2024成都中考数学第一轮专题复习之专题六 类型一 动点问题 教学课件

专题六综合与实践

考情及趋势分析成都8年高频点考情及趋势分析考情分析类型年份题号题型分值背景图形考查设问动点问题202326解答题12等腰直角三角形(1)(2)证明线段数量关系；(3)求动点的运动路径长20222612两矩形相似(1)探究三角形相似；(2)(3)求三角函数值20192710等腰三角形(1)证三角形相似；(2)求线段长；(3)探究线段相等，求线段长折叠问题20202710矩形(1)求角度；(2)求线段长；(3)求线段比值考情分析类型年份题号题型分值背景图形考查设问旋转问题202127解答题10直角三角形(1)(2)求线段长；(3)探究线段最值20182710直角三角形(1)求角度；(2)求线段长；(3)探究四边形面积最值20162710含45°的一般三角形(1)证线段相等；(2)①求线段长；(3)探究线段数量关系图形形状变化问题20172710等腰三角形(1)证全等三角形，探究三条线段之间的数量关系；(2)证等边三角形，求线段长【考情总结】1.题位特点：几何图形综合题每年一道，近2年均在B卷压轴题位，其余年份动点运动路径长、在解答压轴倒数第二题；2.设问特点：常考查动点问题、旋转问题，设问以求线段长为主，涉及考查求动点运动路径长、三角函数值、探究线段数量关系、探究线段、面积最值等．背景图形主要为等腰三角形和直角三角形；3.设题形式：从2022年开始设题形式从几何综合题转变成了综合与实践，且三问之间有密切联系，最后一问均是用含字母的代数式表示所求的结果.类型一动点问题(8年3考：2023.26，2022.26，2019.27)1.(2023锦江区二诊)如图①，已知平行四边形ABCD，点E在BC上，点G在CD上，连接AE，EG，∠AEG＝∠B.过点D作DF∥AE交EG的延长线于点F.(1)求证：△ECG∽△DFG；第1题图(1)证明：∵DF∥AE，∴∠AEF＋∠F＝180°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.∵∠AEG＝∠B，∴∠F＝∠C.∵∠EGC＝∠DGF，∴△ECG∽△DFG；第1题图(2)当E为BC中点时．①若DF＝FG，求证：AE＝EG；第1题图(2)①证明：如解图①，以点E为圆心，EB长为半径画弧交AB于点P，连接EP，则EP＝EB，∴∠B＝∠BPE.∵∠B＋∠C＝180°，∠BPE＋∠3＝180°，∴∠3＝∠C.第1题解图①∵DF＝FG，△ECG∽△DFG，∴CG＝CE.∵E为BC中点，∴BE＝EC，∴EP＝CG.∵∠AEG＝∠B，∴∠2＋∠AEB＝∠1＋∠AEB，∴∠2＝∠1.在△EPA和△GCE中，

∴△EPA≌△GCE(AAS)，∴AE＝EG；第1题解图①②如图②，连接AG，过点G作GH⊥AG交BC于点H，若CG＝FG，求

的值．第1题图②解：如解图②，以点E为圆心，EB长为半径画弧交AB于点P，连接EP，则EP＝EB，连接DE.∵CG＝FG，由(1)知△ECG∽△DFG，∴△ECG≌△DFG，∴EG＝DG，∴∠DEG＝∠EDG.第1题解图②∵∠AEG＝∠B＝∠ADG，∴∠AED＝∠AEG－∠DEG＝∠ADG－∠EDG＝∠ADE，∴AE＝AD.∵＝

，BC＝AD，PE＝BE，∴＝

.由①可知∠2＝∠1，∠C＝∠3，∴△ECG∽△APE，∴＝

＝

.第1题解图②∵AE＝AD，EG＝DG，AG＝AG，∴△AEG≌△ADG(SSS)，∴∠AGE＝∠AGD.∵AG⊥GH，∴∠AGH＝90°，∴∠AGE＋∠EGH＝90°＝∠AGD＋∠CGH，∴∠EGH＝∠CGH，∴GH是∠EGC的平分线，∴点H到EG边和CG边的距离相等，∴

