2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题知识精练1.如图，△ABC为等边三角形，D是BC上一点，连接AD，点P，Q在AD上，连接BP，CQ，且∠BPD＝∠CQD＝60°，若BP＝3，CQ＝5，则PQ的长为________．第1题图2.如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A＝∠B＝∠DEC，则eq\f(BE,BC)的值为________．第2题图3.(2023重庆A卷)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________．第3题图4.如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D是CB延长线上一点，且AB＝DB，连接AD，若AD＝6，则△ACD的面积为________．第4题图5.(2023荆州)如图①，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图②，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图③，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD，将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF.①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP∶PB＝1∶2，BF＝eq\r(2)k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．图①图②图③第5题图参考答案与解析1.2【解析】∵∠BPD＝∠CQD＝60°，∴∠APB＝∠CQA.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵∠BPD＝∠BAP＋∠ABP＝60°，∠BAC＝∠BAP＋∠CAQ＝60°，∴∠ABP＝∠CAQ.在△ABP和△CAQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABP＝∠CAQ，,∠APB＝∠CQA，,AB＝CA，))∴△ABP≌△CAQ(AAS)，∴BP＝AQ＝3，AP＝CQ＝5.∵AP＝AQ＋PQ＝BP＋PQ，∴PQ＝AP－BP＝5－3＝2.2.eq\f(4,5)【解析】∵∠A＝∠B＝∠DEC，∴△DAE∽△EBC[钝角一线三等角(同侧)]，∴eq\f(AD,BE)＝eq\f(AE,BC).∵AD＝4，AB＝10，点E是AB的中点，∴AE＝BE＝5，∴eq\f(BE,BC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(4,5).3.3【解析】∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFA＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAF.又∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF，∴AE＝CF＝1，AF＝BE＝4，∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.4.9【解析】如解图，过点B作BG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD交DA的延长线于点H，CH即为点C到直线AD的距离．∵BG⊥AD，AB＝DB，∴∠AGB＝90°，AG＝DG＝eq\f(1,2)AD＝3.∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°，∴∠GAB＋∠HAC＝90°.又∵CH⊥AD，∴∠AGB＝∠CHA＝90°，∴∠HCA＋∠HAC＝90°，∴∠GAB＝∠HCA.在△ABG和△CAH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AGB＝∠CHA，,∠GAB＝∠HCA，,AB＝CA，))∴△ABG≌△CAH(AAS)，∴AG＝CH＝3，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CH＝eq\f(1,2)×6×3＝9.第4题解图5.解：(1)作图如解图①；(注：只需作出其中三种)方法1方法2方法3方法4方法5方法6方法7方法8方法9第5题解图①(2)①△PCF是等腰直角三角形．理由如下：如解图②，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于点N.由折叠的性质得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，∵∠A，∠CPD，∠PBD互为等联角，∴∠A＝∠CPD＝∠PBD＝90°.∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN＝AC＝CM.又∵CE＝CE，∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∠CPF＝90°，∴∠PCF＝∠2＋∠3＝∠CFP＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形．第5题解图②②如解图②，过点F作FQ⊥BE于点Q，作FR⊥PB交PB的延长线于点R，则∠R＝∠A＝90°.∵∠1＋∠5＝∠5＋∠6＝90°，∴∠1＝∠6.由△PCF是等腰直角三角形，得PC＝PF，∴△APC≌△RFP(AAS)，∴AP＝FR，AC＝PR.∵AC＝AB，∴AP＝BR＝FR.∵在Rt△BRF中，BR2＋FR2＝BF2，BF＝eq\r(2)k，∴AP＝BR＝FR＝k.∵AP∶PB＝1∶2，∴PB＝2AP＝2k，∴AB＝AP＋PB＝BN＝3k.由BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°，得四边形BRFQ为正方形，∴BQ＝QF＝k，由FQ⊥BN，CN⊥BN，得FQ∥CN，∴eq\f(QE,NE)＝eq\f(QF,NC)，而QE＝BN－NE－BQ＝3k－NE－k＝2k－NE，即eq\f