11a.兀373

••S.——absmC=—xlx3xsin—=---•

MIASRrC2234

综上可得一ABC的面积是述或型.

46

故选D.

【点睛】在判断三角形的形状时，对于形如sin5cosA=3sinAcosA的式子，当需要在等式的两边约去

cosA时，必须要考虑cosA是否为0,否则会丢掉一种情况.

9.在A48C中，角A,B,C所对的边分别为“，b,C,若a=0,b=2,sinB+cos8=>/5,则角A的

大小为

A.60°B.30°C.150°D.45°

【答案】B

【解析】

IllsinB+cosB=V2.平方可求sin23,进而可求得8；然后利用正弦定理可求出sinA,根据三角形中大边

对大角的原则可求出A.

【详解】

EllsinB+cosB=>/2>两边平方可得：l+2sinBcos3=2

/.2sinBcosB=l,即：sinIB=1

8e(O,;r).♦,B=45

又a=b=2,由正弦定理得：巫=」—

sinAsin45

解得：sinA=-

2

a<b:.A<BA=30

本题正确选项：B

【点睛】

本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，避免出

现增根.

10.在,ABC中，内角A、8、C所对的边分别是a,b,c且氐sin8=6sin(B+C)tanC,则8sC=()

A.；B.--C.2D.-立

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知6asinB=bsinAtanC,再根据正弦定理，可得力sinAsinB=sinBsinAtanC,可得tanC=G，

由此即可求出角C,进而求出结果.

【详解】

在；ABC中，sin(3+C)=sinA

所以/?5出(8+。)匕口。=/?5抽24匕。。，

所以CasinB=bsinAtanC，

由正弦定理可知，y/3sinAsinB=sinBsinAtanC»

又A,〃£（0,乃）,

所以tanC=6，

又Ce(O,;r),所以C=(,

所以cosC=1.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

11.对于下列说法正确的是()

A.若sin2A=sin28,则ABC为等腰三角形

B.若sinA=cosB,则..ABC为直角三角形

C.若siYA+si/B+cos2c<1,则-ABC为钝角三角形

D.若AB=6AC=\,8=30。，则ABC的面积为且

3

【答案】C

【解析】

【分析】

通过三角函数与角的关系判断三角形的形状，从而判定A,B的正误；利用正弦定理与余弦定理判断C的

正误：利用正弦定理及三角形面积公式判断D的正误.

【详解】

对于A：sin2A=sin2B.

:.2A=2B^2A+2B=7r,

TT

:.A=B^A+B=-,

2

所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B:sinA=cosB,

.\A=B+-^A=--B,

22

所以一ABC不一定是直角三角形，故B错误；

对于C：,sin2A+sin2B+cos2C<1»

sin2A+sin2B<l-cos2C=sin2C，

由正弦定理得“2+b2<c2,又8SC="+'lJo,

2ab

所以角C为钝角，所以JRC为钝角三角形，故C正确;

对于D:48=6，AC=i,3=30。,

.厂ABsinB>/3,

sinC=--------=——，乂AABD>AC，

AC2

.•.C=60°或120,.•.A=90或30,

••ARCsinA=—■或——,故D错误.

ABC224

故选：C

12.中，AB=AC=5,BC=6,则此三角形的外接圆半径是（）

「7-25-25

A.4B.-C.—D.--

289

【答案】c

【解析】

7

在.ABC中，根据AB=AC=5,BC=6,由余弦定理求得cosA=云，再由平方关系得到sinA,然后由正

弦定理2/?=当求解.

sinA

【详解】

在AABC中，AB=AC=5.BC=6,

所以sinA=Vl-cos2A=—■,

25

2R=军=9="25

由正弦定理得：sin/l_24_4,所以R=1，

25&

此三角形的外接圆半径是《25故选：C

O

【点睛】

本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

13.在三角形ABC中，若三个内角A8,C的对边分别是a,尻c,a=l,c=40，8=45。，则sinC的值等

于（）

474?

【答案】B

【解析】

【分析】

b「

在三角形MC中,根据〃c=4&,8=45。，利用余弦定理求得边"再利用正弦定理嬴万=碇求

解.

【详解】

在三.角形ABC中，a=l,c=4五,5=45。,

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,

=1+32-2x1x472x—=25,

2

所以6=5,

b

由正弦定理得:

sinBsinC

所以sinC=*="^=M

h55

故选：B

【点睛】

本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题.

14.己知a,b,c分别为qABC内角A,B,C的对边，bsinC=2丘c-cosB,b=6,则当-ABC的周长最大

时，_ABC的面积为（）

A3&口36C.唯

D.3也

444

【答案】A

【解析】

利用正弦定理将bsinC=2&c-cos3进行边化角，可得tanB,sin8,cosB的值，再结合余弦定理和基本不等

式即得.

【详解】

解析：由正弦定理得sin3sinC=20sinCeos3，

Op)1

VCe(0,^),sinC*OtanB=272-sinB=------,cosfi=-,由余弦定理得:

33

2

a+c

h2=3=a2+c2-2accosB=(a+c)2--8ac>(a+c)21--8x|=-(a+c)2,a+c43,

~2~

当且仅当a=c=g时取等号，此时S=1acsin8=^

224

15.在一ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解

的是（）

A.a=10,b=8,A=30B.a=8,6=10,A=45°

C.a=10,b=8,A=150D.a=8,6=10,A=60

【答案】B

【解析】

【分析】

在角A为锐角的前题下，判