2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 反比例函数与一次函数综合题 练习课件

第三章微专题反比例函数与一次函数综合题1.(2023营口)如图，点A在反比例函数y＝

(x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝

，AB＝2.(1)求反比例函数的解析式；第1题图解：(1)∵AB⊥y轴于点B，∴∠OBA＝90°，在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝

，∴OB＝4，∴A(2，4).∵点A在反比例函数y＝

(x＞0)的图象上，∴k＝4×2＝8，∴反比例函数的解析式为y＝

；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．第1题图(2)如图，过点A作AF⊥x轴于点F，∴∠AFD＝90°.∵∠ADO＝45°，∴∠FAD＝90°－∠CDF＝45°，∴AF＝DF＝OB＝4.∵OF＝AB＝2，∴OD＝6，∴D(6，0).设直线AC的解析式为y＝ax＋b.∟F∵点A(2，4)，D(6，0)在直线AC上，∴∴∴直线AC的解析式为y＝－x＋6.由

解得

(舍去)或∴C(4，2).第1题图∟F2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y＝

x位于第一象限的图象上，反比例函数y＝

(x>0)的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4.(1)若BC＝6，求点E的坐标；第2题图解：(1)∵BC＝6，∴AD＝BC＝6.∵把y＝6代入y＝

x中，解得x＝4，∴点D(4，6).将点D的坐标代入反比例函数表达式得k＝4×6＝24，故反比例函数的表达式为y＝

.∵OB＝OA＋AB＝8，即点E的横坐标为8，则y＝

＝3，∴点E的坐标为(8，3)；第2题图(2)连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标．第2题图(2)设点D(2a，3a)(a≠0)，∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAO＝∠ADC＝90°.∵DE⊥OD，∴∠ODE＝90°.∴∠ODA＝∠EDC.∵∠OAD＝∠ECD＝90°，∴△OAD∽△ECD，∴

，即

，解得CE＝

，∴点E(2a＋4，3a－

).∵点D，E都在反比例函数的图象上，∴2a·3a＝(2a＋4)(3a－

)，解得a＝

，∴点D的坐标为(

，

).第2题图

解题关键点根据DE⊥OD，得出∠ODE＝90°，倒角得到∠ODA＝∠EDC是关键．3.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，点C在反比例函数y＝

(x>0)的图象上，AC的中点D也在该反比例函数的图象上，已知A(3，0)．(1)求k的值；第3题图解：(1)设点C(a，

).∵D是AC的中点，A(3，0)，∴D(

，

).∵D在反比例函数y＝

的图象上，∴

＝k，解得a＝1.如图，过点C作CE⊥y轴交y轴于点E，则CE＝1，∠BEC＝∠AOB＝90°.∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝∠ABO＋∠CBE＝90°，∴∠BAO＝∠CBE.∴△ABO≌△BCE，∴OB＝CE＝1，BE＝AO＝3，∴OE＝4，∴C(1，4)，∴k＝4；第3题图∟E

解题关键点根据△ABC为等腰直角三角形，且点B在y轴上可过点C向y轴作垂线构造“一线三等角”模型．(2)若点P是反比例函数图象上的一点，当△POD的面积是△ABC面积的

时，求点P的坐标．第3题图(2)设P(m，

)，由题意可知m＞0.由(1)可知，B(0，1)，C(1，4)，D(2，2)，∴BC＝

，∴S△ABC＝

×()2＝5，∴S△ODP＝

.∵点D(2，2)，∴OD所在的直线的函数表达式为y＝x.∴PQ＝|m－

|，∴S△ODP＝

×2·PQ＝|m－

|＝

.若m－

＝

，解得m＝

或m＝

(舍去)，若

－m＝

，解得m＝

或m＝

(舍去)，∴P(

，

)或(

，

).如解图②，过点P作PQ∥y轴交OD所在的直线于点Q，则Q(m，m)，第3题解图②4.如图，已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝

的图象交于A(－3，2)，B(1，n)两点，一次函数图象与y轴交于点C.(1)求n的值及一次函数与反比例函数的表达式；第4题图解：(1)∵反比例函数y＝

的图象经过点A(－3，2)，∴m＝－6.∵点B(1，n)在反比例函数图象上，∴n＝－6，∴B(1，－6).把点A，B的坐标代入y＝kx＋b中，得

解得∴一次函数的表达式为y＝－2x－4，反比例函数的表达式为y＝－

；第4题图(2)点P是反比例函数图象上一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求点P的坐标；(2)如解图，∵△POC是以OC为底边的等腰三角形，∴OP＝CP.令x＝0，则y＝－2x－4＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)，∴OC＝4，∴点P的纵坐标为－2.∵点P在反比例函数图象上，∴当y＝－2时，x＝3，∴点P的坐标为(3，－2)；第4题解图(3)若P是直线AB上的一点，且BP＝2AP，求点P的坐标．第4题图(3)由(1)知直线AB的表达式为y＝－2x－4.∵A(－3，2)，B(1，－6)，P是直线AB上一点，设点P的坐标为(t，－2t－4)，∴BP＝

，AP＝

.∵BP＝2AP，∴BP2＝4AP2，即(t－1)2＋(－2t＋2)2＝4[(t＋3)2＋(－2t－6)2]，整理得15t2＋130t＋175＝0，解得t＝－

或t＝－7，将t＝－

代入直线AB的表达式中，得y＝－

；将t＝－7代入直线AB的表达式中，得y＝10，∴点P的坐标为(－

，－

)或(－7，10).第4题图

解题关键点用含字母的代数式设出点P的坐标，再表示出AP，BP的长，根据题干给出的BP＝2AP，列出代数式求解即可．5.(2022徐州)如图，一次函数y＝kx＋b(k>0)的图象与反比例函数y＝

(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E.(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由．第5题图备用图解：(1)在，理由如下：如图，过点A作y轴的垂线，交y轴于点F，设点A的坐标为(a，2b)，∵AD⊥x轴于点D，F∴D(a，0).∵CB＝CD，∠COB＝∠COD＝90°，CO＝CO，∴△COB≌△COD，∴OB＝OD，∠BCO＝∠DCO.∵AF＝DO，∠BCO＝∠ACF，∴∠DCO＝∠ACF，∴△ACF≌△DCO，∴OC＝CF，∴C(0，b).∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴E(2a，b).∵点A在反比例函数的图象上，∴2ab＝8，∴点E在反比例函数的图象上．第5题图F(2)连接AE，DE，若四边形ACDE为正方形．①求k，b的值；第5题图备用图(2)①∵四边形ACDE为正方形，∴∠ACD＝90°，由(1)得△ACF≌△DCO，2ab＝8，∴∠ACF＝∠DCO，∴∠DCO＝45°，△COD为等腰直角三角形，∴a＝b，∴a2＝4.∵a＞0，∴a＝2，∴B(－2，0)，C(0，2)，∴解得第5题图备用图②若点P在y轴上，当|PE－PB|最大时，求点P的坐标．②如解图②，连接ED并延长交y轴于点P1，∵点B和点D关于y轴对称，∴PB＝PD，∴|PE－PB|＝|PE－PD|≤DE，当点P位于点P1时，|PE－PB|最大，设直线DE的表达式为y