指向高中数学核心素养的教学特点

指向高中数学核心素养的教学特点

---------以对均值定理教学片段的分析与改进为例

作者：

李大永/胡凤娟

作者简介：

李大永，北京市海淀区教师进修学校，特级教师；胡凤

娟，首都师范大学教师教育学院，博士.

原发信息：

《基础教育课程》（京）2021年第20213下期第40-47页

内容提要：

数学学科核心素养是在数学学习和应用的过程中逐步形成

和发展的.从教学实践来看，如何清晰把握数学教学来提升

学生的数学核心素养仍是一线数学教师面临的问题.文章结

合均值定理的教学片段，分析阐释指向高中数学核心素养

的教学应该具有整体性、主题性、发展性等特点.

关键词：

数学核心素养/整体性/主题性/发展性

期刊名称：《高中数学教与学》

复印期号：2021年07期

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标"）

的重要变化之一是凝练了数学学科核心素养，数学学科核心素养成为高中

数学课程目标的重要组成部分[1].数学学科核心素养是具有数学基本特征

的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学

习和应用的过程中逐步形胡口发展的.如何在课堂教学中落实数学核心素养

成为一个广大教师普遍关注的现实问题[2],大家都感觉缺少可以指引自己

教学的实践之策.本文基于数学教学中的一个真实课堂片段，深入分析其背

后的思维活动，在此基础上，从一线教学研究实践者的角度来探讨如何开

展”指向数学核心素养的教学"，希望能够抛砖引玉，引发更多深入的思

考与研究.

一、教学片段

（教师带领学生发现并证明了均值不等式之后）

师：这样的不等关系对于不等式的问题来说有什么作用呢？接下来，

就需要我们来应用这个定理.下面请看例1.（教师播放PPT呈现题目，同

时读题）

师：还有个特点是什么呢？

生1沉默.

师：我想让大家发现这个不等式的特点：右边是2,这是个好数（教

师回到讲台，引导学生看黑板上的均值不等式），这里也有个2.如果我刚

才说的话"这个均值不等式能有什么作用"你领会了，要联系均值定理证

明这个不等式的话，你会发现这个均值定理里也有什么？也有个2.这个2

在哪里？在分母上.题目中2在哪里？在右边，对吧？均值不等式中的这个

2能‘搬’到右边吗？

生：可以a+b2>l,（教师在黑板上写下来）

师：怎么来的？相信你们都理解，这个不等式和均值不等式在内容上

还是一致的，没问题吧？我们再回到这个题目上，再想想，借用均值定理

如何证明它呢？（教师看学生没有反应）可以讨论，孩子们.

（1分半钟左右后，一个女生停下笔看向教师）

师：姑娘，我看你好像证明出来了，你来说说，我帮你写.

生2:不等式左边通分，

师：能否直接用均值不等式来证明这个结论呢？

生2沉默不语.

师：好吧，孩子请坐.我来说，你们来看可不可以接受.

（教师边讲边板书用均值不等式证明的过程）

注：例1中的问题是人教B版、湘教版、上教版三个版本的数学教科

书在学习均值不等式时共有的例题，可见其重要性.

二、问题提出

从上述的课堂片段中可以看到，教师为了帮助学生运用均值不等式完

成例1，做了大量的引导、启发：一方面，引导学生发现不等特

征—左侧是两个互为倒数的正数之和，右侧是常数2;另一方面，启发

学生建立题干中待求证的不等式和均值不等式结构特征的联系，提示"均

值定理中也有2",且带着学生把均值不等式改造成了a+b>l—I,这和

以形式一致.这些行为说明，教师已经在课前充分认识到了该班学生

数学基础薄弱的状况，预见到学生在完成例1时会有困难.但是，从学生的

课堂行为来看，教师并没有达成自己的教学预期，学生兜了一个大圈子才

使用均值不等式完成证明.

实际上，上述这种教与学的现象是具有普遍性的.那么，问题到底出在

哪儿呢？

三、问题分析

在笔者看来，这恰恰是教师对学生核心素养培育落实不足的地方.下面

我们将从证明例1的思维要素、教师教的行为、学生学的行为［3］三个方面

来分析该片段，以期找到问题的原因所在.

(-)证明例1的思维要素分析

首先，需要理解均值不等式本身.公式和定理体现了概念的属性或者概

念与概念间的关系，反映了某一系统中存在的规律.均值定理反映了在由两

个正实数构成的系统中，这两个正实数的算术平均值和几何平均值间的数

量关系.数学中习惯于用符号语言清晰简洁地表达数学规律，因此引入了两

个字母a,b来表示这两个正实数，所以a,b是具有抽象属性的一般意义

的量，泛指任何两个具有正实数属性的量.可以看到，a,b也可以用其他

字母代替，也就是说^一屋至I一舄什么本质区别，不过是上述规律的

一种形式化表达而已.

其次，需要从结构上理解均值定理的功能与价值.均值定理反映了两个

正实数的和与积的大小关系，从不等式的左右顺序看，具有数量转化的功

能：从左向右，体现了将和的形式缩小为积的形式；从右到左，体现了将

积的形式放大为和的形式.在缩（放）的过程中保持了原有代数式的次数特

性.

