高中数学：立体几何大题

19.如图，在△ABC中，AB=3,AC=2BC=4,。为AC的中点，AE=2EB>

而W后.现将△磔沿翻折至AAOE'得四棱锥.A'dC"

（1）证明：AP±DE<

（2）若A4'=2百，求直线AP与平面BC。所成角的事切值

50.（2021•浙江高三二模）在直角梯形£BCZ）中，AB=2EA=2BC,将△£?1£>沿AD

翻折至△PAD位置，作AQ±PB于点。.

（1）求证：AQLPC.

（2）当二面角P-BC—。最大时，求直线AQ与平面POC所成角。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）上.

7

【解析】

（1）证明D4J"平面得3C_L平面R45,BC±AQ.然后可得AQ_L平面

PBC,从而得证线线垂直；

jr

（2）由（1）得NP5A是二面角P-BC-D的平面角,由正弦定理可得它最大值为工，

P,。重合，因此求得A到平面PCD的距离可得所求线面角的正弦值.过尸点作

PELAB交AB『点E,过£点作。_LDC丁一点/，连接PE，过E点作EH±PF

于点H.证明四即为直线AB到平面PC。的距离，设AB=2,求得其长度后，可

得结论.

【详解】

(1)证明：ZMLAB,DALPA.ABcA4=A,AB,PAu平面Q4B,

D4_L平面RIB.

3C7/ZM,，8C_L平面Q4B，A。匚平面F45，

.•.BC±AQ.

又AQLPB,PBcBC=B,PCu平

面PBC,

；.AQ±PC.

(2)解：由(1)知，8。_1平面从8,；.//554是二面角75—3。一。的平面角,

sinNPBAsinN4PB..sinZAPB1

由正弦定理得sinNPBA=--------W-.

PAAB22

JTIT

.•.当NAP8=一时，NP8A取得最大值此时P,。两点重合.

过P点作PELAB交AB于点E，过E点作EFLDC于点、F,连接PF，过E点

作EH工PF于点、H.

：BC_L平面Q46,BCu平面ABCD,...平面A8C£)_L平面Q4B，

：PEu平面B4B,PEJ•平面ABC。，CDu平面ABC。，CD±PE,

又CD上EF,EFcPE=E,EF,PEu平面PEF,，。。，平面「印，

CDu平面PCD,...平面PEEJ_平面PC。，又EH工PF,平面PEFf］平面PCD

=PF,EHu平面PEF,

EH_L平面PCD.EH为AB到平面PCD的距离.

设AB=2，则B4=l,PE=—,EF=\,：.PF=—,EH=叵,

227

第2页，共18页

sin”曳二叵

PA7

54.（2021•浙江高三三模）如图，在四面体ABC。中，△BCD是等边三角形，M为AD

中点，P为BM中点,AQ=3QC.

(1)求证：PQHffiBCD；

3

（2）若AO=—CD,BC±AD,二面角A—BC—O的平面角为120°,求直线8M

2

与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）亚.

14

【解析】

（1）取中点N,连接PN,QN,先由面面平行的判定定理，证明平面PQN〃平

面BCD,进而可得结论成立；

（2）由题中条件，先得到5CL平面AED,且NA£D为二面角A—5C—。的平面角，

设CD=1,求出AE；以点E为坐标原点，EC方向为％轴正方向，ED方向为>轴

正方向，过点E垂足于平面BCD向上的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，求

出直线的方向向量，以及平面ABC的法向量，由向量夹角公式，直接计算，即可

得出结果.

【详解】

（1）证明：取MD中点N,连接PN,QN,

因为P为中点，所以在AMBO中，PN//BD,

因为PNz平面BCD,BOu平面BCD,所以PN〃平面BCD；

又在AACD中，不。=3QC,AN=3彷，=NQ//CD.

因为NQ（z平面6C。，8u平面8co.所以NQ〃平面BCD；

因为NQcPN=N,NQu平面PQN,PNu平面PQN,

平面PQN〃平面BCD，

又PQu平面PQN，,PQH平面BCD.

