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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于,两点,若,则△的内切圆的半径为()A. B. C. D.2.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.3.刘徽(约公元225年-295年),魏晋期间伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这可视为中国古代极限观念的佳作,割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想,得到的近似值为()A. B. C. D.4.已知双曲线的离心率为,抛物线的焦点坐标为,若,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.5.设,满足,则的取值范围是()A. B. C. D.6.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④7.在直角梯形中,,,,,点为上一点,且,当的值最大时,()A. B.2 C. D.8.秦九韶是我国南宁时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、,则输出的值为()A. B. C. D.9.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.10.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.11.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A.是偶函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数12.复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2个球,丙、丁盒子均最多可放入1个球,且不同颜色的球不能放入同一个盒子里,共有________种不同的放法.14.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中一些数学用语可见,譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示,已知几何体高为,则该几何体外接球的表面积为__________.15.记Sk=1k+2k+3k+……+nk,当k=1,2,3,……时,观察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,……S5=An6n5n4+Bn2,…可以推测,A﹣B=_____.16.三对父子去参加亲子活动,坐在如图所示的6个位置上,有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种(比如:B与D、B与C是相邻的,A与D、C与D是不相邻的).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆,定点,为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程(2)过点的直线与交于两点,已知点,直线分别与直线交于两点,线段的中点是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.19.(12分)设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且,其中p为常数.(1)求p的值;(2)求证:数列{an}为等比数列;(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.20.(12分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.(1)求证:;(2)若时,恒成立,求的取值范围.21.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.(1)求证:;(2)设平面与交于点,求证:为的中点.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
设左焦点的坐标,由AB的弦长可得a的值,进而可得双曲线的方程,及左右焦点的坐标,进而求出三角形ABF2的面积,再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点,由题意可得,由,可得,所以双曲线的方程为:所以,所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r,所以三角形的面积,所以,解得,故选:B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法,内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用,属于中档题.2、C【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题3、A【解析】
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.4、A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的离心率,然后求解a,b关系,即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以双曲线的渐近线方程为:y=±.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法,涉及抛物线的简单性质的应用.5、C【解析】
首先绘制出可行域,再绘制出目标函数,根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【详解】由题知,满足,可行域如下图所示,可知目标函数在点处取得最小值,故目标函数的最小值为,故的取值范围是.故选:D.【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题,属于基础题.6、D【解析】
因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.7、B【解析】
由题,可求出,所以,根据共线定理,设,利用向量三角形法则求出,结合题给,得出,进而得出,最后利用二次函数求出的最大值,即可求出.【详解】由题意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵点在线段上,设,则,即,又因为所以,所以,当时,等号成立.所以.故选:B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,考查转化思想和解题能力.8、B【解析】
列出循环的每一步,由此可得出输出的值.【详解】由题意可得:输入,,,;第一次循环,,,,继续循环;第二次循环,,,,继续循环;第三次循环,,,,跳出循环;输出.故选:B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值,一般要列举出算法的每一步,考查计算能力,属于基础题.9、C【解析】
根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.10、B【解析】
设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.11、C【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【详解】解:是奇函数,是偶函数,,,,故函数是奇函数,故错误,为偶函数,故错误,是奇函数,故正确.为偶函数,故错误,故选:.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.12、C【解析】
由复数除法求出,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析:,,对应点为,在第三象限.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
讨论装球盒子的个数,计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时:种;当三个盒子有球时:种;当两个盒子有球时:种.故共有种,故答案为:.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用,意在考查学生的理解能力和应用能力.14、【解析】三视图还原如下图:,由于每个面是直角,显然外接球球心O在AC的中点.所以,,填。【点睛】三视图还原,当出现三个尖点在一个位置时,我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等,而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等,所以本题的球心为AC中点。15、【解析】
观察知各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,∴A,A1,解得B,所以A﹣B.故答案为:.【点睛】本题考查了归纳推理,意在考查学生的推理能力.16、192【解析】
根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,安排在相邻的位置上,②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,有3种选法,由图可得相邻的位置有4种情况,将选出的1对父子安排在相邻的位置,有种安排方法;②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,有种安排方法,则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种;故答案为:【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)存在,.【解析】
(1)设以为直径的圆心为,切点为,取关于轴的对称点,连接,计算得到,故轨迹为椭圆,计算得到答案.(2)设直线的方程为,设,联立方程得到,,计算,得到答案.【详解】(1)设以为直径的圆心为,切点为,则,取关于轴的对称点,连接,故,所以点的轨迹是以为焦点,长轴为4的椭圆,其中,曲线方程为.(2)设直线的方程为,设,直线的方程为,同理,所以,即,联立,所以,代入得,所以点都在定直线上.【点睛】本题考查了轨迹方程,定直线问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(1);(2)见解析【解析】
(1)根据抛物线的焦点在直线上,可求得的值,从而求得抛物线的方程;(2)法一:设直线,的方程分别为和且,,,可得,,,的坐标,进而可得直线的方程,根据在直线上,可得,再分别求得,,即可得证;法二:设,,则,根据直线的斜率不为0,设出直线的方程为,联立直线和抛物线的方程,结合韦达定理,分别求出,,化简,即可得证.【详解】(1)抛物线C的焦点坐标为,且该点在直线上,所以,解得,故所求抛物线C的方程为(2)法一:由点F在线段上,可设直线,的方程分别为和且,,,则,,,.∴直线的方程为,即.又点在线段上,∴.∵P是的中点,∴∴,.由于,不重合,所以法二:设,,则当直线的斜率为0时,不符合题意,故可设直线的方程为联立直线和抛物线的方程,得又,为该方程两根,所以,,,.,由于,不重合,所以【点睛】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.19、(1)p=2;(2)见解析(3)见解析【解析】
(1)取n=1时,由得p=0或2,计算排除p=0的情况得到答案.(2),则,相减得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化简得到,得到证明.(3)分别证明充分性和必要性,假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,计算化简得2x﹣2y﹣2=1,设k=x﹣(y﹣2),计算得到k=1,得到答案.【详解】(1)n=1时,由得p=0或2,若p=0时,,当n=2时,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合题意,故p=2;(2)当p=2时,①,则②,②﹣①并化简得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,则3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因为,所以数列{an}是等比数列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次为,,,满足,即an,2xan+1,2yan+2成等差数列;必要性:假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,又,所以,化简得2x﹣2y﹣2=1,显然x>y﹣2,设k=x﹣(y﹣2),因为x、y均为整数,所以当k≥2时,2x﹣2y﹣2>1或2x﹣2y﹣2<1,故当k=1,且当x=1,且y﹣2=0时上式成立,即证.【点睛】本题考查了根据数列求参数,证明等比数列,充要条件,意在考查学生的综合应用能力.20、(1)见解析;(2).【解析】
(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;(2)分,两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当,有两个不同的零点,,分析可得的最小值为,分,讨论即得解.【详解】(1)由题意,令,则,知为的增函数,因为,,所以,存在使得,即.所以,当时,为减函数,当时,为增函数,故当时,取得最小值,也就是取得最小值.故,于是有,即,所以有,证毕.(2)由(1)知,的最小值为,①当,即时,为的增函数,所以,,由(1)中,得,即.故满足题意.②当
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