再次，需要理解待求证的不等式.要能够理解其所表达的是“两个互为

倒数关系的正实数的和不小于2”;同时，还要将所隐含的信息"两个互

为倒数的实数之积为1"显性化，使其进入到大脑的工作记忆中.

此外，需要能够将均值定理和待求证结论联系起来，发现待求证不等

式就是均值定理所描述规律中的一个特例.

最后，需要具备基本的推理活动经验：一个T殳性的原则（大前

提），一个附属于前面大前提的特殊化陈述（小前提），以及由此引申出

的特殊化陈述符合一般性原则的结论.这就是最基本的逻辑判断三段论

（不需要学生知道三段论的概念）.

（二）教师教的行为分析

从教学片段中教师的教学行为可以看到，教师希望帮助学生克服问题

解决障碍，重心放在了两个方面：一是对待求证不等式的结构特征认识，

二是建立待求证结论与均值定理的联系.回顾对例1的思维要素分析，就会

发现，教师缺少了引导学生深刻理解均值定理内涵及其功能价值的环节，

也缺少对运用公式进行推理的已有经验的唤醒.这是造成学生仍然难以克服

困难的重要原因.

（三）学生学的行为分析

数学学习离不开解题活动，学生学的效果也往往是通过解题能力来测

评的，这很容易导致学生仅关注解题过程中涉及的知识、技能和方法.但这

些仅是决定解题成败所需的显见要素，记住的知识和熟练掌握的技能不一

定能在恰当的场景被关联调用，熟悉的方法也不一定能被有效迁移运用.这

些现象在学生的现实学习中是非常普遍的，足以说明他们还忽视了一些关

键性要素.这个关键性要素，就是对方法和技能背后的概念性关系的理解，

它需要学生通过协同思维来实现，这种概念性理解是实现知识、技能和方

法迁移运用的基础.

从教学片段中可以看到，生2对均值定理的认识处于无所指的形式化

水平，并没有理解均值定理所表达的规律（尽管前面已经经历了用文字语

言描述均值定理的环节），因此，生2将均值不等式中的字母与待求证不

等式中的字母相混淆，认为二者是相同的.所以她在使用均值定理时，采取

的行动是先将左边通分并进行配方,凑出含有均值定理的表面形式a+b,

才开始使用均值定理.这一学习行为背后，反映出学生缺乏理解和运用公式

的基本学习活动经验.实际上，学生在以往的数学学习过程中，并不乏学习

公式的经历，但是没有生成应有的学习这类知识的必要经验.这既有教的问

题，也有学的问题，但主要是教师教的问题.教师在公式教学中缺少帮助学

生总结反思公式学习的经验，甚至教师本人也缺乏对公式学习的基本思维

特征的抽象概括的经验.

本教学片段中，教师没有认识到学生在这个方面的学习经验的缺失，

没有发现学生在均值定理的形成过程中仅关注了公式的推导证明，只是经

历了对公式语义的描述，并没有形成对公式形式背后的实质意义（反映的

本质规律）的深刻理解.这是在解决例1问题时学生遇到障碍的根本原因.

通过对该问题的分析，我们发现，教师进行教学设计需要完整认识和

分析所教内容，不仅要关注知识本身，更要关注所教知识的价值以及学生

已有的经验，即培养学生核心素养的教学应体现整体性[4].

四、教学改进一指向学生数学核心素养的提升

均值不等式是高一第一学期第一单元的教学内容.这个时期的学生在经

历了初中阶段的学习后，代数思维意识、习惯刚刚起步，有待进一步发

展；数学基础薄弱的学生甚至对字母表示数带给数学的变化和意义还缺少

基本的认识，对用符号语言所呈现出来的形式化数学规律背后所指的实质

意义缺乏理解.此外，对不同类型数学知识的学习理解框架，大多数学生也

还没有建立起来.可以看到，这不是单个知识和技能层面的困难，而是系统

性层面的困难，因此需要系统化地解决困难.为了克服这个困难，同时帮助

学生形成良好的思维习惯，提升数学核心素养，教师需要在高一初始阶段

帮助学生积累公式学习的经验和方法、积累代数推理的活动经验、巩固

"代换”的方法、深入理解均值不等式.

第一，积累公式学习的经验和方法.学生在初中阶段，不乏公式的学习

经历，也不乏代数问题的处理经历，但他们缺少从这些经历中抽象概括出

必要的代数学习与代数问题解决的经验.这是学生进入高中阶段完成进一步

数学学习的重要基础，教师在教学中要充分挖掘利用.如果学生的数学基础

非常薄弱，可以在等式和不等式单元增加1个课时，回顾梳理初中的主要

代数内容学习的经历，如平方差公式、完全平方公式、判别式等，从中抽

象概括出公式学习的要点和方法.