＝

＝

＝

.第1题解图②

解题关键点将求

的值转化为求△CHG与△EHG面积的比值．2.(2022成都模拟)如图①，在正方形ABCD中，BC＝2，点E是射线BA上一动点，连接ED，以ED为边在ED上方作正方形EDFG，连接AF，EC.(1)求证：△ADF≌△CDE；第2题图(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°.∵四边形EDFG是正方形，∴ED＝FD，∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠ADC＋∠ADE＝∠EDF＋∠ADE＝∠ADF.在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE(SAS)；(2)如图②，延长GF，AD交于点M.若FA＝FM，求线段AE的长；第2题图(2)解：如图，过点F作FP⊥AM于点P.∟P∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠FDP＝90°.又∵∠FDP＋∠DFP＝90°，∴∠EDA＝∠DFP.∵ED＝DF，∠EAD＝∠DPF＝90°，∴△ADE≌△PFD(AAS)，∴AE＝PD，AD＝FP＝2，设AE＝x，∴AP＝PM＝x＋2.∵ED∥GM，∴∠ADE＝∠M，∴tan∠ADE＝tanM，∴

＝

，解得x＝－1＋(负值已舍去)，∴AE＝－1＋；第2题图∟P

解题关键点过点F作FP⊥AM于点P，则△ADE≌△PFD，解直角三角形即可求解；(3)在点E的运动过程中，求EG＋EC的最小值．第2题图(3)解：∵四边形EDFG是正方形，∴EG＝ED，∴EG＋EC＝ED＋EC，如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，则EG＋EC的最小值为CD′的长，D′由勾股定理得，CD′＝＝＝2，∴EG＋EC的最小值为2.

解题关键点作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，将求EG＋EC的最小值转化为求CD′的长.3.综合与实践课上，老师让同学们以“中点”为主题展开讨论．如图①，在矩形ABCD中，点O是AB边的中点，点M是边DC上一动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，且满足OP＝

AB，连接BP.【问题提出】(1)判断△ABP的形状，并说明理由；第3题图(1)解：△ABP是直角三角形．理由如下：∵O是AB的中点，∴OA＝OB＝

AB.∵OP＝

AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠OPA.∵∠OAP＋∠APO＋∠OPB＋∠OBP＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；第3题图【类比探究】(2)如图②，当点M为边DC的中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；第3题图(2)证明：如解图①，延长AM，BC交于点Q.∵点M是DC的中点，∴DM＝CM.∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠DCB＝90°，∴∠D＝∠MCQ＝90°.第3题解图①∵∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM，∴AD＝QC＝BC.由(1)可知∠BPQ＝∠APB＝90°，∴PC＝

BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP.∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OBP＋∠CBP＝∠OPB＋∠CPB＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OPA＋∠APN＝180°－∠OPC＝180°－90°＝90°.∵∠OAN＝∠OAP＋∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠OPN－∠OPA＝∠OAN－∠OAP∴∠APN＝∠PAN，∴PN＝AN；第3题解图①【拓展应用】(3)在(2)的条件下，若AB＝5，AD＝4，作点N关于直线AM的对称点N′，连接AN′并延长交矩形的边所在的直线于点E，求CE的长．第3题图(3)解：按照题干条件作图，分两种情况，如解图②，连接PN′.①当AN′的延长线与BC所在的直线交于点E时，记为E1，由(2)知，PN＝AN.第3题解图②∵点N与点N′关于AP对称，∴PN＝PN′，AN＝AN′，∴AN＝AN′＝PN′＝PN，∴四边形NPN′A为菱形，∴CE1＝PN′＝AN.设CE1＝AN＝x，则DN＝4－x，由(2)知，CP＝BC＝4，PN＝AN＝x，∴在Rt△DNC中，由勾股定理得(4－x)2＋52＝(4＋x)2，解得x＝

；第3题解图②②当AN′的延长线与DC所在的直线交于点E时，记为E2，∵△ADE2∽△E1CE2，∴

＝

.设CE2＝y，∴＝

，解得y＝

.综上所述，CE的长为

或

.第3题解图②

解题关键点连接AN′并延长交矩形的边所在的直线于点E，需分两种情况：①AN′的延长线与BC所在的直线交于点E；②AN′的延长线与DC所在的直线交于点E.4.(2022葫芦岛)在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；第4题图【解法提示】如解图①，连接BP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∵AD＝BD，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∵点P为CD的中点，∴DP＝BP，∠CPB＝∠BPD＝90°，∴∠ADP＝∠PBE＝90°＋45°＝135°，第4题解图①∵PA⊥PE，∴∠APE＝∠DPB＝90°，∴∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△EBP，∴PA＝PE.(1)解：PA＝PE；第4题解图①(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA＋