(2)取8C中点E，连接OE，AE,

因为△6C£＞是等边三角形，则。E_L8C；

又6C_LAT＞,ADcDE=D，ADu平面A££＞，DEu平面AEO,

BC，平面AED，且NA££＞为二面角A-BC—。的平面角，

不妨设co=i,则DE=2,

22

由余弦定理可得A。？=AE2+ED2-2AE-ED-cos120°，即？=A炉+之+走AE,

442

解得AE=正或AE=-G(舍)；

2

以点E为坐标原点，EC方向为x轴正方向，方向为＞轴正方向，过点上垂足于平

面BCD向上的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

11、、

则—二,。，0|，C\—,0,0|,D0,^-,0,A0,-,

2

77

X

UIBI」B_3、

因此M，所以,-5,AB\"""，7,碇=(1,0,0),

,2r8244J

7

设平面A5C的一个法向量〃=(x,y,z),

n-BC=x=0

n±BCx=0

则〈所以《3即〈

filAB'n-AB=x+y——z-0,=任'

244

不妨令z=l，则〃=(0,百,1)；

设宜线与平面A8C所成角为。,

ruuu*33

rumrri-BM-+3不

88

则sin0=cos<n,BM>TrrtiUtr

fMBM2x./—+-I，

46464

即直线BM与平面ABC所成角的正弦值为地.

14

第4页，共18页

A

BECx

60.(2021•浙江高三其他模拟)已知直角梯形ABC。，ABI/CD,ABLBC,

AB=BD=2CD,b为AD的中点，将△BCD沿3。翻折至△BOP.

(1)求证：BD±PF；

A

(2)若PF=W~PD，求PB与平面PAD所成角的正弦值.

2

【答案】(1)证明见解析；(2)2场.

13

【解析】

(1)作于E,连接E凡令PD=1,经计算证明石即可得解；

(2)三棱锥B-以。中，作出面巩。上的高PQ,用等体积法求出PQ即可得解.

【详解】

(1)过点P作PE_L8。于E,连接EF,Rt/\BPD中，令P3=1,则BD=2PD=2,BP=6

NBDP=60；DE=L,PE=也,如图：

22

..一

直角梯形ABCD中，显然有ZCBD=30，而43_13。，则/450=60°，又

AB=BD，即为正三角形，

而产为AO的中点，则。/B」

=,AO=L。=1,又44。8=60°，△。石尸中，由余

22

3

弦定理得EF2=DF2+DE2-2DF-DE-cos60=

4

即EF2+OE2=I=OF2,△£）以?是直角三角形，有EF上BD,而PELBQ,

PEcEF=E,

所以8。，面尸石尸，"u面P"，故3£>_LPE：

⑵过B作SQL平面PAD与平面PAD交于点Q,连接PQ,则PQ是PB在平面PAD内

射影，/BP。是直线尸8与平面以。所成角，如图：

因面PEF，即平面面PEF,平面ABDc面庄尸=EP,过点P作

PO±EFTO,则PO_L面A3D，

liiWPF=—PD=—,EF=PE=PF=—,。。=3，

2224

△PDF中，PD=DF=l,则

-PFG________6q

cosNPFD=Z—=—,sinNPFD=Jl-cos?NPFD=—'

DF44

SPAD=2SpFD=21PFDF.smNPFD=叵,

SA*=LABBD-sinZABD=6,

AntflJ2

V

由匕"AD=P-ABD得4•BQ・S/AD=1P。，S“BD,即BQ•j.G，

J384

6BQ62739

BQ=sin4PQ=

V13，~PB~j39~13

所以PB与平面PAO所成角的正弦值为独9.

13

1.如图所示，在三棱柱4BC-&B1Q中，四边形4BB1&为菱形，/人为&=今平面

ABBMi1平面ABC,AB=BC,AC=V2AAt=2>/2,E为AC的中点.