第二，积累代数推理的活动经验.在不等式性质的内容中，除了落实

"作差比较大小"这一基本方法，还可以适度引导学生用综合法求证不等

式，例如依据前面的不等式基本性质，用综合法证明性质："若a>b,c

>d，则a+c>b+d."在用综合法证明的推理过程中，每一步推理,本质

上都是三段论，作为依据的大前提都是符号语言表达的形式化结论，由于

学生对其形式所指意义已非常熟悉，故不会感觉到任何理解上的困难.但他

们在求证思路的构建上可能会有一点小困难，因为需要理解不等式传递性

的功能，并具有运用传递性功能的经验.教学的目的，不在于让学生理解这

个求证过程，而是要他们从中分析外显化求证过程背后的思维过程，积累

代数推理的思维活动经验.因此，教师可以设计如下任务引导学生自主学

习：

任务1：比较已知"a>b,c>d"和求证目标"a+c>b+d"的差

异，思考基于不等式的基本性质,如何建立已知和待求证结论的联系.

任务2:尝试用不等式性质建立已知和结论的联系.例如，由a>b可

以得到含有a+c或者b+d的不等式吗？同理，由c>d可以得到含有结

论中部分信息的不等式吗？

学生不难得至!la+c>b+c或a+d>b+d;c+a>d+a或c+b>d+b.

任务3:综合分析由已知所得的不等式的关系，它们可以帮助你得到

待求证的结论吗？

任务4:请清晰表达你的求证过程（要求准确简洁备注每一步推理的

依据）.

任务5:回顾反思上述学习任务，概括你在用综合法进行代数推理的

过程中收获了哪些经验（教师组织学生交流分享，并帮助学生做经验提

升）.

第三，巩固"代换”的方法.有了前面的铺垫，在均值定理学习中的证

明环节，可以设计如下任务，引导学生再次体验公式运用中的基本方法

"代换”.

任务1:观察，□"的代僦堂尚正,探寻求i访法.

【设计意图】体会代数运算变形的方向来自明确的目标和待处理代数

式的结构特征（次数、系数、单项式还是多项式等方面）.证明不等式的基

本方法是作差比较，方向是差与0的比较（即符号判断），可以关联初中

------------------I'--

学过的确定符号的代数式（一）;由代数id—I的特征（三项式，次

数具有二倍关系）关联到完全平方公式，可获得求证方法.

【设计意图】强化认识：代换是由基本不等关系获得新的不等关系的

重要方法.

第四，深入理解均值不等式的内涵和价值.在完成均值定理证明后，教

师先提示学生反思总结学习公式的基本经验有哪些，组织引导学生交流各

自对均值不等式的理解，之后提出如下任务：

任务1:基于你对均值定理的理解，由均值定理，你可以判断下列不

等关系中哪些是成立的吗？

任务2:在完成任务1后，你对均值定理的认识有何变化？（组织学

生交流分享）

然后再给出例1,此时学生已经能够水到渠成地自主解决问题.实际

上，这也为后续"用均值定理求最值”的学习奠定了很好的思维基础.

五、指向学生数学核心素养提升的教学特点

通过前文对均值定理教学片段的分析与改进，我们不难发现，在整个

分析、改进设计的过程中，整体性、主题性、发展性是指向数学核心素养

教学的特点.

（一）整体性

首先，在数学内容理解上，"把握数学本质，启发思考，改进教学"

是新课标的基本课程理念，而"把握数学本质"在有限的课时内容中是不

可能实现的，只有将一个个概念、定理置于更大的单元、章、主题的范畴

之下，才能识得其数学本质，即必须在整体课程观下才能把握数学内容的

本质⑸.例如，将均值定理置于代数范畴中加以思辨，才更容易发现其本

质属性：它是两个正实数变量的恒不等关系式，其基本构成形式为"同次

和与积"，这一结构决定其具有"和"与"积"缩（放）转化、比较大

小、确定范围或最值的功能；其适用的场景，除了正实数的范围，还有

"和""积"的结构属性；其使用的基本方法是代换.

其次，在学生学习理解上，挣脱课时的束缚，放眼学生学习的整个经

历，就会发现仅关注学生所处的特定阶段是不够的.上述片段中，学生学习

的难点实际上不是单一知识和技能层面的，而是高一新生适应更抽象的高

中数学学习的初高中过渡问题，显然没有整体观念的学情分析是不行的.此

外，整体性还体现在学情分析中，不仅要有基于"四基"的思维基础分

析，还应有学生的学习习惯和态度维度的分析.教师只有基于整体观念进行

学情分析，才能全面准确地抓住学生学习的基本情况，认清学生的学习基

础，有效设计学习活动，帮助学生发展数学核心素养.

没有上述这些整体观念下的内容本质的把握、学情的分析，就不可能

凝练出适切的主题、确定适当的主题学习目标、制定合理的课时规划、设

计有效的学习活动和评价.

（二）主题性

没有明确的主题，教师的教学在实质上很难逃脱课时教学的惯性，难

以有效组织各个课时的教学内容，形成课时之间的内在逻辑联系，建立结

构性的主题知识群⑹.在上述教学改进案例中可以看到，"建立良好的数

学思维习惯”是进行教学改进的核心，也是教学设计的主题，主题对教学

的组织