DP＝DE；第4题图(2)证明：如解图②，过点P作PF⊥CD交直线BD于点F，∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，∴∠DPA＝∠FPE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，又∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，第4题解图②∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∠PFD＝45°，∴∠PFD＝∠PDF，∴PD＝PF，∴∠PDA＝∠PFE＝90°＋45°＝135°，∴△ADP≌△EFP，∴AD＝EF.在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，∵cos∠PDF＝

，∴DF＝

＝

＝DP，∵DE＝DF＋EF，∴DA＋DP＝DE；第4题解图②(3)点P在射线CD上运动，若AD＝

，AP＝5，请直接写出线段BE的长．第4题图【解法提示】根据题意，分两种情况：①当点P在线段CD上时，如解图③，作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，则△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝3.∵AP＝5，∴GP＝4，∴PD＝1，由(2)得，DA＋DP＝DE，∴3＋＝DE＝4，∴BE＝DE－BD＝4－3＝；第4题解图③②当点P在CD的延长线上时，如解图④，作AG⊥CD，交CD延长线于点G，过点P作PF⊥CD交直线BD于点F.同理可得，△ADP≌△EFP，∴AD＝EF，DP＝FP.∵AD＝3，PD＝PG＋DG＝4＋3＝7，∴DF＝PD＝7，∴BE＝BD＋DF－EF＝DF＝7，综上所述，BE的长为或7.(3)BE的长为或7.第4题解图④

解题关键点需注意点P在射线CD上运动，则需分点P在线段CD上和在CD的延长上两种情况讨论．5.(2023成都B卷26题12分)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且

＝

(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.【初步感知】(1)如图①，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE＋BF＝

AB，请写出证明过程；第5题图解：(1)证明过程如下：如解图①，连接CD，第5题解图①当n＝1时，

＝1，即AD＝BD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠FCD＝

∠ACB＝45°，∴CD＝AD，∠A＝∠FCD，AB＝BC，∴BC＝

AB.∵DE⊥FD，∴∠ADE＋∠EDC＝∠FDC＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.在△ADE与△CDF中，

∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF，∴BC＝CF＋BF＝AE＋BF＝

AB；第5题解图①【深入探究】(2)①如图②，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；第5题图(2)①AE＋

BF＝

AB.证明：如解图②，取BD的中点G，作HG∥BC，交DF于点J，交AC于点H，当n＝2时，

＝

，即2AD＝DB.∵G是DB的中点，∴AD＝DG，AG＝

AB.第5题解图②∵HG∥BC，∴∠AHG＝∠C＝90°，∠HGA＝∠B＝45°，△DJG∽△DFB，∴

＝

＝

，∵∠A＝45°，∴△AHG是等腰直角三角形，根据(1)中的结论可得AE＋JG＝

AG，∴AE＋JG＝AE＋

BF＝

AG＝

×AB＝

AB.∴线段AE，BF，AB之间的数量关系为AE＋

BF＝

AB；第5题解图②②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)；【解法提示】过点D作DN⊥AC于点N，DH⊥BC于点H，如解图③，当点F在射线BC上时，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴

＝

＝

.第5题解图③第5题图设AN＝DN＝x，则BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝(n＋1)x.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH.又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴

＝

＝

，∴FH＝nNE，∴AE＋

BF＝x－NE＋

(nx＋FH)＝2x＝

AB；第5题解图如解图④，当点F在CB的延长线上时，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴

＝

＝

.设AN＝DN＝x，则BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝(n＋1)x.第5题解图∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴

＝

＝

，∴FH＝nNE，∴AE－

BF＝x＋NE－

(FH－nx)＝2x＝

AB；综上所述，当点F在射线BC上时，AE＋

BF＝

AB，当点F在CB延长线上时，AE－

BF＝

AB.第5题解图②当点F在射线BC上时，AE＋

BF＝

AB，当点F在CB延长线上时，AE－

BF＝

AB；

解题关键点分点F在射线BC上或在CB延长线上两种情况讨论.【拓展运用】(3)如图③，连接EF，设EF的中点为M.若AB＝

，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示).第5题图(3)解：如解图⑤，当点E1与点A重合时，取E1F1的中点M1，当点E2与点C重合时，取E2F2的中点M2，可得点M的轨迹长度即为M1M2的长度，第5题解图⑤如解图⑥，以点D为原点，DF1所在直线为y轴，DB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，过点E2作AB的垂线段，交AB于点G，过点F2作AB的垂线段，交x轴于点H，∵AB＝2，