第6页，共18页

(I)求证：B1G1平面4BB14；

(n)求平面EB1G与平面BB1GC所成角的大小.

【答案】(I)证明：•••四边形ABB1&为菱形，AB=

BC,AC=夜441=2V2,

AC2=AB2+BC2,得AB1BC,

又平面ABBMi平面ABC,平面ABBMiC平面

ABC=AB,BCu平面4BC,二BCJL平面/88出，

又BG//BC,BQ_L平面4幽人；

(II)取为&的中点0,占C1的中点N,连接04,0N,

•••B©J_平面ABB1&,BiCJ/ON,

ON1平面4BB14,又04，。4(3平面488141，

得。NJ.O&,ON10A,

又四边形4BB1必为菱形，444泮1=泉。是4/1的中点，.••CM14当，

故。ON,。4两两互相垂直.

以。为坐标原点，分别以。4、0N、。4所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

(-1,0,0),Ci(-1,2,0),E(-U,回B(-2,0,73).

由图可知，平面EBiG的一个法向量为布=(1,0,0),

设平面BBiGC的一个法向量为元=(x,y,z),

则g-£i£i=2y=0，取z=1,得元=(73,0,1).

设平面ESC］与平面BBiGC所成角的大小为0,

则cos。=Icos<m,n>I=I诋I=——=T>

又・••。6(0勺，」.T，

Zo

故平面EBC与平面B/CiC所成角的大小为今

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用

空间向量求解空间角，属于难题.

(I)由已知利用勾股定理证明AB1BC,再由平面4BB1411平面4BC,由面面垂直的性

质可得BC，平面488遇1，即可证得BiQ_L平面4BB送1；

(11)取力181的中点0,&G的中点N,连接。4ON,证明04,ON,。4两两互相垂直，

以0为坐标原点，分别以。4、ON、。4所在直线为％、y、z轴建立空间直角坐标系，分

别求出平面E&Ci的一个法向量与平面BBiGC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦

值即可求得平面EB1Q与平面BBiQC所成角的大小.

2.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是平行四边形，AABC=120°,AB=

l.BC=4,PA=V15>M,N分别为BC,PC的中点，PDA.DC,PM1MD.

(1)证明：AB1PM；

(2)求直线4N与平面PDM所成角的正弦值.

【答案】(1)证明：•••NABC=120°,AB=1,BC=4,

.♦.在ADCM中，DC=1,CM=2,Z.DCM=60°,由余弦定理可得CM=遍，

则。M2+DC2=CM2,

:.DM1DC,

由题意可知。C_LPO,且PDCDM=D,PD,OMu平面POM,

DC1平面PDM,而PAfC平面PDM,

.••DC1PM,又AB“DC,

：.AB1PM.

(2)由PM_LMD,DC1PM,而OC与DM相交，DC,DMu平面4BCD,

PM，平面4BCD,

vZ.ABC=120°,AB=1,BM=2,

--AM=V7,

•••PM=2vL

取AD中点为E,连接ME,则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点，建立空间直

第8页，共18页

角坐标系，如图所示:

则4(一封2,0),P(0,0,272),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(V3,-l,0),

又N为PC中点，

而=(竽,一|,烟，

由(1)得CD1平面PDM,可得平面PDM的一个法向量记=(0,1,0),

从而直线4N与平面PDM所成角的正弦值为：而而司=至毒二==.

744

【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质，利用空间向量求解直线与平面所成角，属

于中档题.

(1)由题意可证DMJ.DC,又。C1PD,且PDCiDM=D,即可证明DCJL平面PDM,进

而证明DC-LPM,又AB"DC,即证AB1PM：

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角即可.

3.如图，在平面四边形4BCD中，=CD,BC1CD,ADlBDf

折起，使点4到达点P的位置，且PCL8C.

C

(1)证明：PD1CD.

(2)若M为PB的中点，二面角P-BC-。的大小为60。，求直线PC与平面MC。所成

角的正弦值.