＝

，

∴AD＝

，DB＝

，∴E1(－

，0).∵∠F1BD＝45°，∴F1D＝BD，∴F1(0，

).第5题解图⑥∵M1是E1F1的中点，∴M1(－

，

).∵AC＝BC，CG⊥AB，∴GB＝GC＝

AB＝，∴DG＝DB－BG＝

，∴E2(

，).根据(2)中的结论AE2－

BF2＝

AB，∴BF2＝n(AE2－

AB)＝

，∴BH＝F2H＝

BF2＝

，∴DH＝DB＋BH＝n，∴F2(n，－

)，∴M2(

，)，∴M1M2＝，∴点M运动的路径长为.第5题解图⑥动点问题①6.(2022成都B卷26题12分)如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB(n＞1)，点E是AD边上一动点(点E不与A，D重合)，连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H.【尝试初探】(1)在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由；解：(1)理由如下：∵四边形EBFG，四边形ABCD是矩形，∴∠BEG＝90°，∠A＝90°，∴∠AEB＋∠DEH＝90°，∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DEH＝∠ABE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEH；【深入探究】(2)若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值；(2)∵H是线段CD的中点，∴DC＝2DH，∴AB＝2DH.设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，∴AD＝2AB＝4x，∴DE＝AD－AE＝4x－a，由(1)可知△ABE∽△DEH，∴

＝

，∴

＝

，整理得2x2－4ax＋a2＝0，∴x＝

.当x＝

时，tan∠ABE＝

＝＝

；当x＝

时，tan∠ABE＝

＝

＝

.综上所述，tan∠ABE的值为或

；【拓展延伸】(3)连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值(用含n的代数式表示)．(3)如解图①，当HF＝BF时，由题意知HF＝BF＝nFG.第6题解图∵四边形BEGF与四边形ABCD均是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝∠BFG＝90°，∴∠ABE＝∠CBF＝∠HFG，在Rt△HFG中，HG＝＝FG，∴tan∠ABE＝tan∠HFG＝

＝；第6题解图如解图②，当HF＝BH时，由题意知BE＝FG，∠BEH＝∠G＝90°，∵BH＝FH，∴Rt△EBH≌△Rt△GFH(HL)，∴EH＝HG＝

EG＝

nFG，∵四边形BEGF与四边形ABCD均是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝∠BFG＝90°，∴∠ABE＝∠CBF＝∠HFG，∴tan∠ABE＝tan∠HFG＝＝

＝

.综上所述，tan∠ABE的值是或

.第6题解图

解题关键点分HF＝BF和HF＝BH两种情况求解．动点问题②动点问题②7.(2019成都B卷27题10分)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝

，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.(1)求证：△ABD∽△DCE；第7题图(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.∴△ABD∽△DCE；(2)当DE∥AB时(如图②)，求AE的长；第7题图(2)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M.∟M在Rt△ABM中，∵tanB＝

，∴

＝

，∴设BM＝4k，AM＝3k，由勾股定理得AB2＝AM2＋BM2，即202＝(3k)2＋(4k)2.∴k＝4或k＝－4(舍去)，∴BM＝16.∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝32.∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE.又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB.∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴

＝

，∴DB＝

＝

＝

.∵DE∥AB，∴＝

，∴AE＝＝

＝

；第7题图∟M(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．第7题图(3)解：存在．由(2)知AM＝12，BM＝CM＝16.如图，过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°.∟M∟H∟N∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∴∠MAD＋∠DAN＝90°.∵AF⊥AD，∴∠NAF＋∠DAN＝90°，∴∠NAF＝∠MAD.∵∠ANF＝∠AMD＝90°，∴△AFN∽△ADM.∴

＝

＝tan∠ADF＝tanB＝

.第7题图∟M∟H∟N∴AN＝

AM＝

×12＝9.∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.当DF＝CF时，由点D不与点C重合可知△DFC为等腰三角形．又∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14.∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD的长为18.第7题图∟M∟H∟N

解题关键点过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，证△AFN∽△ADM是关键．8.某数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边△ABC中，AB＝2，点D在射线BC上运动，连接AD，以AD为一边在AD右侧作等边△ADE.(1)【问题发现】如图①，当点D在线段BC上运动时(不与点B重合)，连接CE.则线段BD与CE的数量关系是________；直线BA与