【答案】(1)证明：因为BC11PC,PCnCD=C,PC,CDu平面PCD,

所以BC1平面PCD.

又因为PDu平面PC。，所以BC1PO.

又因为PD1BD,BDCBC=B,BD,BCu平面BCD,

所以PD_L平面BCD,

又因为CDu平面BCD,

所以PD1CO；

(2)解：因为PCIBC,CD1BC,所以NPCD是二面角P-BC-。的平面角，

由已知得/PCD=60",因此PD=CDtan600=V3CZ).

取BC的中点。，连接OM,0C,由已知得OM,OC,BC两两垂直.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

设。8=1,则6=VI,则P(0,l,巡)，C(l,0,0),0(0,1,0),M(0,0净,

所以而=(一1,1,遍)，CD=(-1,1,0),CM=(-1,0,y)>

设平面MCD的一个法向量为方=(x,y,z),

n-CD=0,-x+y=0,

-x+日z=0,

ji-CM=

令z=®得记=(百,百,企)，

所以cos(元,而＞=湍强邛

因此，直线PC与平面所成角的正弦值为它.

4

第10页，共18页

【解析】本题考查线面垂直的判定与性质定理以及利用空间向量求解线面角，考查二面

角，属于中档题.

(1)根据线面垂直的判定可证BC平面PCD,进而证明P。_L平面BCD,根据线面垂直的

性质即可证明；

(2)根据二面角的定义可知=gCD,取的中点。，连接OM,0C,以。为坐标原

点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

4.如图，在三棱锥。一ABC中，AB1BD,BC1CD,M,N分别是线段4。，8。的中

点，MC=1,AB=BD=&，二面角D—的大小为60。.

(1)证明：平面MNG_L平面BCD；

(2)求直线和平面MNC所成角的余弦值.

【答案】解：(1)在中，N是斜边BD的中点，

所以NC=工8。=—,

22

因为M,N是AD,BD的中点，

所以MN=L/1B=立，且MC=1,

22

所以MN2+NC2=MC2,MN1NC,

又因为MN//AB,

所以MNIB。，且BDCNC=N,BD,NCu平面BCD,

故MN1平面BCD,

因为MNu平面MNC,

所以平面MNC_L平面BCD.

(2)由(1)知MN1平面BCO,故48_L平面BCD,

所以ABIBC,AB1DC,又4B1BD,

所以4cBe即为二面角D—B4—C的平面角，故4CBD=60。,

因此BC=BN=CN=—,CD=

22

又DCJ.CB,ABHCB=B,所以DC1平面ABC,

以B为坐标原点，BC为x轴，B4为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.

因为D停,0,日），4（0,企,0）,

所以中点M件争令丽=（今冬务

C俘,0,0）,N仔0,分

所以丽=（一£o,务W=（o,^,o）.

设平面NMC的法向量记=（%,y,z）,

取％=8，得沆=(b,0,1),

所以8s〈而，而=舒

y/6瓜—

_7+7_渔，

-1X2-4

故sin（BM,m）=邛，

因此直线8M和平面MNC所成角的余弦值等于叵.

4

【解析】本题主要考查面面垂直的判定及利用向量求直线与平面所成的角，考查了学生

的空间想象能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.

（1）要证平面MNC，平面BCD,需证线面垂直，根据条件可知MNJ.BD,再根据勾股可

证MN1NC,从而可证MNJ•平面BCD,进而证出结论；

（2）以B为坐标原点，8c为x轴，84为y轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法可求.

5.如图，在平面四边形ABCD中，BC=V5AB,CD=2AD,且AABD为等边三角形.设E

为AD中点，连结BE,将AABE沿BE折起，使点A至U达平面BCDE上方的点P,连结PC,

PD,设F是PC的中点，连结BF.

第12页，共18页

p

(1)证明：BF〃平面PDE；

(2)若二面角P-BE-D为60。，设平面PBC与平面PDE的交线为1,求1与平面PCD所

成角的正弦值.

【答案】解：⑴在平面BCDE内，设DE,CB的延长线交于点Q,连结PC

在△BCD中，设BD=1,则=CD=2,

所以BD1BC,S.ABDC=^BDE=60°,

所以DQ=DC,且B为CQ中点

因为尸是PC中点，所以BF〃PQ

又因为BF笈平面PDE,PQu平面PDE,

所以BF//平面PCE

(2)因为在左图中，E是4。中点，即4E=DE,所以BEJ.4E.

所以在右图中，CEJ.BE,PE1BE,DEOPE=E,U平面PDE，

所以BEJJHFfPDE,BEU平面BCDE，则平面BCCE1平面PDE.

且NPED是二面角P—BE-D的平面角，即4PED=60。，设BD=1,

所以PD=PE=DE=手=2.

设。为DE中点，连结PO,则POJ.DE,PO=—，因为平面BCDE1平面PDE,

4

平面BCDEn平面PDE=DE,P。u平面PDE,

所以P。_L平面BCDE.

过B作8T//0P,贝1平面BCDE.

以8为坐标原点，分别以BC,BD,BT为支轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则B(0,0,0),C(灰,0,0),0(0,1,0),Q(-73,0,0),E(一

。(-我⑼，「(-靠不

所以加=(一1,一：,1)，DC=(V3,-l,0)»而=(一督，一'一务

因为BCnDE=Q,所以平面PBCn平面PDE=PQ

z

设平面PCD的一个法向量为司=(xo,yo<o).

由(起雪今(=0

■rijDc小祝=o

V3%0-y0=o.

即V31.V3

rTx°-8yo+TZo=A0-

取沏=1,得％=遮，Zo=1,此时元=(1,V3,1)

设PQ与平面PCD所成角为a,

—►一、।I而向2V34V195

则sina=|cos<PQ，=>I=

65

即/与平面PCD所成角的正弦值为嗜.

【解析】本题考查了线面平行的判定与证明，考查了空间中线面角和二面角的计算，属

于拔高题.

第14页，共18页

(1)根据线面平行的判定定理分析即可；

(2)先找到二面角P-BE-。的平面角，然后建系运算即可.

6.在四棱锥P-ABCO中，BC=BD=DC=26，AD=AB=PD=PB=2.

(1)若点E为PC的中点，求证：BE〃平面PAD；

(2)当平面PBD_L平面4BCD时，求二面角C-PD—B的余弦值.

【答案】(1)证明:

取CD的中点为M,连结EM,BM.

由已知得，△BCD为等边三角形，故8MleD.

•••ADAB=2,BD=2旧，

•••AADB=AABD=30°,

/.ADC=90°,

AD1CD,

：.BM//AD,

又BMC平面PAD,ADu平面PAD,

•••BM〃平面PAO.

•••E为PC的中点，M为CD的中点，

•••EM//PD.

又EMC平面PAD,PDu平面PAD,

•••EM〃平面PAD.

=EMu平面BEM,BMu平面BEM,

••・平面BEM〃平面PAD.

vBEu平面BEM,

•••BE〃平面PAD；

(2)连结AC,交BD于点0,连结P0,由对称性知，。为BD的中点，且AC1BD,P01BD.

•••平面PBD_L平面4BCD,P01BD,平面PBDD平面4BCD=BD,

P01平面4BCD,PO=AO=1,CO=3.

以。为坐标原点，元的方向为x轴正方向，旗的方向为y轴正方向，前的方向为z轴正

方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

则。(0,一封0),C(3,0,0),P(0,0,l).

易知平面PBC的一个法向量为元=(1,0,0).

设平面PCD的法向量为相=(x,y,z),

则近1比，n；lDP，

(n;-'DC=0

(n；DP=0,

vDC=(3,V3,0)，DP=(0,V3,l)>

(3x+V3y=0

[V3y+z=0

令y=百，得x=-1,z=-3,

•••布=(-1,V3,-3)»

,—>―>、n7